专题01 整式的乘法与乘法公式（7大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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判断幂的运算、整式运算正确
1．（24-25八年级上·全国·期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C． D．
2．（24-25八年级上·全国·期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24七年级下·广西百色·期末）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24八年级下·云南红河·期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
运用平方差公式进行运算
1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）下列多项式乘法能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）下列可以运用平方差公式运算的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）下列各式能运用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
幂的运算
1．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： ．
2．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）计算： ．
3．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）计算： ．
4．（23-24八年级上·重庆合川·期末）计算： ．
5．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）计算： ．
求完全平方式中的字母系数
1．（23-24七年级上·上海青浦·期末）若是完全平方式，则k的值为 ．
2．（23-24七年级下·江苏常州·期末）若多项式可以写成一个整式的平方，则常数的值是 ．
3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知多项式是完全平方式，则的值为 ．
4．（23-24六年级下·山东东营·期末）如果是一个完全平方式，那么k的值为 ．
5．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知是一个关于x的完全平方式，则常数a的值为 ．
已知多项式乘积不含某项求字母的值
1．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如果的结果中不含的一次项，那么实数的值为 ．
2．（23-24七年级下·山东东营·期末）若关于x的多项式的乘积化简后不含项，则 ．
3．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）若的展开式中不含和项，则，的值为 ．
4．（23-24八年级上·北京海淀·期中）若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为 ．
5．（23-24六年级下·山东东营·期末）若的积中不含x的二次项和一次项，则的值为 ．
含乘法公式的整式的混合运算
1．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：其中．
2．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）化简求值：，其中，．
3．（22-23七年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中．
4．（23-24六年级下·山东烟台·期末）（1）先化简，再求值，其中，．
（2）利用简便方法计算：
①；
②．
5．（23-24六年级下·山东烟台·期末）先化简再求值：
(1)，其中
(2)，其中
通过对完全平方公式变形求值
1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知，．求下列各值．
(1)
(2)
2．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）已知实数m，n满足，．
(1)求的值；
(2)求的值．
3．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）（1）已知，求；
（2）已知，，求的值．
4．（23-24七年级下·河南周口·期末）阅读材料：
若x满足，求 的值．
设 ，
则，，
所以 ．
请仿照上面的方法解答下列问题：
(1)若x满足 则 ．
(2)若x满足，求 的值．
5．（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值．
解：∵，，
∴，，
∴，，
得．
根据上面的解题思路与方法，解答下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)若，，求的值．
(3)求代数式的最小值，并求出此时的的值．
多项式乘多项式与图形面积
1．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长m、宽m的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长m、宽m的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．
(1)求安装健身器材的区域面积；
(2)当，时，求安装健身器材的区域面积．
(3)在做施工预算时了解到铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，那么在第（2）问的条件下，建设居民健身区所需地面费用为多少？（仅篮球场需铺设塑胶地面，其余为水泥地面）
2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形．
(1)用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简；
(2)若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱．
3．（23-24六年级下·山东青岛·期末）某花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地，划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是．
设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量：
(1)B区的长是___________，宽是___________ ；
(2)A区的种植面积是___________，C区的种植面积是___________；
(3)若计划A区与B区的面积和是矩形空地面积的一半，那育苗区的边长为多少？
4．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，由图1．可得等式：．
(1)由图2，可得等式：___________________；
(2)如图3，有A，B，C三种类型纸片足够多张，小明要想用它们拼一个边长分别为和的长方形，则需要用到C型纸片______张；
(3)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知，求的值．
5．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）用几个小的长方形和正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个小长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，请用等式表示你从中得到的结论：________；
(2)利用（1）中的结论解决问题：已知，，求的值；
(3)如图3，正方形的边长为a，正方形的边长为b，点D，G，C在同一条直线上，连接，，若，，求阴影部分的面积．
平方差公式与几何图形
1．（23-24八年级上·浙江温州·期末）探究活动：
(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式）
(2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题：
①计算：；
②若，，求的值．
2．（22-23七年级下·广东佛山·期末）乘法公式的探究及应用．
(1)如图1到图2的操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个）
