专题06 三角形（8大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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判定三条线段能否构成三角形
1.（23-24七年级下·全国·期末）下列长度的各组线段，能构成三角形的是（ ）
A．，，B．，，10C．，，D．，，
【答案】B
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题考查的是三角形三边关系定理，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
根据三角形三边关系定理进行判断即可．
【详解】解：A．，则，，不能组成三角形，不符合题意；
B．，则，，能组成三角形，符合题意；
C．，则，，不能组成三角形，符合题意；
D．，则，，不能组成三角形，不符合题意，
故选：B．
2.（23-24八年级下·云南红河·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6B．2，4，6C．5，6，12D．6，8，10
【答案】D
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：两边和大于第三边，两边之差小于第三边．解题的关键是理解组成三角形三边的关系．
根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得：
A、，故3，3，6不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、，故2，4，6不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、，故5，6，12不能够组成三角形，本选项不符合题意；
D、，故6，8，10能组成三角形，本选项符合题意．
故选：D．
3.（23-24七年级下·四川宜宾·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．15，12，20B．4，7，11C．6，7，15D．5，5，10
【答案】A
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题考查了构成三角形的条件：任两边之和大于第三边；根据此条件，逐项判断，若两根较短木棒的长度和大于长木棒长度，则可构成三角形，否则不能．
【详解】解：A、，能摆成三角形；
B、，不能摆成三角形；
C、，不能摆成三角形；
D、，不能摆成三角形；
故选：A．
4.（23-24七年级下·河北邯郸·期末）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】构成三角形的条件
【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可．
【详解】解：A.，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形；
B. ，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形；
C. ，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形；
D. ，任意两边之和大于第三边,所以能围成三角形；
故选：D．
三角形的稳定性及应用
1.（23-24七年级下·河南周口·期末）如图所示的斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，这样做的依据是 ．
【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】解∶ 斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，这样做的依据是三角形的稳定性，
故答案为∶ 三角形的稳定性．
2.（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，王师傅在院子的门板上钉了一个加固板（阴影），这样做的数学依据是三角形的 ．
【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】此题根据题目的意思，钉了一个加固板，即分割成了三角形，故利用了三角形的稳定性．
【详解】解：这样做的原因是：利用三角形的稳定性使门板不变形，
故答案为：稳定性．
3.（23-24七年级下·河南郑州·期末）下面是跪姿射击的情形，要使射击者在射击过程中保持枪的稳定性，可以选择①右脚尖，②右膝，③左脚，④左手，⑤左肘，⑥左肩，⑦右肩哪三个支点 （填序号）．
【答案】①②③或④⑤⑥或④⑥⑦
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】本题考查了三角形的稳定性质；只要是构成三角形的三个支点均可使射击者在射击过程中保持枪的稳定性．
【详解】解：可以是①②③或④⑤⑥或④⑥⑦．
故答案为：①②③或④⑤⑥或④⑥⑦．
4.（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，五根木条钉成一个五边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条．
【答案】2
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用．根据三角形的稳定性，只要使六边形框架变成三角形的组合体即可．
【详解】解：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添2根木条．
故答案为：2．
确定第三边的取值范围
1.（23-24七年级下·陕西榆林·期末）在中，，，则的长可能为 ．（只写一个）
【答案】8（答案不唯一，大于6且小于10的数均正确）
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形三边之间关系是解题的关键．根据三角形三边之间关系求出的范围，再在此范围内任意取一个值即可．
【详解】根据三角形三边之间关系可得，
即，
∴，
的长可能为8．
故答案为：8（答案不唯一，大于6且小于10的数均正确）
2.（23-24八年级上·宁夏固原·期末）在中，，，第三边的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】
