专题02 因式分解（5大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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判断是否是因式分解
1．（23-24八年级下·全国·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查了因式分解的概念：把一个多项式表示成几个多项式的积的形式；根据因式分解的概念进行判断即可．
【详解】解：A、这是整式的乘法运算，故不是因式分解，选项不符合题意；
B、不是几个多项式的积的形式，故不是因式分解，选项不符合题意；
C、是几个多项式的积的形式，故是因式分解，选项符合题意；
D、虽然是积的形式，但不是多项式，故不是因式分解，选项不符合题意；
故选：C．
2．（23-24八年级上·云南红河·期末）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：．，等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意；
．，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故该选项不符合题意；
．，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故该选项不符合题意；
．，是用完全平方公式进行的因式分解，故该选项符合题意；
故选：D.
3．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）下列从右到左变形，是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查了因式分解的知识，看清题意是从右到左变形是解题的关键．
因式分解就是把整式分解成几个整式积的形式，根据定义依次进行判断即可．
【详解】解：A、从右到左变形不是把整式分解成几个整式积的形式，不是因式分解，故错误；
B、从右到左变形不是把整式分解成几个整式积的形式，不是因式分解，故错误；
C、从右到左变形是把整式分解成几个整式积的形式，是因式分解，故正确；
D、从右到左变形不是把整式分解成几个整式积的形式，不是因式分解，故错误．
故选C．
4．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查因式分解的判断，根据把一个多项式分成几个整式的积的形式，叫做因式分解，进行判断即可．
【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意；
B、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意；
C、等式的左侧不是多项式，不符合题意；
D、是因式分解，符合题意；
故选D．
5．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的有（ ）
①；②；③
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
【详解】①右边不是乘积形式，不属于因式分解；
②左边不是多项式，不属于因式分解；
③从左边到右边的变形属于因式分解；
∴从左到右的变形是因式分解的有③，只有一个，
故选：B．
找公因式
1．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）把多项式分解因式，应提的公因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】公因式、提公因式法分解因式
【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．
【详解】解：，
∴多项式分解因式，应提的公因式是，
故选：C．
2．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）多项式（，均为大于1的整数）各项的公因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】公因式
【分析】此题主要考查了公因式，直接利用公因式的定义进而得出各项的公因式．
【详解】解：，
∴各项的公因式是，
故选B．
3．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）整式和的公因式为 .
【答案】
【知识点】公因式
【分析】本题考查确定公因式，先对进行因式分解，再根据确定公因式的方法：“①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式；③定指数，即各项相同字母因式的指数的最低次幂”，求解即可．
【详解】解：∵，
∴和的公因式为，
故答案为：．
4．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ．
【答案】
【知识点】公因式
【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．
【详解】解：对多项式分解因式时，应提取的公因式是，
故答案为：．
5．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）与的公因式是 ．
【答案】
【知识点】公因式
【分析】本题考查公因式，根据三定法：系数的最大公约数，相同字母的最低次幂，进行判断即可．
【详解】解：与的公因式是；
故答案为：．
提公因式法分解因式
1．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）把因式分解，结果为 ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查因式分解，直接利用提公因式法分解因式即可．
【详解】，
故答案为：．
2．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）因式分解： ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）分解因式： ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查了提公因式分解因式，熟练掌握知识点是解题的关键，直接提公因式求解即可．
【详解】，
故答案为：．
4．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）分解因式： ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．用提公因式法求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
5．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）分解因式 .
