辽宁省沈阳市铁西区2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份辽宁省沈阳市铁西区2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了须在答题卡上作答；等内容，欢迎下载使用。

（范围：第一章至第二章）
满分120分，时间120分钟
注意事项：
1．同学们须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本练习题规定位置填写自己的班级、姓名及练习号；
2．须在答题卡上作答；
3．本练习题分选择题和非选择题两个部分，包括三道大题，23道小题，共6页．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列实数中的无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：，则由无理数的定义可知，四个数中只有是无理数，
故选：C．
2. 如图，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，较大两个正方形的面积分别为169和144，则最小正方形A的边长是（ ）
A. 25B. 13C. 12D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理，根据勾股定理和正方形的面积求解即可．
【详解】解：根据图形，直角三角形的边长的平方刚好为对应正方形的面积，
∴直角三角形的斜边平方为169，一条直角边的平方为144，
∴另一条直角边的平方为
∴最小正方形A的面积是25，边长为5；
故选：D．
3. 下列说法错误的是（ ）
A. 是2的算术平方根B. 的立方根是
C. 2的平方根是D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义与性质逐一判断即可
【详解】解：A.是2的算术平方根，说法正确，不符合题意；
B. 的立方根是，说法正确，不符合题意；
C. 2的平方根是，说法正确，不符合题意；
D. ，原选项说法错误，符合题意，
故选：D
4. 在中，，，，则下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C. D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理一一判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴是直角三角形，且，故选项不符合题意；
B、∵，，，
∴，
∴，
∴不是直角三角形，故选项符合题意；
C、 ∵
∴，
∴
∴
∴是直角三角形，故选项不符合题意；
D.∵，，
∴，
∴是直角三角形，故选项不符合题意；
故选：B．
5. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】同类二次根式是指，根指数相同，被开方数也相同，由此即可求解．
【详解】解：．，根指数是，被开方数是，与是同类二次根式，符号题意；
．，是有理数，不符合题意；
．，根指数是，被开方数是，与不是同类二次根式，不符号题意；
．，根指数是，被开方数是，与不是同类二次根式，不符号题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查同类二次根式的判定，二次根式的化简，掌握二次根式的化简，同类二次根式概念的理解是解题的关键．
6. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据运算法则逐一计算判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
7. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=20-x，BC=9，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+92=(20-x)2．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
8. 如图，数轴上点，表示的数分别是，，过点作，以点为圆心，AB长为半径画弧，交于点，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，先由勾股定理可求得的长，从而得到的长，即可得出结论．
【详解】解：由题意可知，，，，，
，
，
，
由勾股定理得：．
．
则点表示的数是，
故选：B．
9. 如图，在边长为1的正方形网格中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. 的面积为4D. 点到的距离为2
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离等知识点，利用勾股定理求出长可判定A，利用勾股定理及其逆定理判定B，利用网格图计算三角形的面积可判定C，利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】A．∵，∴，正确，不符合题意；
B．∵，，，
∴，∴，正确，不符合题意；
C．，原结论错误，符合题意；
D．点A到的距离，正确，不符合题意；
故选：C．
10. 如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100），沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（ ）
A. ：2B. ：1C. ：2D. ：1
【答案】A
【解析】
【分析】过C作CD⊥AB于D，设AD=x，根据特殊三角形的性质，分别用含x的代数式表示出CD，BD，根据AB的长求出x，再根据勾股定理求出AC，BD，即可得到答案．
【详解】解：过C作CD⊥AB于D，
设AD=x，
由题意得∠CAD=45°，∠NBC=60°，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°-45°=45°，
∴∠ACD=∠CAD，
∴CD=AD=x，
∴ ，
在Rt△BCD中，∠CBD=90°-60°=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴ ，
∵AB=100+100 ，
∴AD+BD=x+x=100+100，
∴（1+）x=100（1+），
∴x=100，
即AD=100海里，
∴AC=100海里，BC=200海里，
∵时间一定时速度与路程成正比，
∴客轮与补给船的速度之比为100：200=：2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若有意义，则x的取值可以是________（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一，大于皆可）
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键．由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得答案．
【详解】解：有意义，
，
解得，
则x的取值可以是，
故答案为：（答案不唯一，大于皆可）．
12. 如图有一圆柱，高为，底面半径为，在圆柱下底面点有一只蚂蚁，它想吃上底面与相对的点处的食物，需爬行的最短路程大约为________（取）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的运用，几何体的展开图，根据题意，将圆柱展开，运用勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意，圆柱体侧面展开是一个长方形，如图所示，
∴，，且，
∴，
故答案为： ．
13. 如图，网格小正方形边长为1，以O为圆心为半径画弧，交网格于点B，则长是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，根据勾股定理求出，根据即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
由题意得：
．
故答案为：．
14. 已知，，均为正整数．若，，则满足条件的的个数总比的个数少________个．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，根据题意，可得是三个连续的自然数，由此可得，根据自然数的乘方运算找出规律即可求解．
【详解】解：已知均为正整数，，
∴，且为三个连续的自然数，
∴，
∵，
∴与之间的整数有个，与之间的整数有个，
∴满足条件的的个数总比 的个数少个，
故答案为： ．
15. 如图，线段，过端点作射线，点为射线上定点，且，点为射线上动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，则的长为________．
【答案】或2或
【解析】
【分析】①当时，根据折叠的性质得，，设，则，，可判定A，D和C三点共线，在中，求得，得，在中即可求得；②当时，过点D作，交于点H，则，即有，在中解得，在中即可求得；③当时，则，有，可得到，则有．
【详解】解：①当时，如图，
根据题意知，，
设，则，，
∵，
∴A，D和C三点共线，
在中，，即，解得，
则，
在中，，即，解得，
则；
②当时，过点D作，交于点H，如图，
则，
∴，
在中，，即，解得，
∴，
在中，，即，解得；
③当时，如图，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则的长为或2或，
故答案为：或2或．
【点睛】本题主要考查折叠得性质、勾股定理、平行线的判定和性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉折叠的性质和分类讨论思想的应用．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，零次幂，掌握运算顺序是解本题的关键；
（1）先化简二次根式，求解零次幂，立方根，再计算即可；
（2）先计算二次根式乘法运算与除法运算，再合并即可．
【详解】解：（1）