本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知，，即可得到答案．
【详解】解：在中，，，
，
，即，
第三边的取值范围是，
故答案为：．
3.（23-24七年级下·江苏徐州·期末）一个三角形的两边长分别是2和5，若第三边的长为奇数，则第三边的长是 ．
【答案】5
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．设第三边长为x，根据三角形的三边关系，可得，即可求解．
【详解】解：设第三边长为x，根据题意得：
，
即，
∵第三边的长为奇数，
∴x的值为5，
即第三边的长是5．
故答案为：5
4.（24-25七年级上·全国·期末）已知的边长a，b，c满足，若c为偶数，则的形状为 三角形．（按边分类）
【答案】等腰
【知识点】确定第三边的取值范围、绝对值非负性、三角形的分类、有理数的乘方运算
【分析】本题考查平方以及绝对值的非负性，三角形的三边关系及其分类．由可得，，根据三角形的三边关系以及c为偶数可确定c的值，最后即可确定三角形的形状．
【详解】解：，
，，
，，
，，
，，
，
由c为偶数，可得，
，
的形状为等腰三角形．
故答案为：等腰．
5.（23-24七年级下·四川资阳·期末）已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，6为边的三角形，则整数a的值有 个
【答案】
【知识点】确定第三边的取值范围、由不等式组解集的情况求参数
【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
依据不等式组至少有两个整数解，即可得到，再根据存在以3，a，6为边的三角形，可得，进而得出的取值范围是，即可得到a的整数解有个．
【详解】解：解不等式组得：，
∵至少有两个整数解，
则整数解至少为和，
∴，
又∵存在以3，a，6为边的三角形，
∴，
∴a的取值范围为，
∴整数a的值为：，，，有个
故答案为：．
画三角形的高
1.（23-24七年级下·河南郑州·期末）数学课上同学们用三角板作三角形的高，有四位同学的作法如下，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】画三角形的高
【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形的高的定义是从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握三角形的高的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、不满足三角形的高的定义，故不符合题意；
B、不满足三角形的高的定义，故不符合题意；
C、不满足三角形的高的定义，故不符合题意；
D、满足三角形的高的定义，故符合题意；
故选：D．
2.（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，边上的高是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】画三角形的高
【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形高的定义即可解答．三角形的高：垂直于底边且经过底边相对的顶点的垂线段是三角形的高．
【详解】解：由图可知，在中，边上的高是，
故选：A．
3.（23-24七年级下·山西临汾·期末）小林求的面积时、作了边上的高，下列作图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】画三角形的高
【分析】本题主要考查了作三角形的高线，从点B作，交的延长线于点E，确定图形即可．
【详解】过点B作，交的延长线于点E，如图所示．

故选：D．
4.（23-24八年级下·陕西西安·期末）（回忆童年，认识三角形高）下列四个图形中，线段是的高的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】画三角形的高
【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断．
【详解】解：线段是的高的图是选项D．
故选：D．
与三角形的高有关的计算问题
1.（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查了三角形的面积，直接根据等面积法求解即可．
【详解】解：∵，
∴都是的高，
∴，
∴，
故答案为：．
2.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，是边上的高， 交直线于点E，， ，则 °
【答案】或40
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的高的含义，分两种情况画图，再进一步利用数形结合的方法解题即可；
【详解】解：如图，∵， ，
∴，
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
综上：或；
故答案为：或40
3.（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，中，，分别是，边上的高线．若，，则的度数是 ．
【答案】134
【知识点】三角形内角和定理的应用、与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是在中根据三角形内角和定理求出的度数，在中根据三角形内角和定理求出的度数，在中根据三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：，分别是，边上的高线，
，，
在中，，
，，
，
在中，，
，，
，
在中，，
，
故答案为：134．
4.（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）在直角坐标系中，，在y轴上找一点C，使面积为9，则C点坐标为 ．
【答案】或
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、坐标与图形
【分析】本题考查了三角形的面积公式，平面直角坐标系中点的坐标特征，两点间的距离表示，利用数形结合思想是解题的关键．设点的坐标为，则，高为2，根据面积为9，利用三角形面积公式列方程求解即可．
【详解】解：
点在轴上，
设点的坐标为，
如图所示，
，
，
，
点到的距离为2，
面积为9，
，
解得或，
点的坐标为或，
故答案为：或.