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法分解因式是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
综合提公因式法和公式法分解因式
1．（23-24八年级上·四川眉山·期末）因式分解
(1) ．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】此题考查了提公因式法和公式法的综合运用，根据所给多项式选择合适的因式分解方法是解题的关键．
（1）先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
2．（23-24八年级上·全国·期末）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，掌握各类分解方法是解题关键．
（1）利用公式法即可求解；
（2）综合利用公式法和提公因式法即可求解；
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
3．（23-24八年级上·全国·期末）因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】平方差公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，多项式若有公因式先提公因式，再考虑运用公式法分解．
（1）先提公因式，再用完全平方公式分解；
（2）运用平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
（1）先利用提公因式法进行分解，再运用完全平方公式进行分解即可解答；
（2）利用平方差公式进行分解，即可解答．
【详解】（1）原式
（2）原式
5．（23-24八年级上·江苏南通·期末）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本题主要考查了分解因式，掌握运用提取公因式法和公式法因式分解成为解题的关键．
（1）先提取公因式，然后再运用完全平方公式分解即可；
（2）先提取公因式，然后再运用平方差公式分解即可；
（3）先运用平方差公式分解，再运用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
6．（23-24七年级下·全国·期末）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】综合运用公式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、提公因式法分解因式
【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．
（1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（3）用提公因式法分解因式即可；
（4）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
；
（4）解：
．
7．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
(5)（十字相乘法）
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法
【分析】本题考查了因式分解的几种基本形式：提取公因式法、提取公因式与公式法、整体提取公因式及十字相乘法，这些都是基础的分解方法，必须牢固掌握．
（1）利用提取公因式法即可解答；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式即可解答；
（3）先提取公因式，再利用完全平方公式即可解答；
（4）利用提取公因式即可解答；
（5）利用十字相乘法即可解答．
【详解】（1）解：
（2）解：；
；
（3）解：
；
；
（4）解：；
；
；
（5）解：；
．
8．（24-25八年级上·全国·期末）下面是小华同学分解因式的过程：
解：原式…………………………①
……………………………②
………………………………③
请认真阅读，并回答下列问题：
(1)以上解答过程从第 步出现错误；（填序号）
(2)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)①
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据提公因式及平方差公式可进行分解因式
【详解】（1）解：由题意可知：解答过程是从第①步出现错误；
故答案为①；
（2）解：原式
先因式分解，再求值
1．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知实数满足，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式
【分析】本题考查了求代数式的值，提公因式因式分解，熟练掌握以上知识是解题的关键．
将原式提公因式变形为，再将，整体代入计算，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，
将，代入上式，
可得，
∴的值为，
故答案为：．
2．（23-24八年级下·云南文山·期末）已知，，则 ．
【答案】42
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解及代数式求值，利用提公因式法可得，把，代入计算即可求解，正确利用因式分解对原式进行转化是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·湖南永州·期末）已知，，则 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解的应用．提取公因式分解因式，把，，整体代入即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：
4．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）若，则代数式值为 .
【答案】/
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是将式子进行适当的变形；
将变形得，再将所求代数式整理变形得出含的因式，再采用整体代入求值即可．
【详解】解：，
，
即，
，
；
故答案为：．
5．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若实数，满足方程组，则 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式、加减消元法
【分析】本题考查了加减消元法解方程组，代数式求值．熟练掌握加减消元法解方程组，代数式求值是解题的关键．
加减消元法解方程组，可得，，，然后根据，计算求解即可．
【详解】解：，
得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，，
∴，
故答案为：．
已知因式分解的结果求参数
1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知二次三项式因式分解的结果是，则 ．
【答案】1
【知识点】已知因式分解的结果求参数、计算多项式乘多项式
【分析】本题考查因式分解的应用，利用多项式乘多项式的法则，将展开，求出的值，再代入代数式求值即可．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴；
故答案为：1．
