辽宁省大连市高新园区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份辽宁省大连市高新园区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共22页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2. 方程根是（ ）
A. B. C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可．
【详解】解：∵，
∴或，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法是解题的关键．
3. 在平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是；
故选A．
4. 如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（ ）．
A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵ ∠A=12∠BOC ， ∠BOC=100° ，
∴ ∠A=50° ．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理．圆周角定理 “一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半”是解答本题的关键．
5. 方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等实数根B. 有两个不相等实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】把，，代入进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】解：∵，，，
∴，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
6. 将抛物线向上、向左各平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规则：左加右减，上加下减，求出新的解析式即可．
【详解】解：由题意，新的解析式为；
故选B．
7. 如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，点D落在边上，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质．掌握有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形是解题关键．由题意易求出，由旋转的性质可得出，即证明为等边三角形，从而得出，最后根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴．
由旋转的性质可知，
∴为等边三角形，
∴．
∴
故选∶A．
8. 参加夏季篮球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用比赛的总场数=参加比赛的班级球队数参加比赛的班级球队数，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. 如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则长为（ ）
A. 8B. 6C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理，可知：，进而推出，即：，求解即可．
【详解】解：∵与它的内切圆分别相切于点D、E、F，
∴，
∵周长为20，
∴，
∴，
∴，即：，
∴；
故选D．
10. 如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线（单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（ ）
A. 7米B. 6米C. 5米D. 4米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，设，进而得到，代入抛物线进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴设，
∴由题意，得：，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
∴；
故选B．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是______．
【答案】6
【解析】
【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程即可求解．
【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程得：
，解得：a=6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解一元二次方程的解的概念是解题的关键．
12. 如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将绕点按顺时针方向旋转，得，则点的坐标为_________.
【答案】
【解析】
【分析】把点A绕点O顺时针旋转90°得到点A′，看其坐标即可．
详解】
解：由图知A点的坐标为（-3，1），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，由图中可以看出，点A′的坐标为（1，3），
故答案为A′（1，3）．
【点睛】本题考查点的旋转坐标的求法；得到关键点旋转后的位置是解题的关键．
13. 某地有一座圆弧形拱桥如图所示，桥下水面宽度，半径，则该圆弧形拱桥的高度为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，根据垂径定理求出，在中利用勾股定理求出，从而求出．熟练掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键．
【详解】解：，，
，
在中利用勾股定理，得，
，
，
故答案为：．
14. 如图，，，，与关于点C成中心对称，则的长是___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称以及勾股定理，利用中心对称的性质得出，，再利用勾股定理得出的长，即可得出答案．
【详解】解：∵与关于点C成中心对称，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴．
故答案为：．
15. 如图，在正方形中，点B、D的坐标分别是，，点C在抛物线的图象上，则b的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特征，过点作轴，过点作于，过点作于，利用三角形全等的即可得出点坐标，代入即可得出的值．确定点的坐标是解题关键．
【详解】解：过点作轴，过点作于，过点作于，
∴
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，
∵点、的坐标分别是，，
∴，
解得：，
∴，
∵点在抛物线的图像上，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）解方程：；
（2）已知二次函数的图象经过，求二次函数的表达式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和因式分解法求一元二次方程；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
（1）用因式分解法解答即可；
（2）把两个点的坐标分别代入中得到关于的方程组，然后解方程组求出即可；
【详解】解：（1）根据题意，
．
∴方程有两个不相等的实数根，
，
即．
（2）∵二次函数的图象经过，
，
解得：，
．
17. 某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？
【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染8个人
（2）经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用：
（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据两轮传染后共有81个人患了流感，列出方程进行求解即可；
（2）用81加上第三轮传染的人数，求出总人数，进行判断即可．
【小问1详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染x个人．根据题意得，
，
解得（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人；
【小问2详解】
经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800．
人，
，
∴经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．
（1）将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，并直接写出点A的对应点的坐标；
（2）将向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度得到，画出，并直接写出点A的对应点的坐标；
（3）将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为___________．
【答案】（1）画图见解析，
（2）画图见解析，
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查作图—平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义和性质．
（1）分别作出三个顶点绕点C旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据已知可得平移过程，将三个顶点分别向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可，的坐标即可求；
（3）连接，，交点即为所求．
【小问1详解】
解：如图，为所求，；
【小问2详解】
解：如图，为所求，；
【小问3详解】
解：旋转中心的坐标为，
故答案为：．
19. 如图，一条单向通行且一排道的隧道，它的截面由抛物线和长方形构成．在长方形中，长为长为，隧道最高点P位于的中央且距地面，以为x轴，为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若一辆货车高，宽，这辆货车能否从该条隧道通过？为什么？
【答案】（1）
（2）该货车能通过，原因见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据题意，求出两点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时的自变量的值，求出两点间的距离与货车的宽进行比较即可．
【小问1详解】
解：由题意得，点，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
∵点在抛物线上，
，
解得，
；
【小问2详解】
这辆货车能从这条隧道通过．
根据题意得，令，则，
，
，
∴该货车能通过．
20. 某网店以每个32元的价格购进了一批玩具，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个玩具．
（1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
（2）经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润多少元？
【答案】（1）；
（2）每个应降价元，才能使每天利润达到最大，最大利润为元．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键．
（1）依据题意，设每次上涨的百分率为，再由题意列出关于 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）依据题意，设每个降价为元，可列出关于的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解．
【小问1详解】
解：由题意，设每次上涨百分率为依题意，得：
，
解得：，（不合题意，舍去）
∴每次上涨的百分率为20%．
【小问2详解】
解：由题意，设每个降价为元，利润为：
，
∴当时，每天的最大利润为，
∴网店每个应降价10元，才能使每天利润达到最大，最大利润为元．
21. 如图，在中，，以为直径的交于点D，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，斜边上的中线，含30度角的直角三角形，熟练掌握切线的判定方法，是解题的关键：
（1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，由斜边上的中线，得到，进而得到，等边对等角，结合等量代换，推出，即可得证；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
为的直径，
，
．
为中点，
．
．
，
．
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
．
在中，，
，
，
，
，
．
22. 如图1，在中，，点D在边上，点E在延长线上，且，连接，将绕点C逆时针旋转，连接，直线与直线交于点F．
（1）如图2，求证：；
（2）在图2中，连接，求证：；
（3）若，
①如图3，当点F与点D重合时，求的面积；
②如图4，当点F与点E重合时，直接写出的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）证明，得出．
（2）在上截取，连接，证明，得出，，证出是等腰直角三角形，则可得出结论；
（3）①由等腰直角三角形的性质及勾股定理求出的长，如图2，，过C作于H．由三角形面积可得出答案；
②设，则，得出，由勾股定理求出的长，由三角形面积可得出答案．
【小问1详解】
证明：，．
，即．
，
【小问2详解】
解：如图1，在上截取，连接．
由（1）得，，
，
又，
．
．
，即，
是等腰直角三角形，
根据勾股定理得，，
，
；