与三角形的中线有关的计算问题
1.（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ．
【答案】
【知识点】根据三角形中线求长度
【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键．
【详解】∵是的中线，
∴，
由的周长为，的周长，
∵的周长比的周长大，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
2.（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，为边的中线，的周长比的周长大，，则 ．
【答案】
【知识点】根据三角形中线求长度
【分析】本题考查三角形的中线（三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线），根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．解题的关键是掌握三角形中线的定义．
【详解】解：∵为边的中线，
∴，
∵的周长比的周长大，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
3.（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，的面积为18，为的中线，E、F为的两个三等分点，连接，则图中阴影部分的面积和为 ．
【答案】6
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查三角形的面积等知识．根据三角形的中线的性质即可解决问题．
【详解】解：是的中线，
，
，
、为的两个三等分点
，，
，
故答案为：6．
4.（23-24七年级下·全国·期末）如图，已知中，，，，点G是的中点，若的面积是27，则的面积为 ．
【答案】128
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查了三角形的面积，关键是熟悉等高的三角形面积比与底边比的关系．根据等高的三角形面积比等于底边比依次求解可得的面积．
【详解】解：在中，点G是的中点，的面积是27，
∴的面积是，
∵，
∴的面积是，
∵，
∴的面积是，
，
∴的面积是．
故答案为：128．
与三角形的角平分线有关的计算问题
1.（23-24八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，与的平分线交于点P，设的度数为x度，的度数为y度，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【知识点】三角形角平分线的定义、三角形的外角的定义及性质、函数解析式
【分析】本题考查的是列函数关系式，三角形的外角的性质，先利用三角形的外角的性质与角平分线的性质可得，，从而可得答案．
【详解】解：∵与的平分线交于点P，设的度数为x度，的度数为y度，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：．
2.（22-23七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，和的角平分线交于点，延长BO与的外角平分线交于点，若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义
【分析】由是的平分线，为的外角平分线，可得，，则，根据，可得，然后计算求解即可．
【详解】解：∵是的平分线，为的外角平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
3.（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，、、分别平分的外角、内角和外角．下列结论正确的是： ．（只填序号）①；②；③．
【答案】①②
【知识点】三角形角平分线的定义、三角形的外角的定义及性质、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了与平行线有关的角平分线的计算，涉及了三角形的外角定理，根据，即可判断①；根据即可判断②；根据，、，即可判断③；
【详解】解：∵， ，平分
∴
∴，故①正确；
∵
∴
∵平分，平分
∴
∴
∵
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，故③错误；
故答案为：①②
4.（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ．

【答案】/
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义、图形类规律探索
【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出的度数．
【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线，
，，
又，，
，
，
∵，
∴，
同理可得：，
，
则，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出，，与的规律是解题的关键．
利用三角形内角和求角问题
1.（24-25八年级上·甘肃定西·期末）已知中，，那么中最大角的度数为 ．
【答案】/75度
【知识点】三角形内角和定理的应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】此题考查三角形内角和定理、一元一次方程的应用．由题意可设由三角形内角和定理得到一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意可设
则，
解得，
∴
∴中最大角的度数为
故答案为：
2.（23-24七年级下·安徽黄山·期末）将一把直尺和一块含和的三角板按如图所示的位置放置，若，那么的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角板中角度计算问题、三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质，含角的三角板中的角度计算，三角形内角和定理．由题意可确定，，再根据平行线的性质得，然后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：根据题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
3.（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，，，，，．则 ， ．
