模型14 平抛运动与斜面、曲面结合的问题 -高考物理热点模型突破训练

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01 模型概述
1．模型概述：在分析与斜面有关的平抛运动问题时，注意分析题干信息，强调的是速度方向还是位移方向，然后进行分解并利用两分量与已知角关系求解．
2.各种类别：
1）平抛与竖直面结合
2）平抛与斜面结合
①顺着斜面平抛
情形一：落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下
处理方法：分解位移．
可求得.
情形二：物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下
处理方法：分解速度
可求得.
②对着斜面平抛：垂直打在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下
处理方法：分解速度．
可求得.
3）平抛与圆面结合
①小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置．
处理方法：由半径和几何关系制约时间t：
联立两方程可求t.
②小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等．
处理方法：分解速度．
可求得.
③小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等．
处理方法：分解速度．
可求得.
4）与圆弧面有关的平抛运动：题中常出现一个圆心角，通过这个圆心角，就可找出速度的方向及水平位移和竖直位移的大小，再用平抛运动的规律列方程求解．
02 典题攻破
1. 平抛运动与斜面结合的问题
【典型题1】（2024·辽宁·模拟预测）如图所示，斜面的倾角为，斜面的长度为。在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以和的速度沿同一方向水平抛出，甲球经时间恰落在斜面的底端，此时甲球速度与水平方向夹角为。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．乙球将落在斜面的中点
B．乙球经时间落在斜面上
C．乙球落在斜面上时速度与水平方向夹角为
D．乙球落在斜面上时速度大小为
【答案】D
【详解】C．甲、乙两小球均落在斜面上，位移方向相同，即位移与水平方向的夹角相同，根据平抛运动推论可知，小球落在斜面上时速度方向一定相同，故C错误；
B．由平抛运动规律可得,
设斜面倾角为，则有
联立解得
乙球初速度为，所以乙球运动时间是甲球运动的时间的一半，则乙球运动时间为，故B错误；
A．小球落在斜面上的位移为
乙小球运动时间为，位移为甲小球的四分之一，即乙小球不落在斜面的中点，故A错误；
D．小球落在斜面上的速度为
乙小球的初速度为，所以乙球落在斜面上的速度是甲球落在斜面上速度的一半，则乙小球落在斜面上的速度为，故D正确。
故选D。
【典型题2】（2024·四川德阳·模拟预测）为了采集某行星岩石内部的物质样品，先将岩石用行星探测车运往高处，然后水平抛出，让岩石重重地砸在行星表面，这样就可以将坚硬的岩石撞碎，进而采集到岩石内部的物质样品，如图所示，O点为斜坡底端，现将一块质量为m=1kg的岩石从O点正上方高度为处以初速度为 水平抛出，岩石垂直打在倾角为的斜坡上，由于斜坡并不完全平滑，岩石沿竖直方向向上反弹，上升的最大高度为，求：
（1）该行星表面的重力加速度大小；
（2）若岩石与斜坡在接触过程中相互作用的时间为0.1s，则接触过程中岩石所受到平均合外力的大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）小球从抛出到垂直打在斜坡过程，根据平抛运动规律有，
垂直打在斜坡时，有
根据几何关系有
联立解得，
（2）小球垂直打在斜坡时的竖直分速度大小为
根据题意可知，岩石与斜坡在接触过程后水平速度减为0，竖直速度变为竖直向上，大小为，根据题意有
解得
则岩石与斜坡在接触过程中，水平方向根据动量定理可得
解得
竖直方向根据动量定理可得
解得
则接触过程中岩石对小球的平均作用力大小为
则接触过程中岩石所受到平均合外力的大小为。
2. 平抛运动与曲面结合问题
【典型题3】（2024·江苏·模拟预测）如图所示，半球面半径为R，A点与球心O等高，小球两次从A点以不同的速率沿AO方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B点和C点，速度偏转角分别为和，不计空气阻力。则小球（ ）
A．运动时间B．两次运动速度变化
C．在C点的速度方向可能与球面垂直D．
【答案】D
【详解】A．根据,
则运动时间
故A错误；
B．根据
两次运动速度变化
故B错误；
C．若在C点的速度方向与球面垂直，则速度方向所在直线经过圆心，速度方向反向延长线一定经过水平位移的中点，显然不符合，故C错误；
D．速度偏转角分别为和，位移偏转角分别为和，水平位移分别为、，有
,,,
可得
如图
可知,,
所以
故D正确。
故选D。
03 针对训练
一、单选题(本题共4小题。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（2024·湖北·二模）如图为湖边一倾角为的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为，一人站在点处以速度沿水平方向扔小石子，已知，取，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．若，则石块可以落入水中
