专题08 三角形全等的五大基本模型（5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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三角形全等之三垂直模型
1．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE，AD，的关系；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．
2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系
问题情境：
如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D
初步探究：
(1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
(2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由
3．（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
（2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点；
②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题．

【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；
，
，
∵，，
，，
，
，
∵
，
__________；
②，，则__________；
【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；
【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________．
5．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，为直线上一动点，连接．在直线的右侧作，且．

观察发现：
（1）如图①，当点在线段上时，过点作的垂线，垂足为，判断线段与之间的关系，并说明理由；
探究迁移：
（2）将如图①中的，连接，交直线于点，我们很容易发现．如图②，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点，线段和线段之间的关系有没有变化？此时吗？说说理由．
拓展应用：
（3）如图③，当点在线段的延长线上时，当，时，求和的面积．
三角形全等之一线三等角模型
1．（23-24七年级下·山东济南·期末）【模型呈现】
（1）如图1，，，于点，于点．
求证：．
【模型应用】
（2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积．
【深入探究】
（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．
①求证；
②若，，求的面积．
2．（23-24七年级下·全国·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和．
3．（23-24八年级上·山东日照·期末）问题情境：如图①，在中，于点D．
可知：（不需要证明）；
(1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边上，且于点F，于点D．证明：；
(2)归纳证明：如图③，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是的外角．已知，．求证：；
(3)拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．（直接写出结果）
4．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践
问题情境：
数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在中，，直线过点，点是直线上两点．
独立思考：
（1）如图1，当直线在的外部，满足时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
拓展探究：
（2）如图2，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段，与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段与之间的数量关系．
三角形全等之手拉手模型
1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图1，已知和都是等腰三角形，点和点分别在和上，，易知和的数量关系是．
(1)观察猜想
若，将绕点旋转到如图2所示的位置，连结和，猜想和的数量关系是，请说明理由；若延长和交于点，则______；
(2)类比探究
若，将绕点旋转到如图3所示的位置，连结和交于点和的数量关系为______，则______；
(3)拓展应用
如图3，在“类比探究”的条件下，已知，若连结和，则四边形的面积是______．
2．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践
问题情境：
在和中，，，在内部，连接，延长交于点F，交于点G，设．
特例思考：
（1）如图1，当时，试说明与之间的数量关系与位置关系；
一般猜想：
（2）如图2，当时，请直接用含的代数式表示的度数；
深度探究：
（3）如图3，在图2的基础上，在线段DB上截取，连接，求的度数．（用含的代数式表示）
三角形全等之倍长中线模型
1．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：．
【理解与运用】
（2）如图2，是的中线，若，求的取值范围；
（3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：．
2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；
（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．
3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．

【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：；
【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由．
4．（22-23七年级下·四川达州·期末）（1）阅读理解：

如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是 ；则中线的取值范围是 ；
（2）问题解决：
如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系
三角形全等之截长补短模型
1．（23-24八年级上·福建南平期末）【问题背景】
如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____．
【探索延伸】
如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
2．（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．

(1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________；
(2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由．
(3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
3．（23-24七年级下·四川达州·期末）在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动．
【初步探索】
（1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________；
【灵活运用】
（2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
【延伸拓展】
（3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由．