，
（2）

．
17. 已知，．
（1）填空：的绝对值是________，的相反数是________；
（2）计算：求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值化简，二次根式的化简求值．
（1）根据绝对值和相反数的定义即可解答；
（2）由，，利用二次根式的运算法则及平方差公式计算出，将利用完全平方公式变形为，整体代入计算即可．
【小问1详解】
解：，，
的绝对值是，的相反数是；
【小问2详解】
解：，，
，
．
18. 如图，在四边形中，，，，．求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理的应用，连接，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理的逆定理判断，计算即可
【详解】解：如图，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
在中，，，
∴．
∴是直角三角形，且，
∴．
∴的度数为．
19. 一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）

（1）求此时牵狗绳的长；
（2）小方将手上的小球扔至3米远的处，若她站着不动，牵狗绳最长放至4米，则小狗能否将小球捡回来？请说明理由．（假设小狗碰到球就能将球捡回来）
【答案】（1）2.6米．
（2）小狗能将小球捡回来．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．
（1）过点作于点，可得，再根据勾股定理求解即可；
（2）过点作，交的延长线于点，连接，根据勾股定理求出，再与4米进行比较即可．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，
则，，
∴，
在中，（米）．
所以此时牵狗绳的长为2.6米．
【小问2详解】
解：如图，过点作，交的延长线于点，连接，
由题意得，，
在中，（米）．
∵，
∴小狗能将小球捡回来．
20. 我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”．
例：数对的开方对称数对为和
（1）数对的开方对称数对为________和________；
（2）若数对的一个开方对称数对是，则________；
（3）若数对的一个开方对称数对是，求的值．
【答案】（1），；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（）根据新定义运算解答即可求解；
（）根据新定义即可求解；
（）根据新定义，分两种情况解答即可求解；
本题考查了新定义运算，理解新定义是解题的关键．
小问1详解】
解：由题意得，，，
∴数对开方对称数对为和，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由题意得，，
故答案为：；
【小问3详解】
解：若，，
则，，
∴；
若，，
则，，
∴；
的值为或．
21. 四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形．
（1）请利用图1推导勾股定理．
已知：中，，，，．
求证：．
证明：（请补充证明过程）
（2）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理是解决问题的关键．
（1）依据题意得， ，再结合，，正方形边长为，即可解题；
（2）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为108，可得又设 故又在 中，则，求出后可列式计算得解．
【小问1详解】
证明：由图可知，
∵，，正方形边长为，
∴，
即．
【小问2详解】
解：由题意，如图，
∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为108，
，
设则，
在中，
，
将代入可得，
，
，
∴小正方形的边长等于
∴风车的面积为：．
22. 【观察发现】
∵．
∴；
∵，
∴．
【初步探索】
（1）化简：________；
（2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得________，________；
（3）若，且，均为正整数，求的值；
【解决问题】
（4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（纸箱厚度不计）：
请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？
【答案】（1）；（2），；（3）；（4），两种型号的包装纸箱符合条件．应选择型号包装纸箱．
【解析】
【分析】本题主要考查二次计算与化简与应用，解题关键是掌握二次根式的运算法则．
（1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给出的a，b与m，n的关系式，列式算出结果即可；
（3）将所给式子两边平方求解即可；
（4）先判断，两种型号的包装纸箱符合条件，再求出体积进行比较即可
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，，，均为正整数，
∴，
故答案为：，；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）底面积的饰品盒底面边长为，
底面积的饰品盒底面边长为，
∵，，
∴，C两种型号的包装纸箱符合条件．
B型号的包装纸箱的体积为：，
C型号的包装纸箱的体积为：，
∵，
所以应选择C型号包装纸箱．
23. 【问题背景】
在中，，点为上一个动点，垂直平分交，于点，，连接，．延长，交于点．若点为的中点．

【问题探究】
（1）如图1，点与点重合时．
①求的度数；
②求证：．
【问题拓展】
（2）如图2，点与点不重合．
①若，，求的值；
②若，请直接写出的值．
【答案】（1）①；②见解析；（2）①；②20．
【解析】
【分析】（1）①证明，可得，再利用三角形外角的性质可得答案；
②如图，过作，交的延长线于，而，可得，证明，可得，再证明，结合勾股定理可得结论；
（2）①证明，如图，过作，交的延长线于， 证明，可得，，过作于，而，，由平行线间的距离处处相等可得：，可得，，过作交的延长线与，求解，再进一步作答即可；
②结合①设，，可得，，，由勾股定理可得，，，结合，可得答案．
【详解】解：①∵垂直平分交，于点，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，过作，交的延长线于，而，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，而，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，，
∴；
（2）①∵，垂直平分，
∴，
如图，过作，交的延长线于，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
过作于，而，，
∴，
由平行线间的距离处处相等可得：，
∴，
∴，
过作交的延长线与，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②结合①设，，
∴，，
，
由勾股定理可得：，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
型号
长
宽
高
型
型
型