衡阳市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份衡阳市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
2．命题“，”的否定是( )
A.，B.，
C.，D.，
3．若，，则与的大小关系是( )
A.B.
C.D.随x值变化而变化
4．满足条件的集合A个数为( )
A.5B.6C.7D.8
5．如果对于任意实数x，表示不超过x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
6．下列命题为真命题的是( )
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
7．下列说法正确的是( )
A.一个四边形的对角线互相垂直是该四边形为菱形的充要条件
B.，使方程有唯一根，则
C.使，则
D.的最大值为25
8．对于任意，恒成立，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.是的必要不充分条件
C.的最小值为
D.，且，则的最小值为4
10．设，，若，则实数a的值可以为( )
A.0B.C.1D.2
11．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆O的直径，点C是上一点（不同于A，B，O），点D在半圆O上，且，于点E.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．已知，，则的取值范围是________.
13．周末不忙，来趟衡阳，某校高一一班的58名同学国庆假期自愿报名参加游园活动，据统计其中38人参观酃湖公园，48人参观了石鼓书院，48人参观了船山书院，32人既参观了酃湖公园又参观了石鼓书院，40人既参观了石鼓书院又参观了船山书院，30人既参观了酃湖公园又参观了船山书院，24人三个地方都参观过，则三个地方都没参观的同学有人________.
14．记实数，，…，中的最大数为，最小为，若a，b，c均为正数，则________.
四、解答题
15．已知不等式的解集为A，不等式的解集为B.
(1)求.
(2)若不等式的解集为，求a，b的值.
16．已知集合，，且.
(1)若命题p:，是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q:，是假命题，求实数m的取值范围.
17．（1）已知，，比较与的大小.
（2）已知a，b，m，n均为正实数，且，求证：.
18．某华为平板电脑体验店预计2024年10月到2025年9月全年可以销售450台平板，已知该平板电脑的进价为3000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入台，则每批需付运费200元，储存购入的平板电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入50台，则全年需付运费和保管费6800元.
(1)求全年所付运费和保管费之和y关于x的函数；
(2)若全年只有5600元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当的安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量：如果不够用，最少还需补多少？
19．对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”.
(1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由；
(2)求证：若集合A是“和谐集”.则集合A中元素个数为奇数；
(3)若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：易知空集是没有元素的集合，即，①错误；
空集是任何集合的子集，即，④正确；
无理数不是整数，即，②错误；
最简分数是有理数，即，③正确.
故选：B
2．答案：D
解析：命题“，”为存在量词命题，
其否定为：，.
故选：D
3．答案：A
解析：由题可得
，
所以，
故选：A.
4．答案：C
解析：原问题等价于求的真子集的个数，故所求为.
故选：C.
5．答案：A
解析：如果，，则有，，，
，所以是的充分条件；
反之，如果，比如，，则有，
根据定义，，，，即不是必要条件，
故是的充分不必要条件；
故选：A.
6．答案：C
解析：对于A，当时，，故A错误；
对于B，当，时，，，，则，故B错误；
对于C，，
因为，所以，，，
所以，即，故C正确；
对于D，，
因为，
所以，即，故D错误，
故选：C.
7．答案：C
解析：对于A，一个四边形的对角线互相垂直是该四边形为菱形的必要不充分条件，故A错误；
对于B，当时，方程有唯一实数根，故B错误；
对于C，使，只需x的最大值大于m即可，则，故C正确；
对于D，由基本不等式可得，故不可能等于25，故D错误.
故选：C.
8．答案：D
解析：对于任意，恒成立，则
而，当且仅当时取等号，所以.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：若，，则，
所以不能推出，
由可推出，
所以“”是“”的充分不必要条件，A正确；
当，时，，但，故不能推出，
当，时，，但，故不能推出，
所以是的即不充分也不必要条件，B错误；
当时，，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，C正确；
若，，，
则，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4，D正确.
故选：ACD.
10．答案：ABC
解析：由，可得或，故，
因为，所以，又，
所以或或，
若，则方程的解集为，故，
若，则方程有且仅有一个根2，故，
若，则方程有且仅有一个根4，故，
故选：ABC.
11．答案：BC
解析：，可得半径
在中，由射影定理可知：，，
，（，，），故B正确，
同理，在中，由射影定理可知：，
即，
，即，
，C正确，
对于A、D选项，图中的线段无法判断.
故选：BC.
12．答案：
解析：由题意，，，
令，则，，
所以，
因为，所以，，
所以，即.
故答案为：.
13．答案：2
解析：由题意，如图：
因为32人既参观了酃湖公园又参观了石鼓书院，24人三个地方都参观过，
所以，同时参观酃湖公园和石鼓书院，但未参观船山书院的有人，
同理，同时参观石鼓书院和船山书院，但未参观酃湖公园的有人，
同时参观酃湖公园和船山书院，但未参观石鼓书院的有人，
因为38人参观酃湖公园，48人参观了石鼓书院，48人参观了船山书院，
所以，只参观酃湖公园的有人，
只参观石鼓书院有人，
只参观船山书院有人，
所以三个地方都没参观的同学有人.
故答案为：2
14．答案：9
解析：设，
因为a，b，c均为正数，所以，
依题意，整理得，
所以，得
所以，当且仅当时等号成立，
所以M的最小值为9.
故答案为：9.
15．答案：(1)；
(2)，
解析：（1）解得，即，
解得，即
（2）由的解集为，
，3是方程的两个根，
，，，
此时满足题意.
故，.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由命题p为真命题可得，且
则，解得.
即实数m的取值范围为.
（2）q:，是假命题
q:，是真命题，即
，解得，
即实数m的取值范围为.
17．答案：（1）答案见解析；
（2）证明见解析
解析：（1）因为，
当时，，
当时，，，
所以，即，
当且时，，，
所以，即，
综上所述，当时，；当时，；
当且时，.
（2）
，
当且仅当即时等号成立，
所以，命题成立.
18．答案：(1)；
(2)每批应购入平板电脑30台，全年运费和保管费最少，此时还需补400元
解析：（1）设保管费与电脑总价值的比例系数为k，
则
当时，，解得，
所以；
（2）由（1），，
当且仅当，即时，等号成立，
所以每批应购入平板电脑30台，全年运费和保管费最少，为6000元，此时还需补400元.
19．答案：(1)不是，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)7
解析：（1）当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：
，；，；，；，；，；，；，，
经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等，故集合不是“和谐集”；
（2）设正整数集合（，）所有元素之和为M，由题意可知均为偶数，因此任意一个元素（）的奇偶性相同.
若M是奇数，所以（）也都是奇数，由于，显然n为奇数；
若M是偶数，所以（）也都是偶数.
此时设（），
显然也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”，
此时各项的和也是奇数，集合A中元素的个数也是奇数，
综上所述：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数.
（3）由（2）知集合A中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”，
当时，不妨设，若A为“和谐集”，去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”，
当，设，去掉1后，，
去掉3后，，去掉5后，，
去掉7后，，去掉9后，，
去掉11后，，去掉13后，，
故是“和谐集”，元素个数的最小值为7.