2．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】已知因式分解的结果求参数
【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值也为0，则，解之即可得到答案．
【详解】解：∵多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，
∴当时，的值也为0，
∴当时，的值也为0，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）仔细阅读下面例题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，．
类比上面方法解答：
(1)若二次三项式可分解为，则______．
(2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值．
【答案】(1)4
(2)另一个因式为，b值为1
【知识点】已知因式分解的结果求参数
【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系：
（1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案；
（2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设另一个因式为，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴另一个因式为，b值为1．
4．（23-24八年级下·山东济南·期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，则______；
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
【答案】(1)40
(2)另一个因式为，k的值为20
【知识点】代入消元法、已知因式分解的结果求参数
【分析】本题考查了因式分解的方法．解题关键是对题中所给解题思路的理解．
（1）设另一个因式为，可得，再进一步解题即可；
（2）设另一个因式为，可得，再进一步解答即可；
【详解】（1）解：设另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
∴另一个因式为：，的值为40．
（2）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式为，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴另一个因式为，k的值为．
5．（23-24八年级上·山东济宁·期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，则，
，解得：，，
另一个因式为，的值为．
请仿照上述方法解答下面问题：
(1)若，则______，______；
(2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值；
(3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)另一个因式是，的值是2
【知识点】已知因式分解的结果求参数
【分析】（1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解，
（2）设另一个因式为：，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解，
（3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解，
本题考查了，根据因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算．
【详解】（1）解：，
，，
故答案为：，，
（2）解：设另一个因式为：，
则，
，解得：，，
另一个因式是，
故答案为：，，
（3）解：设另一个因式是，则
则，解得：或，
是正整数，
，另一个因式是；（不符合题意舍去），
另一个因式是，a的值是2．
6．（22-23八年级上·吉林长春·期末）1637年笛卡尔（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：．
解：观察可知，当时，原式．
∴原式可分解为与另一个整式的积．
设另一个整式为．则，
∵，
∴
∵等式两边同次幂的系数相等，
则有：，解得．
∴．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知，当______时，原式，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为．则______，______．
(2)已知多项式（为常数）有一个因式是，求另一个因式以及的值．
下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程．
解：设另一个因式为，则．
……
(3)已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为______，的值为______．
【答案】(1)；；；
(2)解题过程见详解，
(3)；
【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、已知因式分解的结果求参数、整式的混合运算
【分析】（1）根据材料提示，当时，的值为，由此即可求解；
（2）多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为，根据材料提示，即可求解；
（3）多项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为，根据材料提示，即可求解．
【详解】（1）解：当时，的值为，
∴原式可分解为与另一个整式的积，
设另一个整式为，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，，
∴，
故答案为：；；；．
（2）解：多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为，则，
∵，
∴，
∴，解方程得，，
∴多项式（为常数）为，
∴因式分解为．
（3）解：多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为，
∴，
∵，
∴，
∴，解方程组得，，
∴多项式（为常数）为，
∴因数分解为，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查因数分解，掌握整式的混合运算是解题的关键．
十字相乘法分解因式
1．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】十字相乘法、完全平方公式分解因式
【分析】该题主要考查了换元法进行因式分解，解题的关键是掌握因式分解的常见方法．
（1）设，将原式变形再运用完全平方公式和十字相乘法求解即可；
（2）设，将原式变形再运用十字相乘法求解即可；
【详解】（1）解：设
原式
（2）解：设，
原式
．
2．（23-24七年级下·河北唐山·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
材料2：分解因式：
解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式
上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：．
