专题07 三角形全等的性质与判定（5大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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全等三角形的性质
1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图，已知，若，则 ．

【答案】/50度
【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据全等三角形对应角相等可得，然后在中利用三角形内角和定理即可求出求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，已知，若，则 ．
【答案】/度
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理得到，再由全等三角形对应角相等得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，，其中．则的周长为
【答案】
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，，进而可得出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
∴的周长为，
故答案为：15．
4．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，已知，且点分别与点对应，，，则 ．
【答案】6
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质及线段的和差，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．
先根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和即可得出，然后将对应线段的长度代入计算即可得出答案．
【详解】
，
，，
故答案为：6．
5．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，，，垂足分别为点、． 若，，，则 ．
【答案】3
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查全等三角性的性质，属于基础题型，根据全等三角形的性质，得到，再根据线段的和差关系，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：3．
添加一个条件使两三角形全等
1.（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，线段是四边形的对角线，，请添加一个条件使得，添加的条件为 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理，即可解答．
【详解】解：①当时，根据可判定；
②当时，根据可判定；
③当时，根据可判定；
故答案为：（或或）．
2.（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： ．
【答案】
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】在与中，已知，，即已知一角及角的一边对应相等，根据“”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
【详解】解：可添加一个条件：，使．
理由：
在与中，
，
．
故答案为
3.（23-24七年级下·甘肃白银·期末）如图，已知，要使，只需添加一个条件： （写一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可知，推出，，则可添加条件，利用即可证明．
【详解】解：添加条件，理由如下：
∵，
∴，，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
4.（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，B是中点，，请添加一个条件，使得，可以添加的条件是 ．（写出一个即可）

【答案】（答案不唯一）
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意可知已有一组对应角和一组对应边相等，再确定一组对应角相等即可判定．
【详解】解：∵B是中点，
∴，
∵，
∴当时，依据可得，，
故答案为：（答案不唯一）
5.（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图已知，，
(1)添加下列条件：①；②；
③；④．
其中能证明与全等的有______（直接填序号）；
(2)在（1）中选择一个进行证明．
【答案】(1)②③
(2)见解析
【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查了添加条件使三角形全等及证明；
（1）根据全等三角形的判定定理即可解答；
（2）根据（1）所选取的条件，证明三角形全等即可．
【详解】（1）解：已知，，要使与全等可以添加的条件为或，能得到这些条件的有②③，
故答案为：②③；
（2）证明：选③，
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴．
利用尺规作图——三角形
1.（23-24八年级上·浙江·期末）已知和线段（如图）．
(1)用直尺和圆规作（点在的上方），使，（做出图形，保留痕迹，不写作法）．
(2)这样的三角形能作几个？
【答案】(1)见解析
(2)2
【知识点】尺规作一个角等于已知角、尺规作图——作三角形、作线段(尺规作图)
【分析】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
（1）先作，再在上截取，然后以为圆心，为半径画弧交于和，则和即为所作；
（2）由作图即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，和即为所作，
；
（2）解：由图可得：这样的三角形能作个．
2.（23-24七年级下·重庆·期末）如图，已知线段a，b和．
求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹）
【答案】作图见解析
【知识点】尺规作图——作三角形
【分析】此题考查作图能力：作一角等于已知角，截取线段长度等于已知线段长，掌握简单的作图方法是解题的关键．先作，再在角的两边分别截取，，，则，从而可得答案．
【详解】解：如图，即为所求作的三角形；
3.（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）尺规作图：
如图，线段和一副三角尺，其中．
求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【知识点】尺规作图——作三角形
【分析】本题考查尺规作三角形，根据尺规作角的方法作出，即可．掌握尺规作角的方法，是解题的关键．
【详解】因为
所以
如图所示，即为所求．
4.（23-24七年级下·广东佛山·期末）如题图，已知．
(1)请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）：
(2)若，比的2倍小，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、三角形内角和定理的应用、尺规作图——作三角形、用SAS证明三角形全等（SAS）
【分析】（1）以点B为圆心，任意长度为半径作弧，分别交、于点E、F，再以点C为圆心，相同的半径作弧，交于点G，以点G为圆心，为半径作弧，交另一条弧于点O，连接并延长，再以点C为圆心，为半径作弧，交射线于点D，即可得，，连接，再利用“” ，即可求解；
（2）由题意得，根据三角形内角和定理可得，求得，从而可得，由（1）可得，，即可求解．
【详解】（1）解：以点C为顶点，为的一条边，作，，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵比的2倍小，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，，
∴．
【点睛】本题考查作图−三角形、全等三角形的判定、三角形内角和定理及解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定和作三角形方法是解题的关键．
5.（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，已知线段m，n及．利用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹；
(1)求作所有满足条件的（全等除外），使得；
(2)在（1）中所作图中，过点C向直线画垂线，与直线交于点H；并结合图形，直接写出三条线段、和的数量关系为 ；
【答案】(1)见解析
(2)或
【知识点】画出直线、射线、线段、尺规作图——作三角形、尺规作一个角等于已知角、作垂线(尺规作图)
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法，都是基本作图，需要熟练掌握．
（1）第一种先做出，然后在边上截取得到点C，再以点为圆心，的长为半径作弧交射线于两点，连接即可得到和，则这两个三角行为符合题意的三角形；
（2）根据（1）中两种作图情况分别得出当即时，三条线段、和的数量关系：；当即时，三条线段、和的数量关系：．
【详解】（1）解：将原角按如下取点命名：
，
以点O为圆心，长为半径画弧，交两边于两点，再画射线，以长为半径画弧，交于点C ，再以C为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点H ，连接，则，再以点为圆心，的长为半径作弧交射线于两点，连接即可得到和，则这两个三角行为符合题意的三角形，故两种作图如下：
；
（2）解：如题意画图如下，其中位置即为两种情况的位置，
当即时，三条线段、和的数量关系：，
当即时，三条线段、和的数量关系：，
故答案为：或．
三角形全等的判定与性质
1．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，点D，E分别在和上，，点F是上一点，FE的延长线交延长线于点G．

