贵阳市清华中学2024-2025学年高二上学期10月阶段考试数学试卷(含答案)

这是一份贵阳市清华中学2024-2025学年高二上学期10月阶段考试数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于( )
A.B.C.D.
2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是( )
A.B.C.D.
3．王伟在“国庆”节七天假期中每天的运动时长（单位：分钟）统计数据如下表，则( )
A.王伟这七天每天运动时长的平均数是73
B.王伟这七天每天运动时长的中位数是75
C.王伟这七天每天运动时长的第80百分位数是92
D.王伟这七天每天运动时长的极差是45
4．下列三角函数式的值不等于的是( )
A.
B.
C.
D.
5．下列函数中，其图像不关于原点对称的是( )
A.
B.
C.
D.
6．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是，的中点，则直线EF到平面的距离为( )
A.B.C.D.
7．已知，，，则实数的大小关系正确的是( )
A.B.C.D.
8．口袋中有2个红球和2个白球（形状和大小完全相同），从中随机不放回地依次摸出2个球，设事件“第1次摸出的是红球”，“第2次摸出的是红球”，“摸出的两个球均为红球”，“摸出的两个球颜色不同”则下列说法正确的是( )
A.A与B互斥
B.C与D互为对立
C.
D.A与D相互独立
二、多项选择题
9．经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )
A.B.C.D.
10．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有( )
A.
B.
C.
D.
11．在正方体中，，，则( )
A.为钝角
B.
C.平面
D.直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题
12．已知直线与直线互相垂直，则实数a的值为________.
13．已知圆与圆相交，则实数m的取值范围是________.
14．如图，正方体的棱长为1，若空间中的动点P满足，，则下列命题正确的是________.（请用正确命题的序号作答）
①若，则二面角的平面角为；
②若，则点P到平面的距离为；
③若，则三棱锥的体积为；
④若，则动点P的轨迹构成的平面图形的面积为.
四、解答题
15．如图，在平行六面体中，，，，，.求：
(1)的长；
(2)与所成角的余弦值
16．已知圆C的圆心M在直线上，并且经过点，与直线相切
(1)求圆C的方程；
(2)经过点的直线与圆C相交于A，B两点，若，求直线l的方程
17．如图，在长方体中，，M是的中点，N是棱上一点
(1)若N是的中点，求证：平面；
(2)若平面，求的长
18．如图，四棱锥中，是等边三角形，，.
(1)证明：；
(2)若，，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值
19．已知动点与点的距离是它与原点O的距离的2倍
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)求的最小值；
(3)经过原点O的两条互相垂直的直线分别与轨迹E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积S的最大值
参考答案
1．答案：D
解析：设直线的倾斜角为，
由直线，可得斜率为，
即，所以，故D正确
故选：D
2．答案：A
解析：在空间直角坐标系中，
某点关于平面的对称点在y轴、z轴上的坐标均不变，
x轴上的坐标变为对应的相反数即可，
所以关于平面的对称点的坐标为.
故选：A
3．答案：C
解析：由题意：平均数为，A错；
从小到大排列为：，中位数是70，B错；
，第80百分位数是第6个数92，C正确；
极差是，D错，
故选：C
4．答案：A
解析：对于选项A，因为
所以选项A正确，
对于选项B，因为，所以选项B错误，
对于选项C，因为，所以选项C错误，
对于选项D，因为，所以选项D错误，
故选：A.
5．答案：B
解析：A：由且定义域为R
所以函数图像关于原点对称；
B：由
则，
且定义域为R，函数图像关于y轴对称，且
故函数图像不关于原点对称；
C：由且定义域为R
所以函数图像关于原点对称；
D：由且定义域为
所以函数图像关于原点对称
故选：B
6．答案：B
解析：以D为坐标原点，所在直线为轴
建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，
由于，则，
又平面，故平面，
则直线EF到平面的距离即为点E到平面的距离，
又,
设点E到平面的距离为d
即得,
即直线EF到平面的距离为，
故选：B
7．答案：C
解析：因为
，
所以，而，，
故我们构造指数函数
得到，
由指数函数性质得在R上单调递减，
因为，所以
综上可得，故C正确
故选：C
8．答案：D
解析：令2个红球和2个白球分别为
从中随机不放回地依次摸出2个球有：
，共12种，
事件A对应事件为，有6种，
事件B对应事件为，有6种，
事件C对应事件为，有2种，
事件D对应事件为，有8种，
综上，A与B不互斥，C与D互斥但不对立
，且，
事件对应事件为，有4种
故，
所以
故A、B、C错，D对
故选：D
9．答案：AC
解析：
①当直线经过原点时，直线方程为，即；
②当直线不经过原点时，设所求的直线方程为
则，故
因此所求的直线方程为，
综上，符合的直线方程为或.
