模型06 摩擦角和自锁现象—高考物理热点模型突破训练

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01 模型概述
1. 自锁现象定义：
一个物体受静摩擦力作用而静止，当用外力试图使这个物体运动时，外力越大，物体被挤压的越紧，越不容易运动即最大静摩擦力的“保护能力”越强，这种现象叫自锁现象
2．摩擦角
物体在粗糙平面(斜面)上滑动时，所受滑动摩擦力Ff和支持力FN的合力F合与FN间的夹角为θ，如图(a)、(b)所示，由于tan θ＝eq \f(Ff,FN)＝μ为常量，所以θ被称为摩擦角．
图(a) 图(b)
3．摩擦角的应用
(1)在水平面上，若给物体施加拉力F使之在水平面上滑动，则力跟水平方向的夹角为θ(跟F合垂直)时，拉力F最小，如图(c)．
图(c) 图(d) 图(e)
(2)当所加推力F与支持力FN反方向间的夹角β≤θ时，无论推力F多大，都不能推动物体在平面(斜面)上运动，这种现象称为摩擦自锁，如图(d)、(e)．
(3)有摩擦力参与的四力平衡问题可通过合成支持力FN和滑动摩擦力Ff转化为三力平衡问题，然后根据力的平衡知识求解．
4.分析解题思路
02 典题攻破
1. 平面上的摩擦自锁
【典型题1】如图所示，拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图)．设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ，则下列说法正确的是( )
A．当拖把头在地板上匀速移动时推拖把的力F的大小为eq \f(μmg,sin θ＋μcs θ)
B．当拖把头在地板上匀速移动时推拖把的力F的大小为eq \f(μmg,sin θ－μcs θ)
C．当μ≥tan θ时，无论用多大的力都能推动拖把头
D．当μ【答案】 B
【详解】 以拖把头为研究对象，对其进行受力分析．拖把头受重力mg、地板的支持力FN、拖杆对拖把头的推力F和摩擦力Ff.把拖把头看成质点，建立直角坐标系，如图所示．把推力F沿x轴方向和y轴方向分解，根据平衡条件列方程：Fsin θ－Ff＝0，FN－Fcs θ
－mg＝0，又Ff＝μFN，联立三式解得F＝eq \f(μmg,sin θ－μcs θ)，所以选项A错误，B正确；当μ≥tan θ时，μcs θ≥sin θ，Fsin θ－Ff＝Fsin θ－μFcs θ－μmg＜0，所以无论用多大的力都不能推动拖把头，选项C错误；当μ＜tan θ时，μcs θ＜sin θ，Fsin θ－Ff＝Fsin θ－μFcs θ－μmg＝F(sin θ－μcs θ)－μmg，如果F(sin θ－μcs θ)－μmg＞0，能推动拖把头，否则不能推动拖把头，选项D错误．
2. 斜面上的摩擦自锁
【典型题2】如图所示，质量为m的物体，放在一固定的斜面上，当斜面倾角θ＝30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F的水平向右的恒力，物体可沿斜面向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现增大斜面倾角θ，当θ增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行．那么( )
A．物体与斜面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),2)
B．θ0＝45°
C．θ0＝60°
D．θ0＝30°
【答案】 C
【详解】
斜面倾角为30°时，物体恰能匀速下滑，对物体进行受力分析，如图所示，可知应满足mgsin 30°－μmgcs 30°＝0，解得μ＝eq \f(\r(3),3)，A错；物体与斜面间的摩擦角α＝arctan μ＝30°，因此当水平恒力F与斜面支持力FN成30°角，即斜面倾角为60°时，无论F多大，都不能使物体沿斜面上滑，故θ0＝60°，C对，B、D错．
03 针对训练
1．（23-24高一下·全国·开学考试）小明同学在教室里做了一个小实验，如图所示，他将黑板擦金属一面贴着木板，缓慢抬起木板的一端，当木板与水平面夹角时，黑板擦恰好下滑。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则黑板擦金属一面和木板间的动摩擦因数为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【详解】根据题意可知，当倾角为时黑板擦受到的是滑动摩擦力，则有
解得
故选D。
2．（多选）在教室门与地面间缝隙处塞紧一个轻质的木楔（侧面如图所示），能把门卡住不易被风吹动。下列分析正确的是（ ）
A．如果门与木楔间无摩擦，门不可能被卡住
B．如果门与木楔间无摩擦，门也可能被卡住
C．如果地面与木楔间无摩擦，门不可能被卡住
