贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一､二章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在正方体中，下列向量与平行的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据正方体的性质可解.
【详解】如图，在正方体中，.
故选：A.
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程可得斜率，再由斜率的定义计算倾斜角即可.
【详解】由得，
所以直线的斜率，即，
又，所以倾斜角.
故选：C.
3. 已知点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量夹角的公式计算即可；
【详解】由题意可得
.
故选：A.
4. 下列命题正确的是（ ）
A. 一条直线方向向量是唯一的
B. 若直线的方向向量与平面的法向量平行，则
C. 若平面的法向量与平面的法向量平行，则
D. 若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则
【答案】B
【解析】
【分析】平面法向量的概念及辨析、利用法向量判断线面、面面位置关系即可.
【详解】对于A:一条直线的方向向量不唯一，A错误；
对于B:若直线的方向向量与平面的法向量平行，则，B正确.
对于C:若平面的法向量与平面的法向量平行，则，C错误.
对于D:若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则或，D错误.
故选：B.
5. 直线在轴､轴上的截距之和的最小值为（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】先化为截距式，得到截距，借助基本不等式计算即可.
【详解】可化为，
则直线在轴､轴上的截距之和为，
当且仅当时，等号成立，所以截距之和的最小值为.
故选：A.
6. 在正四面体中，为棱的中点，，则（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据图形，由向量的加法和向量的数量积计算即可；
【详解】
因为为棱的中点，所以，
所以.
故选：B.
7. 已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别设出两点坐标，再由中点坐标公式得出两坐标之间的关系，将圆方程等式替换成点的坐标可得结果.
【详解】设，，则，，即，①.
因为点A在圆上运动，所以满足②.
把①代入②，得，即.
故线段OA的中点P的轨迹方程为.
故选：D
8. 已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】由点关于直线的对称点方法求出，再有三点共线求出最小值即可；
【详解】如图，设关于直线对称的点为，则
解得，则，
所以.
故选：D.

二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 不存在实数，使得
D. 与直线之间的距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于AB：根据垂直列式求解即可；对于C：根据平行列式求解，并代入检验；对于D：根据平行线间距离公式运算求解即可.
【详解】对于选项AB：若，则，即，故A错误，B正确；
对于选项C：若，则，即，
此时，即与重合，故C正确；
对于选项D：与直线之间的距离为，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知几何体为长方体，则（ ）
A. 在方向上的投影向量为
B. 在方向上的投影向量为
C. 在方向上的投影向量为
D. 在方向上投影向量为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据投影向量的概念逐一进行判断即可.
【详解】如图：
在长方体中，因为平面，所以，所以在方向上的投影向量为，即A正确；
因为在中，，所以与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B错误；
因为，，所以在方向上的投影向量为，即C正确；
虽然，但与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D错误.
故选：AC
11. 已知圆：与圆：，则下列结论正确的是（ ）
A. 若圆与圆外切，则或
B. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为
C. 若圆与圆关于点对称，则
D. 当时，对任意的，曲线W：恒过圆与圆的交点
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据两圆外切得圆心距等于半径之和，即可列式求解；
对于B，两圆方程相减即可得公共弦所在直线的方程；
对于C，由两圆关于点对称得两圆心关于点对称，根据中点坐标公式，即可求解；
对于D，根据过两圆交点的圆系方程即可判断.
【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．若圆与圆外切，则，解得或，A正确．
当时，圆：，圆：，将两圆的方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，B正确．
若圆与圆关于点对称，则解得，C错误．
当时，圆：，圆：，
则，所以对任意的，曲线W恒过圆与圆的交点，D正确．
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知直线经过定点，则点的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】提出参数，消去参数即可.
【详解】由，得，令,得到,x=0,
则点的坐标为.
故答案为：.
13. 曲线的长度为__________，若直线与曲线有公共点，则的取值范围是__________.
【答案】 ①. ； ②. .
【解析】
【分析】将曲线方程进行等价转化，其为半圆，求半圆周长即可；数形结合求得直线与曲线有公共点的临界态对应的参数值，即可求得的范围.
【详解】由，得，则曲线表示圆的上半部分，半径为，
故曲线长度为；
根据题意，作图如下：

