精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市新疆师范大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

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一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
1. ．下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减法，根据二次根式的运算法则逐项计算可得正确结果.
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
2. 下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】A、被开方数含小数，故不是最简二次根式，不符合题意；
B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故此选项符合题意；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故此选项不符合题意；
D、被开方数含分母，故此选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，，2B. ，，C. 5，11，12D. 9，15，17
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形．
【详解】A、12+（）2=22，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确；
B、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C、52+112≠122，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D、92+152≠172，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误．
故选A．
【点睛】考查的是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足：a2+b2=c2时，则三角形ABC是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方．
4. 如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE＝（ ）
A. 105°B. 15°C. 30°D. 25°
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠D＝75°，再由CE⊥AB由，即可求得答案
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝75°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝15°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和直角三角形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等这一重要性质.
5. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED长为

A. B. 3C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可
【详解】∵AB=3，AD=4，∴DC=3
∴根据勾股定理得AC=5
根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，
∴D′C=DC=3，DE=D′E
设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，
在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2，
解得：x=
故选A.
6. 如图，在中，是斜边上的中线，，则的度数是（ ）
A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质得CD＝AB＝AD，再由三角形的性质得到∠DCA＝∠A＝20°，再由∠BCA＝90°，即可得到答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝AD，
∴∠DCA＝∠A＝20°，
∴∠BCD＝90°−∠DCA＝70°，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7. 如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H．则AH＝（ ）
A. 24B. 10C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据对角线求得边长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底边乘以高即可求得
【详解】如图设交于点，
菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
，
解得
故选C
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
8. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D. 对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，熟知平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法错误，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，符合题意；
故选：D．
9. 如图，在中，，，，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，利用三角形中位线的性质得到，根据垂线段最短知，当时，最小，即最小，利用勾股定理和等面积法求得即可．
【详解】解：连接，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴，
∴当时，最小，即最小，
在中，，，，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线性质、勾股定理、垂线段最短，熟练掌握三角形的中位线性质，将求的最小值转化为求的最小值是解答的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方式大于等于0）计算即可．
【详解】解：若使二次根式有意义，
则，
解得．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式的定义是解题关键．
11. 化简后的结果是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】化简后的结果是.
故答案为.
【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握运算法则.
12. “对顶角相等”请写出该命题的逆命题____________________．
【答案】相等的角是对顶角
【解析】
【分析】本题主要考命题及逆命题的理解及运用能力． 将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题．
【详解】解：∵原命题条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；
∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，
简化后即为：相等的角是对顶角．
故答案为：相等的角是对顶角．
13. 已知 ,则由此为三边的三角形是____三角形
【答案】直角
【解析】
【分析】此题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理，先由非负数性质求出，再由勾股定理逆定理进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴以为三边的三角形是直角三角形．
故答案为：直角
14. 如图，将有一边重合两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是，若以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点（点位于点右侧），则点表示的数为________．

【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理可以求得和的长，再根据和，点表示的数为，即可写出点表示的数．
【详解】解：，，
，
，
，
，
点表示的数是，
点表示的数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15. 如图，正方形的边长为10，为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，连接、，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有_______（填写序号）．
【答案】①②##②①
【解析】
【分析】利用证明，得，故①正确；延长，交于点，过点作于，利用证明，得，进而判断②正确；利用等积法和勾股定理可判断④和⑤，由，可判断③错误．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，故①正确；
如图，延长，交于点，过点作于，
点是中点，
，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
，故②正确；
，
，，
，
，
，
，
，
，故④错误；
点不是的中点，
，
，
，
，
，故③错误；
，
，
，
，
故⑤错误，
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的加减运算进行计算即可求解；
（2）根据二次根式混合运算进行计算即可求解．
【小问1详解】
【小问2详解】
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
17. 已知，分别求下列代数式的值；
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）利用平方差公式计算即可；
（2）利用完全平方公式计算即可；
【小问1详解】
解：
将代入，得：
，
；
【小问2详解】
，
将代入，得：
．
【点睛】本题考查代数式求值，平方差公式，完全平方公式，二次根式的混合运算．先利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再计算求值更简便．
18. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上；
（1）证明是直角三角形；
（2）求边上的高．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理及勾股定理的逆定理即可证明；
（2）利用等积法求解即可．
【小问1详解】
证明：∵的三个顶点均在边长为的小正方形组成的网格的格点上，
∴，，，
∵，
∴是直角三角形；
【小问2详解】
解：设边上的高为，
∴，
∴，
∴，
∴边上的高为．
【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理逆定理，三角形的面积，运用了等积法的思想．掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解题的关键．
19. 水池中有水，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？