【小问3详解】
解：①由（1）得，
，
，
．
，
，
，
∴根据勾股定理得，，
同理，，
，
设，则．
由（1）得，，
在中，，
，
解得（舍去）．
．
如图2，过C作于H．

；
②．
同理，

．
设，则
，
在中，
．
（舍去）．
．
过C作于M．
．
，
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点P与点Q互为“等和点”．
例如：点与点互为“等和点”．
（1）点与点互为“等和点”，求b的值；
（2）点与点都在直线上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值；
（3）直线在第一象限的部分记为图象，抛物线在的部分记为图象，点E在图象上，点F在图象上．
①若，点E与点F互为“等和点”且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标；
②若在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）根据等和点的定义，列出方程进行求解即可；
（2）将点代入函数解析式，得到，再根据等和点的定义，列出方程进行求解即可；
（3）①设，则根据等和点的定义，列出方程进行求解即可；②设，，得到，设，，得到，根据在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，得到，进行求解即可．
小问1详解】
解：由题意得，
；
【小问2详解】
∵点，点都在直线上，，
∵点C与点D互为“等和点”，
，
解得；
【小问3详解】
①
，
设，
在中，令
．
∵点E在图象上，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，
，且，
．
∵点E与点F互为“等和点”，
，
整理得，解得（舍去）．
当时，
；
②设，设．
随a的增大而增大，
．
设，设．
关于n的二次函数图象的对称轴为直线，
，图象开口向上，当时，在对称轴右侧，随n的增大而增大，当时，，当时，
．
∵在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”．
，
解得．
的范围为．
【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的综合应用，掌握“等和点”的定义，是解题的关键．