(1)若，求的度数；
(2)若点E是的中点，与全等吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不全等，理由见解析
【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题
【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，利用平行线性质得出是解答本题的关键．
（1）根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和定理即可得出结论；
（2）只有一边一角不能证两个三角形全等．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：不全等，理由如下：
∵点E是的中点，
∴，
∵，
只确定了这两个条件，无法证明全等．
2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，，，与交于点P，点C在上．
(1)求证：；
(2)若，．
①求的度数；
②求证：．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、等边对等角
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
（1）根据题意证明，由全等三角形的性质即可证明；
（2）①由三角形外角的性质求出，由全等三角形的性质得出，利用等腰三角形的性质求解，即可解题；
②利用“”证明，由全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）解：①，，
，
，
，
，
；
②证明：，
，
，
由①可知：，
在和中，
，
，
．
3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知是的高，过作一直线，是直线上一点，是上一点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，，的面积是面积的3倍．求线段的长；
(3)若，，，请直接写出的面积与面积的比值（用含有的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.
（1）延长至点， 由得出得到 ；
（2）过点作交的延长线于点，证明 根据面积得到的长；
（3）设则 ， 由（2）得， 得到根据 得出．
【详解】（1）证明：延长至点，
为的外角，
，
，
，
；
（2）过点作 交的延长线于点，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵的面积是面积倍，
，
∵，
∴，
设， 则，
∴，
∴，
∴，
∴，解得x=1，
∴；
（3）设，， 则，，
由 (2) 得，
∴，
∴，
，
，
，
．
4．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接．
【问题解决】
（1）试说明：；
【问题探究】
（2）探索线段之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析
【知识点】全等三角形综合问题、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先证明得出，再由角平分线的定义得出，即可得证；
（2）由得出，证明，得出，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
（2）．理由如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
5．（22-23八年级上·四川南充·期末）都是等边三角形．