【答案】(1)
(2)
【知识点】十字相乘法
【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式，
（1）令，仿照例题解答即可；
（2）令，先计算乘法，再因式分解即可．
【详解】（1）解：令，
则原式，
∴；
（2）令，
则原式，
∴原式．
3．（23-24八年级上·广西河池·期末）阅读教材：人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成
例如，，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），这种方法称为“十字相乘法”．
这样，我们可以得到：．
【迁移运用】利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法
【分析】本题考查了因式分解十字相乘法．对于形如的多项式，进行因式分解时，关键是要找到两个数，使这两个数的乘积等于常数项，同时这两个数的和恰好等于它的一次项系数．分解时要注意观察、尝试，并体会它的实质是二项式乘法的逆过程．
（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
4．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示：
仿照上述解决下列问题：
(1)因式分解：；
小亮做了如下分析：
一次项为：，则常数项为：；
则__________；=_________；
（ ）（ ）
(2)因式分解：：
(3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)，
【知识点】十字相乘法
【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法，
（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用十字相乘法分解分解可得；
（3）找出所求满足乘积为，相加为的值即可．
【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为，则2；3；
∴；
（2）解：一次项为：，则常数项为，
则；
（3）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是：
；；；，
即整数的所有可能的值是：，．
5．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
①；
②；
③．
通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数）
因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）．
例如：．
【初步应用】
（1）用上面的方法分解因式：_________；
【类比应用】
（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________；
【拓展应用】
（3）分解因式：．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【知识点】十字相乘法
【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式．
（1）按照已知条件中方法进行分解因式即可；
（2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可；
（3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把多项式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可．
【详解】解：（1）
，
，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
，
，
，
∴或 或或 ，
整数的值可能是或，
故答案为：或；
（3），
，
，
，
．
分组分解法分解因式
1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如
分解因式：

问题1．通过分析，你认为下面哪种说法才是分组分解的关键______；（只填序号）①分组后组内能提取公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间还能继续分解．
问题2．请你利用分组分解法分解因式：
（1）；
（2）
问题3．若a，b，c是的三边，当时，判断的形等腰三角的形状．
【答案】问题1：③；问题2：（1）；（2）；问题3：等腰三角形
【知识点】等腰三角形的定义、分组分解法
【分析】本题主要考查的是因式分解，提公因式法、平方差公式和完全平方公式是常用的因式分解法．
问题1：确定分组分解的关键步骤；
问题2：利用分组分解法进行因式分解；
问题3：利用分组分解法进行因式分解，再判定三角形的形状．
【详解】解：问题1：分组分解的目的是分组以后，继续因式分解，最后组与组之间还要因式分解，
故选③；
问题2：（1）
；
（2）
；
问题3：，
，
，
，
，，是的三边，
不可能是0，
，
，
∴是等腰三角形．
2．（23-24七年级下·河北沧州·期末）通过学习；我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时；某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．
两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解．
(1)分解因式：；
(2)若，，求式子的值；
(3)尝试运用上述思路分解因式：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式、提公因式法分解因式、分组分解法
【分析】本题考查的知识点是因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解．
（1）根据题目中分组分解法进行分解即可；
（2）先根据分组分解法进行分解，再将式子的值代入；
（3）结合公式法和分组分解法进行因式分解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
，
又，，
原式．
（3）解：
．
3．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下．
请在他们解法的启发下，解答下列各题．
(1)因式分解∶；
(2)已知是的三条边长，且满足，请判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是等腰三角形．
【知识点】分组分解法、等腰三角形的定义
【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，等腰三角形的定义；
（1）把原式化为，再进一步分解因式即可；
（2）由可得，结合等腰三角形的定义可得答案；
【详解】（1）解：
；
（2）解： ，
∴，
∴，
∵是的三条边长，
∴，
，
，
是等腰三角形．
4．（23-24八年级下·四川成都·期末）【阅读理解】
以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组．
【问题解决】
(1)分解因式：；
(2)的三边，，满足，判断的形状．
【答案】(1)
(2)是等腰三角形
【知识点】因式分解的应用、分组分解法
【分析】本题考查因式分解及因式分解的应用，
（1）根据上述的分组分解法将原式进行因式分解即可；