【答案】 /度 /50度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，也考查了三角形外角性质．在中根据三角形内角和定理计算出，则，再根据三角形外角性质得，可计算出，则，然后利用三角形外角性质求出，则，同样可得．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
4.（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则 ．
【答案】/40度
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】此题考查三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余的关系，
根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余的关系得到，由此即可得到答案．
【详解】如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三角形三边关系的应用
1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果a、b、c为一个三角形的三边，那么点在第 象限．
【答案】二
【知识点】三角形三边关系的应用、判断点所在的象限
【分析】本题考查了三角形的三边关系及点的坐标特点，首先根据三角形的三边关系判断点P的纵坐标的符号，然后根据点的坐标的特点确定点P的位置即可．
【详解】解：∵a、b、c为一个三角形的三边，
∴，
∴，
∴点在第二象限，
故答案为：二．
2．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知、、为的三边长，、满足，为方程的解，则的周长为 ．
【答案】12
【知识点】有理数幂的概念理解、绝对值非负性、三角形三边关系的应用、绝对值方程
【分析】本题考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质等知识， 利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b、c的值，再解绝对值方程可得a的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出的周长．
【详解】解∶∵，
∴，，
∴，，
∵为方程的解，
∴或2，
又，
∴，
∴的周长为，
故答案为∶12．
3．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）在中，，．
(1)若是整数，求的长；
(2)已知是的中线，若的周长为10，求的周长．
【答案】(1)；
(2)17
【知识点】根据三角形中线求长度、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
，
是整数，
；
（2）解：是的中线，
，
的周长为10，
，
，
，
的周长
4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：、、为的三边长，且、满足．
(1)求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用、绝对值非负性、加减消元法
【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解一元一次不等式，解题的关键是利用非负性求出，的值．
（1）利用非负性求出，的值，再利用三角形三边关系，即可求解；
（2）根据第题意，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
，
解得a=2，，
，，
∴．
（2）解：∵，
．
5．（23-24八年级上·四川达州·期末）（1）如图，在中，，，，为AB边上一点，且与的周长相等，求AD的长．
（2）如图，在中，，，，为边上一点，且与的周长相等；为边上一点，且与的周长相等，求（用含，的式子表示）．
【答案】（1）；（2）．
【知识点】三角形三边关系的应用、其他问题(一元一次方程的应用)、运用完全平方公式进行运算、计算多项式乘多项式
【分析】（1）根据与的周长相等可得出，再由，联立求解方程组即可解出AD的长；
（2）设，则，根据与的周长相等得出，从而设，可得出的表达式，设，可得出的表达式，进而求出的值．
【详解】解：（1）∵与的周长相等，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
解得；
（2）设，则，
∵与的周长相等，
∴，
设，
∴，
∴，
设，同理可得，
∴，
∵即，
∴．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，完全平方公式及多项式的乘法以及线段的和差关系，解答本题的关键是仔细审题，细化解题思路，难度较大．
与三角形中三线的综合探究问题
1．（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，在锐角中，两条高线相交于点O．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，，，与的角平分线交于点M，求的度数；
(3)如图3，对任意的锐角，与的角平分线交于点M，直接写出的度数是__________．
【答案】(1)的度数为；
(2)；
(3)
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，三角形的高．
（1）利用垂直的性质求得，，再利用三角形内角和定理即可求解；
（2）利用垂直的性质结合角平分线有关的三角形内角和定理，计算即可求解；
（3）同（2）计算即可求解．
【详解】（1）解：∵锐角中，两条高线相交于点O，
∴，，
∴
，
答：的度数为；
（2）解：∵，，
∴，
，
∵与的角平分线交于点M，
∴，，
∴；
∴；
（3）解：∵锐角中，两条高线相交于点O，
∴，
，
∵与的角平分线交于点M，
∴，，
∴
；
∴．
2．（22-23七年级下·四川遂宁·期末）如图，已知：点分别在的边上，连接与交于点，．

(1)如图1，当都是的角平分线时，求的度数；
(2)如图2，当都是的高时，求的度数；
(3)如图3，当时，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，见解析
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，结合三角形的内角和定理，得出，，进而推出，即可求解；
（2）根据BD，CE都是的高，可得出，进而得出，根据，则，求解即可；