因为圆的圆心到直线的距离，所以，
数形结合可知，当直线经过点时，，
故当时，直线与曲线有公共点.
故答案为：；.
14. 如图，在四棱台体中，平面，底面为正方形，，则该四棱台的体积__________，直线与平面所成角的正弦值为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）运用台体体积公式计算即可；
（2）借助空间直角坐标系，求出关键点坐标，借助向量夹角公式计算即可.
【详解】（1）运用台体体积公式计算，.
（2）建立如图空间直角坐标系，则，，
所以.
设平面的法向量为n=x,y,z，则取，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，.
（1）求过点且与直线平行的直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得直线的斜率，利用点斜式即可求得直线方程；
（2）由两直线垂直关系可得所求直线的斜率为3，代入点斜式方程可得结果.
【小问1详解】
由，可知，
故所求直线的方程为，
即.
【小问2详解】
易知，
则所求直线的斜率为3，
故所求直线的方程为，
即.
16. 已知直线，圆.
（1）若，判断直线与圆的位置关系；
（2）若，直线与圆交于两点，求.
【答案】（1）相离 （2）
【解析】
【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程得到圆心和半径，再由圆心到直线的距离与半径比较即可；
（2）先求圆心到直线的距离，再由勾股定理求出弦长即可；
【小问1详解】
圆的标准方程为，
圆心为，半径.
设圆心到直线的距离为，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离.
【小问2详解】
设圆心到直线的距离为，
由（1）知圆心到直线的距离，
所以.
17. 在三棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点，为上靠近点的三等分点.
（1）证明：平面
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，，由题意可得，可证，，建立空间直角坐标系，利用向量法可证平面.
（2）求得平面平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式可求二面角的余弦值.
【小问1详解】
连接，，
因为，所以.
因为平面平面，平面平面，所以平面，
因为平面，进而.因为，所以.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则O0,0,0，，，，，
所以，.
因为，所以，则，，
又，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）得，，，.
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为.
易得平面的一个法向量为.
设二面角的大小为，则，
由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.
18. 如图，平面分别为线段的中点，为线段上的点，且直线与平面所成角的正弦值为.

（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由线面位置关系的向量表示即可求证；
（2）由点到面距离的向量法即可求解.
【小问1详解】
因为平面平面，所以.以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.

，
，
.
设平面的法向量为，
则令，得，得.
因为，所以，故平面.
【小问2详解】
连接.因为，都在平面内，
所以平面，又在平面内，则，
又，所以.
因为是的中点，所以，都在平面内，
所以平面，则为平面的一个法向量.
设，则.
根据题意可得
解得或（舍去），
则.因为平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
19. 已知圆，点在圆C上，点D，G在x轴上，且关于y轴对称.
（1）圆C在点Q处的切线的斜率为，直线QD，QG的斜率分别为，，证明：为定值.
（2）过点Q作轴，垂足为E，，点D满足.
①直线AD与圆C的另一个交点为F，且F为线段AD的中点，，求r；
②证明：直线QG与圆C相切.
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用两点式斜率公式表示出，即可证明.
（2）①利用三角形中位线性质求得，然后利用直角三角形性质求得半径r；
②先求得点，然后求出直线QG的方程，利用原点O到直线QG的距离等于半径证明即可.
【小问1详解】
设，.，.
记坐标原点为O，直线OQ的斜率为，.
.
综上，为定值，定值为.
【小问2详解】
①在中，AD为斜边，OF为斜边上的中线，所以.
又因为，所以，.
因为，所以，解得.
②因为点在圆C上，所以.
直线AE的斜率为，直线AD的斜率为，
直线AD的方程为.
令，得，则，.
直线QG的方程为，即，
原点O到直线QG的距离
，
所以直线QG与圆C相切.