【答案】水池深12尺，芦苇长13尺
【解析】
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2=（x+1）2，
解得：x=12，
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
20. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE．
求证：四边形ABCD为平行四边形．
【答案】证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：首先证明△AEB≌△CFD可得AB=CD，再由条件AB∥CD可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形．
试题解析：∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠BEC，
∴∠AEB=∠DFC，
在△AEB和△CFD中
，
∴△AEB≌△CFD（ASA），
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
21. 如图，菱形花坛ABCD的一边长AB为20m，∠ABC＝60°，沿着该菱形的对角线修建两条小路AC和BD．
（1）求AC和BD长；
（2）求菱形花坛ABCD的面积．
【答案】（1）AC＝20m；BD＝20m
（2）m2
【解析】
【分析】（1）利用菱形的性质，得到30°的，算出AO，BO，即可算出两条小路长度
（2）利用对角线长度算菱形面积
【小问1详解】
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴AO＝AB＝10m，BO＝ AO＝ cm
∴AC＝20m，BD＝m
【小问2详解】
∵菱形花坛ABCD的面积＝
∴菱形花坛ABCD的面积＝×20×20＝200m2
【点睛】本题考查菱形的性质，特殊直角三角形，和用对角线求菱形面积；注意菱形性质的熟练记忆．
22. 综合与实践
活动课上，老师让同学们翻折正方形进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】如图1，过点引射线，交边于点（点与点不重合）．通过翻折，使点落在射线上的点处，折痕交于，延长交于．
【问题探究】
（1）如图2，当点与点重合时，与的大小关系是________；是________三角形．
（2）如图3，当点为边上任意一点时（与与点不重合），连接，猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；等腰直角；（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，翻折变换，等角对等边，全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键．
（1）连接，根据正方形的性质，利用证明，推出，，即可解决问题；
（2）根据正方形的性质，利用证明，即可得出．
【详解】解：（1）如图，连接，

∵四边形是正方形，
∴，，
由翻折可知：，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
故答案为：；等腰直角；
（2），理由如下，
∵四边形是正方形，
∴，，
由翻折可知，，
∵，
∴，
∴．
23. 如图，已知四边形是矩形．
（1）如图1，若分别是的中点，求证：四边形是菱形；
（2）若菱形的三个顶点分别在上，连接．
①如图2，若， ，求的长；
②如图3，若，请写出面积的最小值．
【答案】（1）见解析；
（2）①，②．
【解析】
【分析】（1）利用三角形的中位线先判断出四边形是平行四边形，借助矩形的对角线 进而判断出， 即可得出结论；
（2）①先判断出进而求出再建立方程求解即可得出结论；
②先判断出最小时，的面积最小，进而判断出最大时，最小，最后用勾股定理即可得出结论．
【小问1详解】
证明：如图1， 连接，
在矩形中，
∵分别是的中点，
且，
∵分别是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵分别是的中点，
∴
∵四边形是矩形，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
解：①如图2，连接，过点作交的延长线于，
∵四边形是矩形，
∵四边形是菱形，
∴
设则
在中，
∵
∴在中，
∵
；
② 如图3，过点作交的延长线于，
由（1）知，
当要最小，则最小，
∴最大时，最小，
在中，
∴最大时，最大，
∵四边形是菱形，
∴最大时，也最大，
而点在边上，
∴当点和点重合时，最大，最大值为：
∴最大为
，
∴
∴面积最小值为．
【点睛】此题主要考查了四边形综合题，三角形的中位线定理，平行四边形，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键．