吉林省“BEST”合作体六校2024-2025学年高三上学期第三次联考数学试卷

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高三数学试题
本试卷分主观题和客观题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.
第I卷客观题
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.2
2.已知数列是等差数列，若，则（ ）
A.5 B.4 C.9 D.7
3.已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（ ）
A. B. C. D.
6.已知数列满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.记的内角的对边分别是，已知，，则线段长度的最小值为（ ）
A.2 B. C.3 D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分
9.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C.的图象与轴的交点坐标为
D.函数的图象关于直线对称
10.已知函数，则下列正确的是（ ）
A.的极小值为0
B.在单调递增
C.有三个实根
D.，当时，恒成立，则的取值范围是
11.定义在的函数满足，且都有，若方程的解构成单调递增数列，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B.若数列为等差数列，则公差为6
C.若，则
D.若，则
第II卷主观题
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.
12.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为__________.
13.已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是__________.
14.如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）已知的内角的对边分别为.
（1）求的值；
（2）若的面积为，且，求的周长.
16.（本题满分15分）已知函数.
（1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若的两个极值点分别为，证明：.
17.（本题满分15分）已知数列中，，且为数列的前项和，，数列是等比数列，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18.（本题满分17分）已知函数.
（1）若的定义域为，求的取值范围；
（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过
1，求的取值范围.
19.（本题满分17分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数有两个不同的零点，
（i）求实数的取值范围：
（ii）若满足，求实数的最大值.
2024-2025学年度上学期吉林省“BEST”合作体
高三年级六校联考
高三数学试题答案及评分标准
一､单项选择题（每小题5分，共8题，共40分）
1.D 【解析】，
，所以的虚部为2.故选D.
2.A 【解析】由数列是等差数列可知，成等差数列，
所以.故选A.
3.B 【解析】因为命题“”为假命题，所以，命题“”为真命题，因为集合，集合，
所以，当时，即时，成立，
当时，由“”得，解得，
综上，实数的取值范围为.故选B.
4.B 【解析】根据投影向量的定义，
在上的投影向量为故选B.
5.C 【解析】将函数
的图象向左平移个单位长度，得到的图象，在上，，则在上的值域为，故选C.
6.A 【解析】因为，所以由递推公式可得
当时，等式两边分别相加，得
，
因为，则，而满足上式，所以，
即，函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，当时，，
当时，，因为，所以的最小值为，故选：A.
7.C 【解析】由.则，令.当时，
，则，不符合题意；当时，，则，不符合题意；所以，即，则.当时等号成立.的最大值为.故选C.
8.D 【解析】由及正弦定理，
得，即，由余弦定理得，，
.由，两边平方，得
即
，当且仅当，即时取等号，
即，线段长度的最小值为.故选D.
二､多项选择题（每小题6分，共3题，共18分）
9.ACD 【解析】由图可知，的最小正周期，则，A正确；
由图象可知时，函数无意义，故，由，得，即，则，即B错误C正确；由于，则的图象关于点对称，可得函数的图象关于直线对称.故选ACD
10.ACD 【解析】由题意知：定义域为；
当时，；当时，的单调递减区间为；
单调递增区间为的极小值为，A正确；
对于B，当时，单调递减，B错误；
对于的极大值为，且当时，，由此可得图象如下图所示，
由图象可知：与有三个不同的交点，即有三个实根，C正确；
对于D，由当时，恒成立可得：，
令，则在上单调递增，
在上恒成立，在上恒成立；
在上的最大值为，D正确.故选ACD.
11.ABD 【解析】因为都有，即的图象关于对称，令，则，即，可知在内的图象关于点对称，
根据题意作出在内的图象，如图所示：
对于选项A：因为定义在的函数满足，则，故A正确；
对于选项B：由图象可知：若数列为等差数列，此时与在内有且仅有一个交点，因为，则，所以公差为6，故B正确；
对于选项C：若，则，可得，则，即与在内有且仅有2个交点，结合图象可得，故C错误；
对于选项D：若，则与在内有且仅有3个交点，且，因为，则，所以数列是以首项为7，公差为12的等差数列，可得，所以.故D正确；
故选ABD.
三､填空题（每小题5分，共3题，共15分）
12. 【解析】曲线的导数曲线在处的切线的倾斜角为故答案为.
13. 【解析】因为对任意的两个正整数都有，
所以数列是递增数列，当时，，可得，
当时，，即，解得，
又，所以，解得或.
综上，实数的取值范围是.
14. 【解析】设，设对应的复数为，则，设对应的复数为，
设对应的复数为，所以，
所以，
由已知可得，
所以，
又，所以，所以，
三､解答题（共5题，共77分）
15.（本题满分13分）
（1）因为，由正弦定理得，
可得，
即，
因为，可得，所以，即，
所以.
（2）解：由（1）知，因为若的面积为，
可得，即，解得，
又因为，由余弦定理得
整理得，解得，
所以，所以的周长为.
16.（本题满分15分）
（1）在上恰有两个不同的解，
令，所以
解得，即实数的取值范围是；
（2）证明：由（1）知是方程的两个不同的根，
所以，
所以
，
令，
令在上恒成立，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以，所以在上单调递减，
所以，
所以.
17.（本题满分15分）
（1）由已知当时，，所以，
又，所以，
所以，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以，
所以当时，，
又，所以，
设等比数列的公比为，因为，
所以，解得，所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以数列的前项和
，
所以；
18.（本题满分17分）
（1）函数的定义域为，则在上恒成立，
结合二次函数的图象可知，需使，
解得，即的取值范围为；
（2）设，则在定义域内是增函数，
因，故对任意，函数在区间上单调递增，
故，
依题意，对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则需使，
因函数图象的对称轴为，
①当，即时，在上单调递增，故由，
解得，不合题意，舍去；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
故，解得，因，故.
综上，的取值范围是.
19.（本题满分17分）
（1）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的递增区间是，无递减区间；
当时，的递增区间是，递减区间是.
（2）（i）由，得，
令，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
而当时，恒成立，且，由有两个零点，即方程有两个不等的正根，
即直线与的图象有两个公共点，因此，即，
所以实数的取值范围是.
（ii）由，得，且
不妨设，将代入，
得，即，
令，求导得，令，
求导得，则函数在上单调递减，
有，即，函数在上单调递减，
由，得，则，
因此函数在上单调递减，即，
于是，有，则，
又，令，
由（i）知，在上递增，而，因此在上递增，
则，即，解得，
所以的最大值是.9
10
11
ACD
ACD
ABD