（3）根据三角形的外角定理可得，，根据，，得出，求出，，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵BD，CE都是的角平分线，
∴，，
∴，
∵，
，
∴
∴；
（2）解：∵BD，CE都是的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、三角形角平分线的定义、四边形的内角和、三角形的高等知识，熟练掌握角之间的相互转化是解题的关键．
3．（22-23七年级下·河南南阳·期末）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．

【性质探究】
如图（1），用分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积．
【答案】(1)
(2)，
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案．
（2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积，
【详解】（1）3∶4；

解：如图，过点A作，
则
．
（2）和是等高三角形，
，
；
和是等高三角形，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键．
与角平分线有关的三角形内角和问题
1．（23-24七年级下·四川内江·期末）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点．
(1)若，，则 ， ；
(2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数(用的代数式表示)；
(3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或或或
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）设，由（2）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于的等式，解出即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∴；
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∵，
∴，即，
∴．
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，平分，
∴，．
∴
．
∴．
由（）可知不变，
∴．
（3）解：设，
由（2）可知，．
∵，
∴可分类讨论：①当时，
∴，
解得：，
∴；
②当时，
∴，
解得：，
∴；
③当时，
∴，
解得：，
∴；
④当时，
∴，
解得：，
∴．
综上可知或或或．
2．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图1，图2，在中，是的角平分线．
(1)若，的长为偶数，则符合条件的共有 个；
(2)如图1，若F为线段上一点，过点F作于点E，，．
①求的度数；
②如图2，若F为线段延长线上一点，其余条件不变，直接写出的度数．
【答案】(1)2
(2)①；②
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、与角平分线有关的三角形内角和问题、确定第三边的取值范围
【分析】本题考查了三角形三条边的关系，
（1）先三角形三边的关系求出的取值范围，再根据的长为偶数求解即可；
（2）①过点A作于M，先求出，由角平分线的定义得，进而可求出，求出，进而可求出的度数；
②过点A作于M，由①可知，根据可求出的度数．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵的长为偶数，
∴或6，
∴符合条件的共有2个，
故答案为：2；
（2）①如图1，过点A作于M，
在中，，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点A作于M，
由①可知，
∵，
∴，
∴．
3．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，线段AD与相交于点O，连接，我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系．
(1)请通过观察、测量，猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作与的平分线交于点P，若，求的度数；
(3)智慧小组在图1的基础上，分别作射线，使得，，两条射线交于点P，请直接写出之间的数量关系．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)
【知识点】角n等分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，对顶角相等，理解题意灵活运用题中得出的“字形”性质，是解答本题的关键．
（1）根据三角形内角和对顶角相等结合等式性质即可得出结论；
（2）根据角平分线的定义得到，，再根据“8字形”得到，两等式相减得到，即，即可求解；
（3）根据，可得，，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得，即可得出结论．
【详解】（1）解：，
证明：，，
又，
；
（2）解：平分，平分，
，，
由“8字形”得到，
两等式相减得到，即，
，
；
（3）解：，
，，
，，
由“8字形”得到，
，，
，
．
4．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．
(1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数；
(2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数；
(3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，又根据，可得，由此可求得；
（2）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，由三角形内角和定理求得，再根据，利用直角三角形两锐角互余，即可求得；
（3）同理，根据三角形内角和定理和平分，得到，，再结合，利用直角三角形两锐角互余，即可求得．
【详解】（1）解：在中，，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
（2）解：在中，，
，
平分.，
，
在中，，
，
，
，
．
（3）解：在中，，
平分，
，
在中
，
，
.