故选：AC
10．答案：ABD
解析：由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确；
设
即方程无解，
所以，，不共面，B选项正确；
设
即，解得：，
即
所以，，共面，C选项错误；
设，因为是空间的一个基底
所以方程无解，这表明三个向量不共面，D选项正确；
故选：ABD
11．答案：BCD
解析：令，以D为原点
分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系
如图
则为锐角，故A错误；
，故B正确；
设平面的法向量为
不妨设，则，
，
，又平面
则平面，故C正确；
平面
则是平面的一个法向量，又，
则直线与平面所成角的正弦值为，故D正确
故选：BCD.
12．答案：0或1
解析：当时，直线化为：，
直线化为
此时两直线垂直，满足题意，所以；
当时，直线化为：，
直线化为
此时两直线不垂直，不满足题意，所以；
则当且时，直线的斜率为，
直线的斜率为
因为两直线垂直，所以，
解得：，
综上可得：实数a的值为0或1，
故答案为:0或1.
13．答案：
解析：圆的圆心坐标、半径分别为，
圆
即的圆心坐标、半径分别为，
若圆与圆相交，
则
或，
综上所述，实数m的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：①④
解析：分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，，，
对于①，若，
则，可得，
设平面的法向量，
又，，
，
即，
取，则，
易得平面的一个法向量，
则，
设二面角的平面角为，
是锐角，二面角的平面角为，故①正确；
对于②，向量，
设平面的法向量，
由，，
则即，
取，则，
则点P与平面的距离为，故②错误；
对于③：，
，，，
，则，
设平面的法向量为，
由，，
则，
取，则，
则点P到平面的距离为，
由，得，
又为边长为的等边三角形
则，
则三棱锥的体积，故③错误；
对于④：延长至点，使得，
取中点，中点，
连接，并延长交棱，于点E，F，交，延长线于点M，N，连接交棱，于点G，H，连接，，如图所示，
则平面与正方体的截面为六边形，，
在平面中，
，点为中点，
，，
在和中，
，
，
，
，即点E为中点，，
同理可得，，
六边形为正六边形，且边长为，
则其面积，
，，
，
整理得，
点P在平面上，
当，点P的轨迹构成的平面图形的面积为，故④正确；
故答案为：①④.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为
所以，
所以，而，
同理可得，而
所以长为；
(2)因为
，
所以，
而，故，
所以，
所以与所成角的余弦值为.
16．答案：(1)
(2)或
解析：(1)设圆C的方程为，
由已知得
解得，，，
所以圆C的方程为
即；
(2)①若直线l有斜率，可设l的方程为
即，
由已知，则圆心到直线l的距离
解得，
此时，直线l的方程为
即；
②若直线l没有斜率，则l的方程为，
将其代入
可得或，
即得，，满足条件，
综上所述，直线l的方程为或.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
由题设可得：，，，，
，，，
∴，，,
由，
，
可得，，
又∵，平面MNC
∴平面；
(2)设的长为h则，点，进而得，
设平面的法向量为，因，
则
取得，
∵，且平面，
∴，即，
解得，即的长为.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：如图①，设O为BD中点，连接PO、CO，
由，可得，
由，可得，
又∵，，平面POC，
所以平面POC，
又平面POC，所以.
(2)∵，O为BD中点，∴，
又∵，且A，B，C，D四点共面
∴A，O，C三点共线，且，
∵，
∴，
是等边三角形，则.
由题意知为正三棱锥
所以点P在底面ABD上的射影M是正的中心，连接PM，如图②所示
根据正三角形的性质可得
，
∴，
以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，过点O作平面ABCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系Oxyz，可得，，，，，
∴，，，，
设平面PAB的法向量，平面PCD的法向量，
则，，
即，，
令，可得，，
∴.
所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为.
19．答案：(1)
(2)
(3)7
解析：(1)由已知得，
化简得
即，
所以动点M的轨迹E的方程为：；
(2)设，得，
代入轨迹E的方程消去y并整理得，
∴
即，
解得，
故的最小值为；
(3)(i)若两直线都有斜率，可设直线AB的方程为
则直线CD的方程为，
由(1)的结论可知，轨迹E是以点为圆心，半径长为2的圆
到直线AB的距离
所以，
同理，，
所以.
，
(ii)若AB、CD两直线中有一条没有斜率，则另一条的斜率为0，
此时线段AB、CD的长分别为、4（或4、）
所以.
综上所述，当且仅当
即时，四边形ACBD的面积S取得最大值，最大值为7.
日期
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
运动时长
58
92
100
70
80
45
60