江苏省南京市玄武区南京玄武外国语学校2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（解析版）

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1. 据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将10870写成的形式，其中，n为正整数．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握中，n与小数点移动位数相同．
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
3. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判定
【答案】B
【解析】
【分析】根据点在第四象限得，可得，则方程的判别式，即可得．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，
∴，
∴方程的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点．
4. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解．
【详解】解：∵当时，有，
∴反比例函数的图象在一三象限，
∴
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键．
5. 为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出燃油汽车每千米所需的费用为元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得．
【详解】解：由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为元，
由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，
则可列方程为，
故选：D．
【点睛】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．
6. 如图，OM＝2，MN＝6，A为射线ON上的动点，以OA为一边作内角∠OAB＝120°的菱形OABC，则BM＋BN的最小值为 （ ）
A. B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：如图，连接OB，OB1，
∵菱形OABC，∠OAB=120°，∴∠OBA=30°，
同理可证，∠OB1A1=30°，
在四边形BAA1B1中，∠ABB1=360°－60°－30°－120°=150°，
∴∠OBA+∠ABB1=180°，
∴O、B、B1三点共线，
∴要求BM+BM最小，即要在射线OB1上找一点B使得B点到M、N点的距离之和最小，
如图，作点N关于射线OD的对称点N＇,连接M N＇交射线OD于点B，此时BM+BN最小，作MC⊥NN＇交NN＇于点C，
∵OA⊥NN＇，∴MC∥OA，∴∠O=∠CMN=30°，
∵OM=2，MN=6，∴ON=8，∴AN=AN＇=4，CN=3，∴MC=3，AC=1，∴CN＇=5，
∴BM+BN=BM+BN＇=M N＇,
（M N＇）2=（MC）2+（CN＇） 2=27+25=52，
∴M N＇=2．
故选C．
【点睛】本题考查求线段之和最小，可以往“将军饮马”问题上考虑，先找出使距离之和最小的点的位置，要求线段之和一般作垂线，借助勾股定理来求．
二、填空题：本题共9小题，每小题2分，共18分．
7. 函数中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】x≥-2且x≠1
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论．
【详解】解：由题意可得
解得x≥-2且x≠1
故答案为：x≥-2且x≠1．
【点睛】此题考查是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键．
8. 一次函数，当时，，则的值是______．
【答案】或##或2
【解析】
【分析】由于k的符号不能确定，故应对和两种情况进行解答．
【详解】解：当时，y随x的增大而增大，
∵当时，，
∴当时，；当时，，
∴，
解得
∴；
当时，y随x的增大而减小，
∵当时，，
∴当时，；当时，，
∴，
解得
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
9. 某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：
如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是___________．
【答案】乙
【解析】
【分析】分别计算甲、乙、丙三名应聘者的成绩的加权平均数，比较大小即可求解．
【详解】解：，
，
，
∵
∴被录用是乙，
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的结论是______．
【答案】①③④
【解析】
【详解】∵x=﹣1时y=﹣1，x=0时，y=3，x=1时，y=5，
∴，
解得，
∴y=﹣x2+3x+3，
∴ac=﹣1×3=﹣3＜0，故①正确；
对称轴为直线，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
方程为﹣x2+2x+3=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，
∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，正确，故③正确；
﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0正确，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④
11. 如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________．

【答案】##
【解析】
【分析】由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为，则扇形中未组成圆锥底面的弧长，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为，
∴扇形中未组成圆锥底面的弧长，
∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积，
∴圆锥上粘贴部分的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的弧长、面积公式．解题的关键在于熟练掌握，，其中为扇形的圆心角，为扇形的半径．
12. 如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则_________．

【答案】##度
【解析】
【分析】如图所示，连接，设交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出，再由切线长定理得到，进而推出是的垂直平分线，即，则．
【详解】解：如图所示，连接，设交于H，
∵是的内切圆，
∴分别是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵与分别相切于点，，
∴，
又∵，
∴是的垂直平分线，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
13. 一个装有进水管和出水管容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图像，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解．
【详解】解：依题意，3分钟进水30升，则进水速度为升/分钟，
3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完直至容器中的水全部排完，
则排水速度为升/分钟，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数图象问题，从函数图象获取信息是解题的关键．
14. 如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为_______