与角平分线有关的三角形外角问题
1．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点．
(1)试确定与之间的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角平分线，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线，三角形外角的性质是解题的关键．
（1）由是的平分线，是的平分线可得，，由，可得，进而可得；
（2）同理（1）可得，进而可求的度数．
【详解】（1）解：，理由如下；
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：同理（1）可得，
∴，
∴，
∴的度数为．
2．（23-24七年级上·全国·期末）如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点．
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，连结，若，试说明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．
（1）在图中添加点M，由结合外角的性质可得出，再根据角平分线的定义可得出，由此可得出，从而得出，根据的度数即可得出结论；
（2）由（1）知：，，再结合已知．即可得出，根据平行线的判定定理即可证明．
【详解】（1）解：如图1所示．
∵，
∴，．
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
（2）证明：如图2，

由（2）知：，，
∵，
∴．
3．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知，点E是的边上的一点，．请在下面的A，B两题中任选一题作答，我选择 ．
A．如图1，若平分，交于点D，交于点F．求证：；
B．如图2，若平分的外角，交边的延长线于点D，交的延长线于点F，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】选择A：证明见解析；选择B：，理由见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义：
选择A：首先根据角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到；
选择B：首先根据角平分线的定义可得，再根据等量代换可得，然后再根据三角形外角的性质可得，进而得．
【详解】证明：选择A：∵平分，
∴，
∵，，，
∴；
选择B：，理由如下：
∵平分，
∴，
∵
∴，
∵，，，
∴．
4．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”．
(1)求证：；
(2)如图所示，，则的度数为______；
(3)如图，若和的平分线和相交于点，且与，分别相交于点，，，若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)．
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】（）根据三角形的内角和即可得到结论；
（）由三角形外角性质得，，则，由三角形外角性质得，则，所以，又由三角形外角性质得，则，即可求解；
（）根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得到，，两等式相加得到，即，然后把，代入计算即可；
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∵，
∴；
（2）如图，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：以为交点“字型”中，有，以为交点“字型”中，有，
∴，
∵分别平分和，
∴，，
∴，
∵，，
∴．
5．（23-24八年级下·全国·期末）（1）如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F，与的数量关系为 ．
（2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E．探究与的数量关系并说明理由；
（3）如图3，在中，边上存在一点D，使得，的平分线交于点F，交于E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．请补全图形并直接写出与的数量关系．
【答案】（1）
（2），详见解析
（3）详见解析，
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
（1）根据三角形的外角的性质证明；
（2）根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答；
（3）根据三角形的外角的性质，角平分线的定义、直角三角形的性质解答即可；
【详解】（1）解：，是高，
是角平分线，

故答案为：；
（2）解：，理由如下：
为的角平分线，
是边上的高，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
如图：
三点共线，为角平分线，
，
，
，

三角形中新定义型问题
1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【概念认识】如图①，在中，若，则、叫做的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．
【问题解决】

(1)如图①，，、是的“三分线”，则 ；
(2)如图②，在中，，，若的“三分线”交于点D，则 ；
(3)如图③，在中，、分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数．
【答案】(1)
(2)75或90
(3)
【知识点】角n等分线的有关计算、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，理解“三分线”的定义是解题关键．
（1）根据“三分线”的定义，得到，即可求出的度数；
（2）由三角形内角和定理，得到，再根据“三分线”的定义，分两种情况求出的度数；
（3）根据直角三角形两锐角互余，得到，再根据“三分线”的定义，得到，，进而求出，即可得到的度数．
【详解】（1）解：，、是的“三分线”，
，
；
故答案为：40；
（2）解：在中，，，
，
当是的“邻三分线”，
，
；
当是的“邻三分线”，
，
；
综上分析可知：或；
故答案为：75或90；
（3）解：，
，
，
、分别是邻“三分线”和邻“三分线”，
，，
，
，
．
2．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．
(1)如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B．则______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）；
(2)如图2，为钝角，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，请问与是否平行？并说明理由．
(3)若是“完美三角形”，求的度数．