(1)如图，求证：；
(2)如图，点在内，为的中点，连，若，且．
①求证：；
②判断与的数量关系并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②，证明见解析
【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题
【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
（1）证明，可得结论；
（2）①如图中，延长到，使得，连接．证明，推出，，，再证明，可得结论；
②根据得到，设，根据列出方程，求出，可得结论．
【详解】（1）证明：如图中，
∵都是等边三角形
∴，，，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）①证明：如图中，延长到，使得，连接，

∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
同法可证，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
②结论：．
证明：∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
用HL证明两直角三角形全等
1.（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
（1）由“”可证；
（2）先由（1）可知，证，从而由三角形全等的性质可得，然后由线段的和差即可得证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴在与中，
，
；
（2）证明：由（1）知，
，
∵，，
，
在与中，
，
，
，
，
．
2.（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，于点E，于点F，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】同位角相等两直线平行、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键．
（1）先证明，再根据，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵于点于点，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
．
3.（23-24七年级下·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点O．
(1)求证：．
(2)求．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，
（1）根据证明两个三角形全等即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论；
解题的关键是掌握三角形全等的判定．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
4.（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F．
(1)求证：
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，
（1）直接利用证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）先根据直角三角形的性质求出，再根据全等三角形的性质求出，然后根据等边对等角得，进而求出，可得答案.
【详解】（1）证明：∵是腰上的高，，
∴.
又∵，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵是等腰三角形，
∴.
∵是的外角，
∴，
∴．
5.（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点．
(1)与全等吗？为什么？
(2)试说明点是线段的中点．
【答案】(1)全等，理由见解析
(2)说明见解析
【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义等知识，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，，再利用即可证明；
（2）利用证明，根据全等三角形的性质及线段中点定义即可得解．
【详解】（1）解：，
理由如下：
，
，即，
在与中，
，
，
，，
在和中
，
；
（2）解：由（1）知，，
与相交于点，
，
在和中，
，
，
，
点是线段的中点．
利用三角形全等求时间或线段长的多解问题
1.（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等．
【答案】或
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、全等三角形的性质
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为，动点M的速度为，则，进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可．
【详解】解：设运动的时间为，动点M的速度为，
由题意得，，
∴．
∵，
∴．
当时，则，
∴，
解得，
∴，
解得．
当时，则，
∴，
解得，
∴，
解得．
综上所述，动点M的速度为或，
故答案为：或．
2.（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发沿射线运动，二者速度之比为2：3，当点E运动到点A时，两点同时停止运动．在射线上取一点G，使与全等，则的长为 ．
【答案】8或15
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键．
设，则，使与全等；然后分和两种情况解答即可．
【详解】解：设，则，使与全等
①当时，
∵，
∴，解得：，
∴．
②当时，
∵，
∴，解得：，
∴，
综上所述，或．
故答案为：8或15．
3.（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在长方形中 ，，，，，延长至点E，使，连接．动 点P 从 点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点A 停止运动，运动时间为：t秒，当t 的值为 时，和全等．
【答案】或 10
【知识点】全等三角形的性质
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，当时，
∴
∵在长方形中，，，
∴，
∴
∵点P的运动时间为每秒2个单位
∴（秒）；
如图所示，当时，
∴，
∴，
∴（秒）
综上所述，当t的值为或10秒时，与全等．
故答案为：3.5或10．
4.（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ．
【答案】或
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、全等三角形的性质