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得是解题的关键．
连接，根据正方形得到，，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得，再证明，求得，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求出的长度．
【详解】解：如图，连接，

四边形是正方形，
，，，
，
，
，
平分，
，
，
在与,
，
，
，
，
O为对角线的中点，
，
故答案为：．
15. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________．
【答案】 ①. 6200 ②. 9313
【解析】
【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解．
【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；
根据题意，，，，，则，
∴，
∴，
若M最大，只需千位数字a取最大，即，
∴，
∵能被10整除，
∴，
∴满足条件的M的最大值为9313，
故答案为：6200，9313．
【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键．
三、解答题：本题共12小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 已知，，若成立，求的取值范围结果用含的式子表示．
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于进行分类讨论．由得，由得知，根据，得，同理得出，相加即可得出答案．
【详解】解：由，得，
由得，，
又，
，
由，得，
由得，，
又，
，
．
17. （1）计算：．
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）不等式组的解集为
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂、化简二次根式、解一元一次不等式组等知识，熟练掌握各运算法则和不等式组的解法是解题关键．
（1）先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、化简绝对值和二次根式，再计算乘法与加减法即可得；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，2.
【解析】
【分析】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=.
当时，原式=.
19. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．
【答案】（1），；
（2）甲组 （3）170， 172
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；
（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于，结合其余学生的身高即可做出选择．
【小问1详解】
解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，
出现次数最多数是165，出现了3次，即众数，
16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，
∴中位数，
∴，；
【小问2详解】
解：甲组身高的平均数为，
甲组身高的方差为
乙组身高的平均数为，
乙组身高的方差为，
∵
∴舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组；
【小问3详解】
解：168，168，172的平均数为
∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，
∴数据的差别较小，数据才稳定，
可供选择的有：170， 172，
且选择170， 172时，平均数会增大，
故答案为：170， 172．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键．
20. 为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
【答案】（1）
（2）应往袋中加入黄球，见解析
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球的概率即可求解．
【小问1详解】
解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种，
所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为．
【小问2详解】
他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
共有种等可能结果．
（）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
（）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
因为，所以，所作他应往袋中加入黄球．
【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键．
21. 如图，在▱中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】延长、交于点，可证明，得，而，所以，即可证明．
此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】证明：延长、交于点，
四边形是平行四边形，
，
∴，
是的中点，
，
在和中，，
，
∴，
，垂足在线段上，
∴，
∴，
．
22. 某学校开展“青少年科技创新比赛”活动,“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型.甲、乙两车同时分别从A,B出发,沿轨道到达C处,在AC上,甲的速度是乙的速度的1.5倍,设t分后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1,d2(单位:米),则d1,d2与t的函数关系如图,试根据图象解决下列问题.
（1）填空：乙的速度v2=________米/分;
（2）写出d1与t的函数表达式;
（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰,试探究什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰?
【答案】（1）40；（2）当0≤t≤1时，d1=﹣60t+60；当1＜t≤3时，d1=60t﹣60；（3）当0≤t＜2．5时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．
【解析】
【分析】（1）根据路程与时间的关系，可得答案；
（2）根据甲的速度是乙的速度的1．5倍，可得甲的速度，根据路程与时间的关系，可得a的值，根据待定系数法，可得答案；
（3）根据两车的距离，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
【详解】（1）乙的速度v2=120÷3=40（米/分），
（2）v1=1．5v2=1．5×40=60（米/分），
60÷60=1（分钟），a=1，
d1=；
（3）d2=40t，
当0≤t＜1时，d2-d1＞10，
即-60t+60+40t＞10，
解得0≤t＜2．5，
∵0≤t＜1，
∴当0≤t＜1时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；
当1≤t≤3时，d2-d1＞10，
即40t-（60t-60）＞10，
当1≤t＜时，两遥控车的信号不会产生相互干扰
综上所述：当0≤t＜2．5时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．
23. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
（1）若对于，有，求的值；
（2）若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解．
【小问1详解】
解：∵对于，有，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为．
∴；
【小问2详解】
解：∵当，，
∴，，
∵，，
∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，
∴，
即．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
24. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．