（2）先将原式进行因式分解，得：，根据题意可知，，即，即可得出结果；解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解；如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项，考虑使用完全平方公式，如果剩余的是四项或四项以上，考虑分组；因式分解要彻底，要分解到不能分解为止．
【详解】（1）解：
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，是的三边，
∴，
∴，即，
∴是等腰三角形．
5．（23-24八年级下·陕西西安·期末）阅读下列材料：
常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法彻底分解．如：“”．细心观察这个式子就会发现，前两项可以用提公因式法，后两项也可用提公因式法，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再用提公因式法就可以完成整个式子的因式分解了．过程：．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题．
(1)因式分解：；
(2)已知，，求的值；
(3)若的三边长分别为，，，且满足，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)为等腰三角形，理由见解析．
【知识点】等腰三角形的定义、分组分解法、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】（）先运用分组分解法，再用平方差公式进行因式分解即可；
（）运用分组分解法和平方差公式进行因式分解，再将、的值代入计算即可；
（）对式子进行整理化简、因式分解， 即可求得，因此为等腰三角形；
本题考查了因式分解的应用，解题的关键熟练运用分组分解法进行因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）进行因式分解，得
，
∵，，
∴；
（3）为等腰三角形，理由如下：
∵
∴
即
∵，，为的三边长，
∴，
∴，即，
∴为等腰三角形．
因式分解的应用
1．（23-24八年级上·江西赣州·期末）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式．
原式．
由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．
(1)利用配方法分解因式：；
(2)根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ．
(3)已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)当时，最小值为；
(3)的形状是等边三角形，证明见解析．
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题主要考查因式分解及其应用，根据材料学会运用配方法因式分解是解题的关键．
（1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可；
（2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答；
（3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到，即可解答．
【详解】（1）解：

．
（2）解：
，
当当时，最小值为．
（3）解：的形状是等边三角形，理由如下：
∵
∴，
利用拆项得：，
即：，
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，
于是，，
所以可以得到，即：的形状是等边三角形．
2．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）（1）已知a，b，c是的三边，且满足，判定的形状；
（2）求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方．
【答案】（1）是等边三角形；（2）见详解
【知识点】等边三角形的判定、通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用
【分析】本题考查等边三角形的判定，完全平方公式，因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，整体思想、换元的思想是解题的关键．
（1）将变形得出，即可求解；
（2）先将所求的式子变形为，设，则原式，根据为正整数，可知也为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方．
【详解】（1）∵
∴，
故，
解得：，
故是等边三角形；
（2）证明：
，
设，
，
∵为正整数，
∴也为正整数，
∴式子的值一定是某一个整数的平方．
3．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做分解因式，例如：，，但有些多项式我们却不太容易观察出怎么分解，例如：？而“数形结合”思想一直是我们解决数学问题的一种常用方法，爱动脑筋的小明就借助一个几何图形对这个多项式进行了分解
(1)请借助图1把多项式分解因式
__________
(2)把图2中的四张长方形图片拼成一个大的长方形图片，并据此写出一个多项式的因式分解
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】因式分解的应用
【分析】此题主要考查了因式分解，正确的画出图形是解决问题的关键．
（1）根据图形，借助矩形的面积列出等式即可；
（2）先画图形，然后列等式即可．
【详解】（1）解：借助图1可得，
故答案为：；
（2）解：拼出的图形为：
∴
4．（22-23八年级上·福建莆田·期末）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
例如．求代数式的最小值．
原式
．
可知当时，有最小值，最小值是-8．
(1)分解因式： ．
(2)已知的三边长a、b、c都是整数，且满足，求边长c的最小值；
(3)当x，y为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
【答案】(1)
(2)5
(3)当时，代数式有最大值，最大值为16
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查非负数的性质，因式分解的理用，解答本的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．
（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；
（2）根据题目中的例子，先将所求式子配方，然后根据非负数的性质即可得到a，b的值，根据三角形三边关系求出c的取值，即可得出边长c的最小值；
（3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到最大值
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
即，
∴，
∵a、b、c是的三边长，
∴，
∵a、b、c都是整数，
∴边长c的最小值为5；
（3）解：∵
=
=
=
=
∵
∴
∴当时，代数式有最大值，最大值为16．
5．（22-23八年级上·云南红河·期末）感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图 1 中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_____________ ；
