四川省眉山市东坡区部分高中学校2024-2025学年高二上学期11月期中联合考试数学试题

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12．
【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可求解.
【详解】由条件可得，，
所以在方向上的投影向量的坐标为
.
故答案为：
13．/30°
【分析】根据直线斜率的求法及斜率与倾斜角的关系求解.
【详解】由直线l经过，两点，
则直线的斜率，
所以直线的斜率，
由，所以.
故答案为：
14．/
【分析】转化向量，利用基底表示向量，再根据共面向量基本定理，即可求解.
【详解】连接，

因为，，所以．
因为，所以．
因为，所以，所以．
又因为，所以．
因为，所以．
又因为，且，，，四点共面，
所以，解得．
故答案为：
15．(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3
(2)
【分析】（1）由斜率公式直接求解；
（2）由倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率，
直线AC的斜率，
故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3．
（2）当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，
直线AD的斜率由增大到，
所以直线AD的斜率的变化范围是.
16．(1)，中位数是分
(2)
【分析】（1）根据频率之和为求得，根据中位数的求法求得中位数.
（2）先按分层抽样计算出、抽取的人数，然后利用列举法求得所求概率.
【详解】（1）依题意，，解得.
前三组的频率为，
所以中位数为分.
（2）的频率为，的频率为，两者的比例是，
所以抽取的名学生中，中的有人，记为；
在中的有人，记为；
从中抽取人，基本事件有，
共种，其中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的是：
，共种，故所求概率为.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）不妨设，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由，得到，即可得证；
（2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）不妨设，则，如图建立空间直角坐标系，

则，，，A1,0,0，，，
所以，，，
设m=x,y,z是平面的一个法向量，
则，取，则，
所以平面的一个法向量，
又，所以，因为平面，所以平面.
（2）因为平面，所以是平面的一个法向量，
又因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合题意可得第一次甲取出红球，第二次乙取出白球，第三次甲取出红球，第四次乙取出白球，计算其概率即可；
（2）分甲第一次和第三次取出白球，甲第三次和第五次取出白球，甲第一次和第五次取出白球的情况及求其对应的概率，再求概率之和即可.
（3）分取出白球的情况及其对应概率，再求概率之和即可.
【详解】（1）若2个白球都被乙取出记为事件，即第一次甲取出红球，第二次乙取出白球，第三次甲取出红球，第四次乙取出白球，结束取球，
则;
（2）若2个白球都被甲取出记为事件，三种情况：
①第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，结束取球，
其概率为；
②第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出红球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，
其概率为；
③第一次甲取出红球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，
其概率为；
故．
（3）若将球全部取出才停止取球记为事件，则最后一次即第5次取出的一定是白球．
四种情况：
①第1次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为；
②第2次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为；
③第3次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为；
④第4次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为；
故．
19．(1)证明见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）连接，证得，利用用线面判定定理，即可得到平面.
（2）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.求得平面和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
（3）设，则，从而，由（2）知平面的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，即可求解．
【详解】（1）连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形.
由点和分别为和的中点，可得且，
因为为CD的中点，所以且，
可得且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.
依题意可得，.
，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，.
，于是.
所以，二面角的正弦值为.
（3）设，即，则.
从而.
由（2）知平面的法向量为，
由题意，，即，
整理得，解得或，
因为所以，所以.
则N到平面的距离为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
D
C
A
C
C
ABD
ACD
题号
11









答案
BCD