D．如果地面与木楔间无摩擦，门也可能被卡住
【答案】BC
【详解】如下图所示木楔的受力分析图：
门被卡住是因为木屑和地面之间具有的摩擦力与门给木楔的压力的水平分力等大反向，达到平衡，因而如果地面与木楔间无摩擦，门不可能被卡住；而门与木楔之间是否有摩擦并没有什么影响，门与木楔间无摩擦，门也可能被卡住。
故选BC。
3．（多选）如图所示，放在斜面上的小盒子中装有一些沙子，恰沿斜面匀速下滑，若在小盒子中再缓缓加入一些沙子，那么（ ）
A．小盒重力在增加B．斜面对小盒的弹力在减小
C．小盒受到的摩擦力不变D．小盒将匀速下滑
【答案】AD
【详解】A．增加沙子，重力增大，A正确；
BCD．如图所示
小盒和沙子匀速下滑，受到平衡力作用，即物体受到重力mg，沿斜面向上的滑动摩擦力f和斜面对它的支持力N的合力为0，则有，
小盒及沙子匀速下滑，滑动摩擦力大小等于重力沿斜面向下的分力，即小盒和沙子匀速下滑的条件是

若在小盒子中缓缓加入一些沙子，m增大，、 不变，小盒依然做匀速运动，与m无关，而支持力N增大，摩擦力f增大，D正确，BC错误。
故选AD。
4．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（多选）春节前夕，小明需移开沙发，清扫污垢。质量m＝10kg的沙发放置在水平地面上，沙发与地面间的动摩擦因数，小明用力F＝100N推沙发，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，下列说法正确的是（ ）

A．若力F斜向下与水平成角，当时沙发恰好做匀速直线运动
B．若力F斜向下与水平成角，当时，无论F力多大，沙发都不会动
C．若力F方向能随意改变，让沙发匀速运动，F斜向上与水平成30°时，F最小
D．若力F方向能随意改变，让沙发匀速运动，F斜向上与水平成60°时，F最小
【答案】ABC
【详解】A．若力F斜向下与水平成时，地面对沙发的摩擦力大小为
力F在水平方向的分力大小为
两个力大小相等方向相反，故沙发在做匀速运动，故A正确；
B．若力F斜向下与水平成角，则最大静摩擦力大小为
若要物体静止不动，应该满足
变形得
如果满足
即
则此时无论F多大，物体都会保持静止，B正确；
CD．如果力F斜向上与水平成角，且物体做匀速运动，则有
变形可得
其中
即
故当时，F有最小值，故C正确，D错误。
故选ABC。
5．（22-23高三上·黑龙江双鸭山·开学考试）（多选）如图所示，质量为m的物体，放在一固定的斜面上，当斜面倾角θ＝30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F的水平向右的恒力，物体可沿斜面向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现增大斜面倾角θ，当θ增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行。那么（ ）
A．物体与斜面间的动摩擦因数为 B．θ0＝45°
C．θ0＝60°D．θ0＝30°
【答案】AC
【详解】A．斜面倾角为30°时，物体恰能匀速下滑，对物体进行受力分析，如图所示，可知应满足
解得
选项A正确；
BCD．当斜面倾角为临界角时，受力情况如图所示
由物体做匀速直线运动的条件有
解
当时，即满足“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”的临界条件，临界角
故C正确，BD错误。
故选AC。
6．（2024·北京西城·模拟预测）螺旋千斤顶由带手柄的螺杆和底座组成，螺纹与水平面夹角为，如图所示。水平转动手柄，使螺杆沿底座的螺纹槽（相当于螺母）缓慢旋进而顶起质量为m的重物，如果重物和螺杆可在任意位置保持平衡，称为摩擦自锁。能实现自锁的千斤顶，的最大值为。现用一个倾角为的千斤顶将重物缓慢顶起高度h后，向螺纹槽滴入润滑油使其动摩擦因数减小，重物回落到起点。假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计螺杆和手柄的质量及螺杆与重物间的摩擦力，转动手柄不改变螺纹槽和螺杆之间的压力。下列说法正确的是（ ）
A．实现摩擦自锁的条件为
B．下落过程中重物对螺杆的压力等于mg
C．从重物开始升起到最高点摩擦力做功为mgh
D．从重物开始升起到最高点转动手柄做功为
【答案】D
【详解】A．实现自锁的条件是重物重力沿斜面下滑的分力小于等于最大静摩擦力，即
解得
故A错误；
B．重物从静止开始下落，一开始加速度方向向下，重物处于失重状态，螺杆对重物的支持力小于mg，根据牛顿第三定律可知重物对螺杆的作用力小于mg，故B错误；
C．重物缓慢顶起的过程中，以螺杆和重物为整体的受力分析如图所示
则摩擦力做功为
故C错误；
D．从重物开始升起到最高点，即用于克服摩擦力做功，也转化为重物上升增加的重力势能mgh，所以根据动能定理有
解得