A． B．
C． D．
(2)当，时，则 ．
(3)运用你所得到的公式，计算下列各题：
①；
②．
3．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，边长为 a的大正方形有一个边长为 b的小正方形，把图 1 中的阴影部分拼成一个长方形（如图2 所示）．
(1)上述操作能验证的等式是： （请选择正确的选项）：


(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知， 则 ．
②试说明（n为整数）是4 的倍数；
4．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）．
(1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）．
A． B．
C．
(2)若，，求的值．
(3)计算：．
5．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）【教材重现】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的乘法公式是______________；
(2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，求的值；
(3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中三点在同一条直线上，若，求阴影部分的面积．
完全平方式在几何图形的应用
1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）在数学中，我们可以根据等式的性质将等式变形．如我们可以将进行变形为：，或等．请根据以上变形解决下列问题：
(1)已知，则______．
(2)若满足，求的值；
(3)如图，四边形是梯形，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______．
2．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）现有若干张如图1所示的三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．
(1)若要拼出一个面积为的长方形，则需要种卡片______张，种卡片_______张，种卡片______张．
(2)①利用4张种卡片按图2的形状拼成一个正方形，则可得到一个关于，，的等量关系式：___________．
②如图3，正方形和正方形的边长分别为，，若，，是的中点，请利用①中的公式求阴影部分面积的和．
3．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）我们可以利用几何图形来论证代数结论，请完成以下各题．
（1）观察下列图形，找出可以用几何图形来推出的代数公式（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的代号）；
A． B．
C． D．
图1对应公式________，图2对应公式________，图3对应公式________，图4对应公式________；
（2）如图5，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记与的面积之和为，与的面积之和为．
①当是边的中点时，则的值为_________；
②当不是边的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出说理过程；若不成立，请说明理由．
4．（23-24七年级下·广东河源·期末）阅读理解：
若满足，求的值．
解：设，，
则，，
∴
(1)【类比探究】若满足．求的值；
(2)【联系拓展】若满足，则______；（直接写出结论，不用说明理由．）
(3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
5．（23-24七年级下·四川达州·期末）【发现问题】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论．
【提出问题】
（1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：； 公式②：
公式③： 公式④：
图1对应公式_______，图3对应公式________．
【解决问题】
（2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
【能力拓展】
（3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形面积和为，直接写出阴影部分的面积________．
（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是）
多项式乘积中的规律性问题
1．（23-24七年级下·广东清远·期末）观察下列各式：；
；
；
；
；
(1)根据上面各式的规律填空：
① ；
②＝ ；
(2)利用②的结论求的值；
(3)若，求 的值．
2．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）观察以下等式：
；
；
．
(1)根据以上等式的规律，填空：
①__________；②__________；
(2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．
3．（23-24八年级上·云南红河·期末）阅读下列材料，完成相应任务．
杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示．
完成下列任务：
(1)写出的展开式．
(2)计算：．
4．（23-24七年级下·河北保定·期末）从简单情况入手，观察猜想，发现规律，运用规律解决问题，这是常见的研究数学问题的思路．
问题解决：
（1）填空：
________
________
猜想：
________
总结结论：
（2）填空：当n为正整数时，________．利用这个结论，请你解决下面的问题：求的值．
5．（23-24七年级下·广东梅州·期末）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】①；
②；
③；
…
(1)【归纳】由此可得：________；
(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：；
(3)【拓展】请运用上面的方法，求的值．
整式乘法中的新定义型问题
1．（23-24七年级下·湖南永州·期末）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
(1) ；
(2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k ；
(3)对于有理数x、y，若．
①求的值；
②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求n的值．
2．（23-24七年级下·湖南永州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．
于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________；
(2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，求多项式的值．
3．（23-24六年级下·山东威海·期末）问题提出：
（1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子：
小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是：
，
求出 ．
问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值．
迁移应用：定义一种新运算：．
（3） ．
（4）求的值．
4．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
(1) ；
(2) ；若是完全平方式，则 ；
(3)若有理数m、n满足，且．
① 求的值；
② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．

5．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）阅读下列材料，回答问题：
材料一：我们定义一种新运算：我们把形如这样的式子叫作“行列式”，行列式的运算方式是：．例如：；；．
材料二：在探究的时候，我们不妨利用多项式和多项式的乘法将其打开：，我们把这个公式叫作“差的完全立方公式”．按同样的方法我得出“和的完全立方公式”为：．这两个公式常运用在因式分解和简便运算等过程中．
(1)计算：______；______．
(2)已知，，求的值．
(3)已知，，，求的值．
…