（1）求教学楼的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
【答案】（1）教学楼的高度为米
（2）无人机刚好离开视线的时间为12秒
【解析】
【分析】（1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解；
（2）连接并延长，交于点H，先求出米，进而得出，则，则米，即可求解．
【小问1详解】
解：过点B作于点G，
根据题意可得：，米，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
∵长为米，
∴（米），
答：教学楼的高度为米．
【小问2详解】
解：连接并延长，交于点H，
∵米，米，
∴米，
∵米， ，
∴，
∴，米，
∴（米），
∵无人机以米/秒的速度飞行，
∴离开视线的时间为：（秒），
答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
25. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
（1）当时，__________；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大，”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
【答案】（1）
（2）当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是元．
（3）他们的说法正确，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，列式计算即可；
（2）根据销售量乘以每盒的利润得到，根据二次函数的性质即可得到答案；
（3）设日销售额为元，则，根据二次函数的性质即可判断当日销售利润最大时，日销售额不是最大，即可判断小强的说法；当时，由，解得，由抛物线开口向下，得到当时，，即可判断小红的说法．
【小问1详解】
解：当时，（盒），
故答案为：
【小问2详解】
由题意得，
，
又∵，即，
解得，
∵，
∴当时，W最大，最大值为，
∴当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是元．
【小问3详解】
他们的说法正确，理由如下：
设日销售额为元，则
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴当时，最大，此时为，
即小强的说法正确；
当时，，解得，
∵抛物线开口向下，
∴当时，∵，
∴当日销售利润不低于元时，每盒售价x的范围为．
故小红的说法错误．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是基础，熟练掌握二次函数的性质和正确计算是解题的关键．
26. 如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点．

（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）如果是的中点，且，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出，根据，得出，则可得，根据已知，得出，即可得证；
（2）根据角平分线的定义得出，又，根据三角形内角和定理得出，由是的直径，即可得证；
（3）取的中点，连接，证明，由是的中点，是的中点，得出，进而得出，设，则，勾股定理得出，,证明得出，根据角平分线的性质得出，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图所示，

∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
证明：如图所示，

∵平分
∴
又∵，
则，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，取的中点，连接，

∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴
设，则，
∴
∵
∴
∴，,
∵，，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴到的距离相等，设为，在，设点到的距离为，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，相似三角形的性质与判定，切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
27. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义：
若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”．

（1）如图，点，，
①在点，，中，弦的“关联点”是______．
②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长；
（2）已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1），；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可；
（2）根据，两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂线上，运用相似三角形计算即可．
【小问1详解】
解：①由关联点的定义可知，若直线中一经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”，
∵点，，，，，
∴直线经过点O，且与相切，
∴是弦的“关联点”，
又∵和横坐标相等，与都位于直线上，
∴与相切，经过点O，
∴是弦的“关联点”．
②∵，，
设，如下图所示，共有两种情况，

a、若与相切，经过点O，
则、所在直线为： ，
解得：，
∴，
b、若与相切，经过点O，
则、所在直线为：，
解得：，
∴，
综上，．
【小问2详解】
解：∵线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，
又∵弦随着S的变动在一定范围内变动，且，，，
∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂线上，如图所示，

①当S位于点时，为的切线，作，
∵，的半径为1，且为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴根据勾股定理得，，
根据勾股定理，，同理，，
∴当S位于点时，的临界值为和．
②当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时，
∵点，，
∴，
∴，
又∵的半径为1，∴，
∴三角形为等边三角形，
∴在此情况下，，，
∴当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时，的临界值为和，
∴在两种情况下，的最小值在内，最大值在，
综上所述，t的取值范围为或，
【点睛】本题主要考查最值问题，题目较为新颖，要灵活运用知识点，明确新概念时解答此题的关键．
项目
应聘者
综合知识
工作经验
语言表达
甲
乙
丙
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
平均数
中位数
众数
166.75
m
n
甲组学生的身高
162
165
165
166
166
乙组学生的身高
161
162
164
165
175
第二球
第一球
红
黄①
黄②
黄③
新
红
红，黄①
红，黄②
红，黄③
红，新
黄①
黄①，红
黄①，黄②
黄①，黄③
黄①，新
黄②
黄②，红
黄②，黄①
黄②，黄③
黄②，新
黄③
黄③，红
黄③，黄①
黄③，黄②
黄③，新
新
新，红
新，黄①
新，黄②
新，黄③