故D正确。
故选D。
7．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）如图（a），摩擦角的物理意义是：当两接触面间的静摩擦力达到最大值时，静摩擦力f与支持面的支持力N的合力F与接触面法线间的夹角即为摩擦角，可知。利用摩擦角的知识可以用来估料，如图（b）所示。物料自然堆积成圆锥体，圆锥角底角必定是该物料的摩擦角。若已知物料的摩擦角和高h，动摩擦因数为。物料所受滑动摩擦力等于最大静摩擦力。可求出圆锥体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】物料自然堆积成圆锥体，圆锥角底角必定是该物料的摩擦角，对物料作受力分析如图所示
当底角大于时，物料将沿锥面下滑，为使物料不下滑，应使减小；当底角小于时，物料将停留在锥面上，那么使物料恰好不下滑应使增大，且让，所以底角会保持为定值。若已知和锥体的高h，则可求出它的体积为
故选A。
8．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）（多选）如图所示，质量均为M的A、B两滑块放在粗糙水平地面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物C，整个装置处于静止状态，设杆与水平地面间的夹角为θ。下列说法正确的是（ ）
A．当m一定时，θ越大，每根轻杆对滑块的弹力越大
B．当M、m一定时，每个滑块对地面的压力大小为
C．当m和θ一定时，每个滑块与地面间的摩擦力大小为
D．若最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力，则不管θ取何值，只要不断增大m，滑块一定会滑动
【答案】BC
【详解】A．根据平行四边形定则，有
故m一定时，θ越大，轻杆受力越小，则轻杆对滑块的弹力越小，故A错误；
B．对A、B、C整体进行受力分析可知，对地压力为
因此每个滑块对地压力大小为为
故B正确；
C．对A分析，受重力、杆的推力、地面的支持力和向右的摩擦力，根据平衡条件有
故C正确；
D．滑块不能使沿地面滑动时满足
即
解得
当时，有
即当时，无论怎样增大m，不能使M沿地面滑动，故D错误。
故选BC。
9．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）2022年夏季的重庆骄阳似火，为保证空调冷气不外漏，很多办公室都安装了简易自动关门器，该装置的原理可以简化为用一弹簧拉着的门，某次门在关闭时被卡住，细心的小明发现了门下缝隙处塞紧了一个木楔，侧面如图所示，已知木楔质量为m，其上表面可视作光滑，下表面与水平地面间的动摩擦因数为，木楔上表面与水平地面间夹角为，重力加速度为g，木楔尺寸比门小很多，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。
（1）若门推动木楔在地板上缓慢匀速移动，求门下端对木楔上表面的压力大小；
（2）小明研究发现，存在临界角，若木楔倾角，不管用多大力推门，塞在门下缝隙处的木楔都能将门卡住而不再运动，求这一临界角的正切值。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）对木楔受力分析受到重力，压力，支持力和摩擦力，如图所示
若门推动木楔在地板上缓慢匀速移动，竖直方向
水平方向
最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力
联立解得
（2）不管用多大力推门，塞在门下缝隙处的木楔都能将门卡住而不再运动，即
若木楔质量较小，可得
故临界角的正切值为
10．（22-23高一上·北京昌平·期末）某同学做家务时，使用拖把清理地板，如图所示。假设拖把头的质量为1kg，拖把杆的质量不计，拖把杆与水平地面成53°角。当对拖把头施加一个沿拖把杆向下、大小为10N的力F1时，恰好能推动拖把头向前匀速运动。重力加速度g取10m/s2，，。
（1）求拖把头与地板间的动摩擦因数。
（2）当拖把静止时，对拖把头施加一个沿拖把杆向下的力F2，拖把杆与地面的夹角为。当增大到某一值时，无论F2多大，都不能推动拖把头，求此时的tan值。（为方便起见，本问可忽略拖把头的重力，且认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

【答案】（1）或0.33；（2）
【详解】（1）对拖把头受力分析，如图所示

拖把头做匀速直线运动，水平方向和竖直方向受力平衡：水平方向有
竖直方向有
而
解得
（2）忽略拖把头的重力，若不能推动拖把头，需满足
即
即时，无论对拖把头施加一个沿拖把杆向下的多大的力，都不能推动拖把头。
11．（21-22高一上·广东中山·阶段练习）一根粗糙的杆倾斜固定，杆与水平方向夹角为。一质量为的小球套在杆上，在水平向右的恒力作用下沿着杆匀速上滑，小球与杆的动摩擦因数为，重力加速度为，则：