应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图 2 所示 的是棱长为的正方体被分割线分成 8 块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为 ；
拓展：（3）如图 3，棱长为 x 的实心大正方体切除一个棱长为 y 的小正方体，剩余部分按如图所示的 方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为 ，乙长方体的体积为 ， 丙长方体的体积为 ，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为．
根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图 2 与图 3 中的 x 与 y 的值分别相等，且满足，，其中，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用
【分析】（1）用两种方法表示图 1 中的大正方形的面积即可得解．
（2）用两种方法表示图 2中正方体的体积即可得解．
（3）将和用含有，的式子表示出来即可得解．
【详解】解：（1）图 1 中的大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，
因此可得．
故答案为：．
（2）图 2中正方体的体积可以表示为，也可以表示为，
因此可得．
故答案为：．
（3），，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了因式分解法应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键．
因式分解中的新定义型问题
1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）定义：任意两个数a，b，按规则，扩充得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“吉祥数”．
(1)若，，则a，b的“吉祥数”为______；
(2)如果，，试说明“吉祥数”c为非负数．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】因式分解的应用、运用完全平方公式进行运算、含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查有理数的混合运算、整式的混合运算，理解题意，正确求解是解答的关键．
（1）利用“吉祥数”的运算法则和有理数的混合运算求解即可；
（2）利用“吉祥数”的运算法则和整式的混合运算法则，结合完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，当，时，
a，b的“吉祥数”，
故答案为：
（2）解：根据题意，当，，
“吉祥数”
，
∵，
∴，即“吉祥数”c为非负数．
2．（23-24八年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数”
(1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由；
(2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明；
(3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由．
【答案】(1)40是“和谐数”，理由见解析
(2)“和谐数”能被8整除，理由见解析
(3)是 “和谐数”，理由见解析
【知识点】运用平方差公式进行运算、因式分解的应用
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是：
（1）设，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案；
（2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案；
（3）根据是“和谐数”，求出，则，可设，其中k为正整数，则，故，代入，整理．由k为正整数，得出和为两个连续正奇数，结合“和谐数”的定义，即证明为“和谐数”．
【详解】（1）解：设，
解得，
∴40是“和谐数”；
（2）解：“和谐数”能被8整除，
理由：
，
∵k是正整数，
∴能被8整除，
∴能被8整除，
∴“和谐数”能被8整除；
（3）解：∵是“和谐数”，
∴，
∴，
∴．
∵是“和谐数”，即是“和谐数”，
∴可设，其中k为正整数，
∴，
∴，
∴
．
∵k为正整数，
∴和为两个连续正奇数，
∴为“和谐数”．
3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）定义：关于的多项式和，当时，的值记为，当时，的值记为，若存在整数，对于任意的实数，都有，称多项式是多项式的衍生多项式，称为衍生系数．
例如：是的衍生多项式，衍生系数为，
是的衍生多项式，衍生系数为1，
是的衍生多项式，衍生系数为，
是的衍生多项式，衍生系数为2
已知多项式是的衍生多项式．
(1)直接写出的值： ；
(2)是否存在整数，使得，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2
(2)不存在整数，使得，理由见解析
【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了新定义，因式分解，多项式的系数：
（1）根据新定义可得，即可求解；
（2）由（1）得：，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
即，
∴；
故答案为：2
（2）解：不存在整数，使得，理由如下：
由（1）得：，
即，
∴，
∴不存在整数，使得．
4．（23-24八年级上·吉林长春·期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．
定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知是“完美数”，请将它写成（a，b是整数）的形式： ；
（2）类似地，一个整式表示成（，是整式）的形式，则称这个整式为“完美式”．若可配成（m，n为常数），则的值为 ；
探究问题：已知是“完美式”，若，求的值．
【答案】（1）；（2）；【探究问题】
【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式
【分析】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
（1）把29分为两个整数的平方即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出的值；
探究问题：已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值．
【详解】解：（1）根据题意得，
故答案为：；
（2）
，
∴，
∴，
故答案为：；
探究问题：
∵，
∴
∴
又∵，
∴，，
∴，
∴．
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，则，
即，∴，解得．
故另一个因式为，m的值为-21．
甲：
（先分成两组）
．
乙：
（先分成两组）
．
甲∶
(分成两组)
(直接运用公式)
．
乙∶
(分成两组)
(提公因式)
．