B．若石块能落入水中，则越大，落水时速度方向与水平面的夹角越小
C．若石块不能落入水中，则越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越大
D．若石块不能落入水中，则越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越小
【答案】B
【详解】A．小球恰好落在O点时，下落的高度
根据得t=2s
对应初速度
则若
石块应落在斜面上，故A错误；
B．若石块能落入水中，下落的高度一定，落水时竖直分速度一定，结合平行四边形定则知
则知h一定，越大，落水时速度方向与水平面的夹角越小，故B正确；
CD．石块不能落在水中，石块竖直位移与水平位移的比值是定值，有
落到斜面上时速度方向与斜面的夹角正切
则速度与水平方向的夹角一定，可知石块落到斜面时速度方向与斜面的夹角一定，与初速度无关。故CD错误。
故选B。
2．（2024·山西大同·模拟预测）如图所示，AB是固定在竖直面内的四分之一圆弧面，O为圆心，OA竖直，从O点水平向右抛出一个小球，不计小球的大小，小球的初速度越大，则（ ）
A．小球落在圆弧面上时的速度越大
B．小球落在圆弧面上时的速度越小
C．小球从抛出到落到圆弧面上运动过程中的速度变化量越大
D．小球从抛出到落到圆弧面上运动过程中的速度变化量越小
【答案】D
【详解】AB．设小球落到圆弧上的位置与O点的连线与水平方向的夹角为θ。小球做平抛运动，则，
由动能定理有
解得
由此可知，小球落在圆弧斜面上的动能有极大值，也就是其落在圆弧面上的速度也有极大值。即并不是单纯的小球的初速度越大，其落在圆弧面上的速度就越大或越小，故AB错误；
CD．小球初速度越大，落点越靠上，下落高度越小，由
所以其运动时间越短，小球抛出后做平抛运动，有
由于小球初速度越大，其运动时间越短，所以其速度变化量越小，故C错误，D正确。
故选D。
3．（2024·四川眉山·模拟预测）如图所示，将一质量为m的小球从地面上方A点向左水平抛出时，小球落在地面上B点；将该小球以大小相同的初速度向右水平抛出时，小球落在地面上C点，且落地时速度方向竖直向下，虚线AB、AC为小球抛出点与两落点的连线，已知，小球抛出后始终受到水平向左的恒定风力作用，重力加速度为g ，则小球所受水平风力的大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设A点到地面的高度为h，小球受水平风力作用产生的加速度为a，方向向左，从A点向左和向右抛出时落地的时间相同，设为t，则从A到B，
从A到C
其中,,
联立解得
则小球所受水平风力的大小为
故选A。
4．（2024·江苏·模拟预测）如图所示，从水平面上A点以倾角为α斜向上方抛出一小球，抛出时速度大小为。小球落到倾角为θ的斜面上C点时，速度方向正好与斜面垂直，B为小球运动的最高点，已知重力加速度为g，则（ ）
A．小球在B点的速度大小为
B．小球从A点运动到B点的时间为
C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为
D．小球从B点运动到C点的时间为
【答案】C
【详解】A．小球在B点的速度大小为
故A错误；
B．小球在A点时竖直方向上速度大小为
则小球从A点运动到B点的时间为
故B错误；
C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为
故C正确；
D．小球从B点运动到C点的时间为
故D错误。
故选C。
二、多选题(本题共4小题。每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的。全部选对的得全分,选对但不全的得一半分,有选错的得0分)
5．（2024·辽宁·模拟预测）如图所示，AB为竖直放置的半圆环ACB的水平直径，O为半圆环圆心，C为环上的最低点，环半径为R，两个质量相同的小球分别从A点和B点以初速度和水平相向抛出，初速度为的小球落到a点所用时间为，初速度为的小球落到b点所用时间为，a点高度大于b点高度，不计空气阻力。则下列判断正确的是（ ）
A．两小球的初速度一定有
B．两小球落到圆环上所用的时间满足
C．不论和满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上
D．若两小球同时水平抛出，不论和满足什么关系，两小球都能在空中相遇
【答案】BC
【详解】AB. 根据，因为b下落高度大，所以b平抛运动的时间长，即有
水平位移
由图中b的水平位移小，所以b球的初速度小于a球的初速度，即，故A错误，B正确；
C. 设速度与水平方向的夹角α，位移与水平方向的夹角β，有,
可以证明速度反向延长线交水平位移的中点，若该选项中假设小球垂直打在圆环上，则速度反向延长线交点在圆心，但不是水平位移的中点，故C正确；
D. 如果两球的初速度非常小，两球不能在空中相遇，如图所示
故D错误。
故选BC。