（1）求恒力的大小（用题目所给的物理量符号表示）；
（2）若，试分析讨论满足什么条件时，无论多大的水平力都不可能将小球从静止推动上滑（设最大静摩擦等于滑动摩擦）。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）小球在水平恒力作用下匀速上滑，其受力情况如图所示
由平衡条件可知
联立解得
（2）不能将小球从静止推动上滑，则满足
又因为，
可得
可知当时，则无论多大的水平力，都满足，此时有
即时，无论多大的水平力都不可能将小球从静止推动上滑。
12．（23-24高一上·湖南株洲·期中）如图甲，质量为1kg的物块放在倾角的固定斜面上，物块恰好能沿斜面向下做匀速运动。已知，，，认为物体所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
（1）物块与斜面间的动摩擦因数；
（2）若对静止在斜面上的物块施加水平向右的推力F，如图乙所示，为保持物块静止，求水平推力大小应满足的条件；
（3）若改变斜面倾角，使得水平推力F无论为多大，都不会令静止的物块沿斜面向上滑动，求的正切值的取值范围。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）物块恰好能沿斜面向下做匀速运动，根据受力平衡可得
又
解得物块与斜面间的动摩擦因数为
（2）对静止在斜面上的物块施加水平向右的推力，当物块刚好不上滑时，摩擦力沿斜面向下刚好达到最大，则有
联立解得
为保持物块静止，可知水平推力大小应满足
（3若改变斜面倾角，使得水平推力F无论为多大，都不会令静止的物块沿斜面向上滑动，物体不能上滑时需满足
整理可得
当取无穷大时，可得
13．（23-24高一上·四川眉山·期中）小明和小语到机场去为朋友送行，看到有一些旅客斜向上拉着旅行箱走，也有一些旅客斜向下推着旅行箱走。小刘突然产生了一个想法，他问小赵：“若在粗糙水平面上，为使质量为25kg的行李箱在水平面上做匀速直线运动，往往可以采用“拉”或“推”两种方式，这两种方式可简化为如图1的模型，甲受到与水平方向成角的拉力乙受到与水平方向成角的推力，g取。（结果可用分数和根号表示）
（1）求行李箱与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ；
（2）求的大小；
（3）若此题已知行李箱与水平面间的动摩擦因数为μ₀，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现对它作用一个推力F，如图2所示，若F无论为多大也不能推动行李箱，则F与水平地面间的夹角α的正切值（tanα）满足什么关系？（提示：
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）对甲图行李箱受力分析，可得
由
解得
（2）将换成推力后，行李箱仍向右匀速直线运动，所以合力为0。则由题意可得
由
解得
（3）对行李箱进行受力分析，由题意可得
联立解得
由题意，F取无限大，则恒有
即
14．（15-16高一上·重庆·期中）一般家庭的门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A，骨架B，弹簧C（劲度系数为k），锁舌D（倾斜角=45°），锁槽E以及连杆，锁头等部件组成，如图甲所示。设锁舌D与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为，且受到的最大静摩擦力（N为正压力），有一次放学后，当某同学准备锁门时，他加最大力时，也不能将门关上，（此种现象称为自锁），此刻暗锁所处的状态如图乙所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x，求：拉力很大的情况下，仍能够满足自锁条件，则至少要多大？
【答案】
【详解】设锁舌D受锁槽E的最大静摩擦力为，正压力为，下表面的正压力为，弹力为kx， 受力分析如图
由力的平衡条件可知




联立解得正压力的大小
令趋向于∞，则有
解得
15．尖劈是人类最早发明并广泛使用的一种简单工具，尖劈除了能用来劈开其他物体外，还可以用来卡紧物件。如果尖劈的锐角足够小，它就可以嵌入木头缝或墙缝里，像木器家具中常在垂直连接处打入木楔就是应用尖劈摩擦自锁的原理，如图所示。假设一个不计重力的尖劈两面对称，顶角为，竖直地被打入木头缝中。已知它与木头之间的动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则当α与满足什么条件时，尖劈能自锁而不会自动滑出？
【答案】
【详解】设尖劈重力为G。由于存在对称性，仅对尖劈的一个侧面分析，如图所示，当尖劈能自锁而不会自动滑出时，一定满足
整理得
上式在N趋于穷大时依然成立，则
解得