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出两点的坐标，进而求出的长，分或两种情况进行讨论求解即可．利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
【详解】解：当时，，
∴点B的坐标为0,2，
∴，
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，
∵，，
∴，
当以C、D、A为顶点的三角形与全等时，共有或两种情况，
当时，，
∴点D的坐标为，即；
当时，，
∴点D的坐标为．
综上所述，点D的坐标为或．
故答案为：或．
5.（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）如图，中，，，．点从点出发沿路径向终点运动，终点为点；点从点出发沿路径向终点运动，终点为点．点和分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于、作于，当点运动 秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等．
【答案】2或7或24
【知识点】全等三角形的性质、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况：
①如图1，P在上，Q在上，则，，
，，
，
，
，，
，
，
，
即，
；
②如图2，P在上，Q在上，则，，
由①知：，
，
；
因为此时，所以此种情况不符合题意；
③当P、Q都在上时，如图3，
，
解得：；
④当Q到A点停止，P在上时，如图4，，时，解得．
，符合题意；
⑤因为P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3， P和Q都在上的情况不存在；
综上，点P运动2或7或24秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等．
故答案为：2或7或24．
与全等三角形有关的多结论问题
1.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，为边上一点，，点在的延长线上，平分，且．连接交于，为边上一点，满足，连接交于．以下结论：①；②；③．正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
先根据邻补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后利用定理证明出，进而判断①；利用证明出进而可判断②；得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，故①正确；
∵，，
∴，故②正确；
∴
又∵
∴，故③正确．
综上所述，正确的有3个．
故选：D．
2.（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在与中，，，，分别交，于点，，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用可证明，即可得，，，进而可判断①②正确，再利用可证明，即可判断④正确，再证明，，可知，根据题目条件，不能判断出与的大小关系，因此不能判断与是否相等，进而可知③不正确，理解并掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：，，，
，
，，，故②正确，
，
即，故①正确，
，，，
，故④正确，
，，，
，
，
又，
，即，
，，，
，
，
根据题目条件，不能判断出与的大小关系，因此不能判断与是否相等，故③错误，
综上，正确的有①②④；
答案：B．
3.（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，，，，点F是的中点．①；②；③；④；⑤．以上结论，正确的是（ ）
A．①③④⑤B．②③④⑤C．①②③④D．①②③④⑤
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
根据题意证明出，进而判断①；然后根据全等三角形的性质可判断②③；然后根据三角形中线的性质可判定④；然后根据直角三角形斜边中线的性质可判断⑤．
【详解】解：∵
∴
又∵，，
∴，故①正确；
∴
∴，故②正确；
∵
∴，
∴，即
又∵
∴
∴
∴，故③正确；
∵点F是的中点
∴，故④正确；
∵
∴，故⑤错误．
综上所述，正确的是①②③④．
故选：C．
4.（23-24八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是交于点，连接，下列结论：≌；；若，，则；其中正确的是 ．
【答案】
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，只要证明，即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故①正确
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②正确，
∵若．
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确，
∵，，
∴，故④错误，
故答案为：①②③．
全等三角形中的动点综合问题
1.（23-24七年级下·全国·期末）如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接．
(1)当点D在线段上时，求证：；
(2)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由；
(3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则 （用含α的代数式表示）．
【答案】(1)见解析；
(2)，理由见解析；
(3)或
【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）由得，利用即可得出结论；
（2）由（1）知，根据全等三角形的性质得，，则，可得为等边三角形，则，可得，得出，根据平行线的判定可得；
（3）分两种情形：当时，当时，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．
【详解】（1）证明：如图，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，理由如下：
由（1）知，
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
；
（3）解：如图，当时，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
如图，当时，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
，，
，
，
．
综上所述，当垂直于的某边时，则或．
故答案为：或．
2.（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．