【答案】(1)；是
(2)平行，理由见解析
(3)的度数是
【知识点】垂线的定义理解、三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，“完美三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“完美三角形”的概念判断；
（2）根据同角的补角相等得到，根据平行线的性质得到，推出；
（3）根据得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“完美三角形”的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴为“完美三角形”，
故答案为：；是；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
又，
∴，
∵是“完美三角形”，且为钝角，
∴，
∵，
∴，
因此的度数是．
3．（23-24七年级下·广东深圳·期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”．

(1)如图1，中，，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接．
①_______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
②若，请判断是否为“和谐三角形”？并说明理由．
(2)如图2，中，，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接，若是“和谐三角形”，请直接写出_______．
【答案】(1)①是；②是“和谐三角形”，理由见解析
(2)或
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．理解题意，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键．
（1）①由题意知，，则，进而可得是“和谐三角形”；②由，可得，则，由，可得是“和谐三角形”；
（2）由题意知，，则，，由，，可知当是“和谐三角形”，分或两种情况求解即可．
【详解】（1）①解：由题意知，，
∵，
∴是“和谐三角形”，
故答案为：是；
②解：是“和谐三角形”，理由如下；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是“和谐三角形”；
（2）解：由题意知，，
∴，
∴，
又∵，，
∴当是“和谐三角形”，分或两种情况求解；
当时，；
当时，
∵，
∴；
综上所述，的值为或；
故答案为：或．
4．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”．
(1)一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为______．
(2)如图，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“似黄金三角形”，求的度数．
(3)如图，中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或．
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】（）设“黄金角”的度数，则另一个内角的度数为，由三角形内角和定理可得，解方程即可求解；
（）由三角形内角和定理得，再分为“黄金角”、 为“黄金角”和为“黄金角”三种情况解答即可求解；
（）由平行线的性质和角平分线的定义可得，进而由三角形外角性质得到，设，根据“黄金角”及“似黄金三角形”的定义分和两种情况解答即可求解；
本题考查了三角形的内角和定理和外角性质，平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，理解“黄金角”及“似黄金三角形”的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：设“黄金角”的度数，则另一个内角的度数为，
则，
∴，
∴这个“黄金角”的度数为，
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，
∵为“似黄金三角形”，
若为“黄金角”，则，
∴；
若为“黄金角”，则，
∵，
∴，
∴，此种情况不合题意，舍去；
若为“黄金角”，则，
∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵为“似黄金三角形”，
当时，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵是“似黄金三角形”，
当为“黄金角”，时，
∵，
∴，
∴；
当为“黄金角”，时，
∵，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，此种情况不可能为“似黄金三角形”；
综上，的度数为或．
5．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“创新角”，其中一个角叫做另一个角的“创新角”．
例如：，，，则和互为“创新角”，即是的“创新角”，也是的“创新角”．
(1)已知和互为“创新角”，且，若和互补，则___________；
(2)如图1所示，在中，，过点作的平行线，的平分线分别交、于、两点．
①若，且和互为“创新角”，则___________；
②如图2所示，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“创新角”，求的度数；
③如图3所示，的平分线交于点，当和互为“创新角”时，则__________．
【答案】(1)
(2)①；②或；③，或．
【知识点】与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理以及直角三角形的两锐角互余等，注意分情况讨论，是解题的关键．
（1）根据创新角的定义，再结合补角的定义即可解答；
（2）①设的度数为，则，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到，利用“创新角”的概念，列方程即可解答；
②考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和直角三角形两锐角互余，用表示和，列方程，即可解答．
③考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，求得，即可解答．
【详解】（1）解：∵和互为“创新角”，且，若和互补，
，
；
故答案为：；
（2）解：①设的度数为，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，
，和互为“创新角”，
，
可得，
解得，
；
②设的度数为，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，
，
∵与互为“创新角”，
∴或，
∴或，
解得或；
③设，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，，
∵的平分线交于点，
∴，
∴
∴，
∵和互为“创新角”
∴或，
∴或，
∴，或；
综上所述，的度数为或．