6．（2024·陕西铜川·模拟预测）如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上。当抛出的速度为时，从抛出至落到斜面的运动时间为，位移大小为，离斜面的最远距离为，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为；当抛出速度为时，从抛出至落到斜面的运动时间为，位移大小为，离斜面的最远距离为，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为，不计空气阻力，则下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】C．由平抛运动规律可知
速度方向与水平方向的夹角
则
位移方向相同，则速度方向与斜面的夹角相同
选项C正确；
A．根据
初速度变为2倍时，则时间变为原来的2倍，即
选项A正确；
B．垂直斜面方向，初速度，加速度，则离斜面的最远距离
初速度变为2倍时，则离斜面的最远距离变为原来的4倍，故
选项B错误；
D．根据
初速度变为2倍时，位移变4倍，即
选项D错误。
故选AC。
7．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，甲同学爬上山坡底端C点处的一棵树，从树上Q点正对着山坡水平抛出一个小石块，石块正好垂直打在山坡中点P。乙同学（身高不计）在山坡顶端的A点水平抛出一个小石块，石块也能落在P点。已知山坡长度，山坡与水平地面间夹角为，重力加速度为g，空气阻力不计，，，则（ ）
A．甲同学抛出的小石块初速度大小为
B．甲同学抛出的小石块初速度大小为
C．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为
D．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为
【答案】AD
【详解】设甲抛出小石子的初速度为v0，Q点相对于P点的竖直高度为H，则
甲抛出的小石块落在P点时竖直方向的速度
甲抛出小石块的水平位移 ,,
联立可得,,
对乙同学,
解得,
甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为
选项BC错误，AD正确。
故选
AD。
8．（2024·贵州·模拟预测）如图所示，A、B两质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B在光滑斜面上运动，落地点为。不计阻力，则在x轴方向上的远近关系是（ ）
A．较远B．较远
C．等远D．B运动的时间
【答案】BD
【详解】根据题意可知，质点A做平抛运动，根据平抛运动规律，
得A运动的时间
质点B视为在光滑斜面上的类平抛运动，其加速度为
沿着斜面的位移和水平方向分别有，B运动的时间A、B沿x轴方向都做水平速度相等的匀速直线运动，由于运动时间不等，所以沿x轴方向的位移大小不同，根据可知
即P2较远。
故选BD。
三、计算题（本题共3小题。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）
9．（2022·江西赣州·模拟预测）如图所示，半径的一段光滑圆弧轨道AB，其圆心为O，OB竖直，OA与OB夹角，现将质量为的小球从P点水平抛出，球刚好无碰撞地从A点进入圆弧轨道，P点与圆心O等高，空气阻力不计，重力加速度g取，，，求：
（1）小球平抛的初速度大小；
（2）小球运动到B点时对圆弧轨道压力大小。
【答案】（1）；（2）3.675N
【详解】（1）小球平抛从P到A，在竖直方向有
解得
小球切入A点时，速度方向与相切，v与水平方向成53°，所以
（2）小球从P到B机械能守恒
设在B点轨道对球的支持力大小为F，由牛顿第二定律
解得
据牛顿第三定律知，小球到B点时对圆弧轨道压力大小也是3.675N。
10．（2024·江苏·模拟预测）如图所示，质量的跳台滑雪运动员从跳台处沿水平方向飞出，在斜坡（近似看成斜面）处着陆，间的距离，斜坡与水平方向的夹角，不计空气阻力，重力加速度取。求：
（1）运动员由处运动到处的时间；
（2）运动员在飞行过程中，离斜坡最远时重力的瞬时功率。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据题意，运动员在空中做平抛运动，在竖直方向
解得
（2）在水平方向
解得
根据平抛运动规律，离斜坡最远时速度与斜面平行，则
则重力的瞬时功率为
解得
11．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，倾角θ=37°的光滑斜面AB固定在水平面上，现将一弹力球从斜面的顶端A点以初速度v0=10m/s水平向右抛出，弹力球恰好落在斜面的底端B点。已知重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cs37°=0.8，不计空气阻力。
（1）求斜面的长度；
（2）若弹力球与斜面碰撞时，沿斜面方向的速度不变，垂直斜面方向的速度大小不变，方向反向，现仅调整弹力球从A点水平抛出时的速度大小为v1=5m/s，求弹力球与斜面第二次碰撞的位置离B点的距离。
【答案】（1）18.75m；（2）6m
【详解】（1）弹力球做平抛运动，竖直方向有
水平方向有
联立解得斜面的长度为
（2）将平抛运动分解为沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的类竖直上抛运动，设调整后弹力球水平抛出时的速度大小沿垂直斜面方向的分速度大小为
沿斜面方向的分速度大小为
垂直斜面方向的加速度大小为
沿斜面方向的加速度大小为
弹力球每次从斜面离开到再次落回斜面过程中用时为
沿斜面方向有
解得距B端