(1)【观察发现】
如图①，与的数量关系是 ；
(2)【尝试探究】
点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数；
(3)【深入思考】
如图②，若E为中点，探索与的数量关系．
【答案】(1)
(2)的大小不变，
(3)
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等三角形综合问题、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．
（1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案；
（2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，；
（3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出．
【详解】（1）∵
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（2）的大小不改变，
如图①，作交于点F，则，

∴，
由（1）得，
∵
∴，
∴，
∴，
∴的大小不改变，．
（3），
理由：如图②，作交于点G，作于点H，则

∴，
∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
3.（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且．
(1)如图1，过F点作交于G点，求证：；
(2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点；
(3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定以及性质.
（1）易证，即可证明，即可解题；
（2）过点作交于点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据可证，根据，，即可解题；
（3）过作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：过点作交于点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为中点；
（3）解：过作的延长线交于点，如图，
，，，
，
由（1）（2）知：，，
，，
，
，
，
．
故答案为．
4.（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，．
(1)如果，．
①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为________，数量关系为________；
②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(2)如图3，如果，，点D在线段上运动．
探究：当多少度时，？请说明理由．
【答案】(1)①，；②仍然成立，理由见解析
(2)当时，，理由见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、垂线的定义理解
【分析】本题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是证明全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解．
（1）①根据，，，运用“”证明，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段、之间的关系；
②先根据“”证明，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到（1）中的结论仍然成立．
（2）过点A作交的延长线于点G，证明，根据对应角相等即可得出结论．
【详解】（1）解：①与位置关系是，数量关系是．
理由：
，，
．
又，，
，
且．
，
，即．
故答案为：，；
②都成立
，
，
在与中，
，
，，
，即．
（2）解：当时，．
理由：过点A作交的延长线于点G，则，
∵，
∴，
∴
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，即．
三角形全等之新定义型综合问题
1.（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”．
【迁移运用】
(1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______；
(2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______；
(3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：．
【答案】(1)
(2)或
(3)见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理：
（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；
（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；
（3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论．
【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是；
（2）解：若是的“边垂角”，分两种情况
①如图，是的“边垂角”，
，
，
，
，

②如图，
是的“边垂角”，
，
，
，
，

综上所述，与的数量关系是或；
（3）解：延长交于点，
是的“边垂角”，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点关于直线对称点为点，
，
，
；
2.（23-24七年级下·江苏南京·期末）定义：只有一组对角相等的四边形叫做等角四边形．如：在四边形中，若，且，则称四边形为等角四边形，记作等角四边形．
【初步认识】
（1）如图，四边形是等角四边形，，，则_____；
【继续探索】
（2）如图，四边形是等角四边形，平分，平分，求证：；
（1）如图，已知，点分别在边上．在的内部求作一点，使四边形是等角四边形，且．
（要求：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）
【答案】（1）135；（2）证明见解析；（3）见解析
【知识点】尺规作一个角等于已知角、同位角相等两直线平行、角平分线的有关计算
【分析】（1）由题意得出，再由计算即可得出答案；
（2）设，由角平分线的定义得出，，求出，在计算出，得出，即可得证；
（3）根据等角四边形的定义作图即可．
【详解】（1）解：∵四边形是等角四边形，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是等角四边形，
∴，
设，
∵在四边形中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，作，作射线，作，，、交于点，点即为所求，
，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是等角四边形，
∴点即为所求．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、作图—设计与应用作图、三角形内角和定理、平行线的判定等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
3.（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形．
【初步尝试】
（1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长；
【理解运用】
（2）如图2，与为积等三角形，若，且线段AD的长度为正整数，求AD的长．
【综合应用】
（3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由．
【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三角形中线求面积、确定第三边的取值范围
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.
（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题；
（2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可.
【详解】（1）解：过点作于，
与是积等三角形，
，
，
，
；
（2）解：如图2，延长至，使，连接，
与为积等三角形，
在和中，
，
在中
为正整数，
；
（3）是积等三角形
证明：如图3，过点作于点，

在和中，
，
与为积等三角形．
4.（23-24八年级下·重庆江津·期末）定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．

(1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和；
①如图（2），当时，求证：；
②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由．
(2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值．
【答案】(1)①见解析；②相等，理由见解析
(2)变化，最大值为18
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的分类
【分析】（1）①由正方形的性质可以得出，，，即可得出而得出结论；
②如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点，通过证明就有而得出结论；
（2）根据（1）可以得出，要使最大，就要使最大，当时最大，即可求出结论．
【详解】（1）解：①证明：正方形和正方形，
，，，
，
，
．
在和中，
，
．
，
．
②．
理由如下：
如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点．
．
四边形，四边形均为正方形，
，，
，．
．
在和中，
，
，
．
，
，，
；
（2）的值发生变化；的最大值为18；理由如下：
由（1）得，是面积的三倍，
要使最大，只需的面积最大，
当是直角三角形，即时，有最大值．
此时，．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式；本题难度较大，综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．