模型21 拉格朗日点、黑洞、潮汐、张角及星球瓦解点问题—高考物理热点模型突破训练

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01 模型概述
1．拉格朗日点：拉格朗日点指在两大物体引力作用下，能使小物体稳定的点.
①日地间的拉格朗日点：
②地月间的拉格朗日点
2．黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞。
3．潮汐
潮汐：海面在外力作用下产生的周期性的升降现象。
白天的海面上升为潮，晚上的海面上升为汐。
3. 星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即，得。当时，星球瓦解，当时，星球稳定运行。
02 典题攻破
1. 拉格朗日点相关问题
【典型题1】（2024·宁夏银川·模拟预测）2023年10月9日，先进天基太阳天文台，即“夸父一号”科学卫星迎来一周岁生日。“夸父一号”已平稳在轨运行365天。已知“夸父一号”位于日地连线、距地球约150万公里的日地系统的拉格朗日点，在该点几乎不消耗燃料就可以和地球一起以相同角速度绕太阳做匀速圆周运动，如图所示。关于“夸父一号”和地球一起运行过程中，下列说法正确的是（ ）
A．“夸父一号”受力平衡
B．“夸父一号”绕太阳运行的周期是24小时
C．“夸父一号”绕太阳运行的加速度小于地球绕太阳运行的加速度
D．“夸父一号”绕太阳做圆周运动的向心力仅由太阳的引力提供
【答案】C
【详解】A．“夸父一号”做匀速圆周运动，受力不平衡，故A错误；
B．“夸父一号”绕太阳运行的周期等于地球的公转周期，不是24小时，故B错误；
C．“夸父一号”绕太阳运行的角速度等于地球绕太阳运行的角速度，根据
由于“夸父一号”的轨道半径小于地球的轨道半径，则“夸父一号”绕太阳运行的加速度小于地球绕太阳运行的加速度，故C正确；
D．“夸父一号”绕太阳做圆周运动的向心力由太阳引力和地球引力的合力提供，故D错误。
故选C。
2. 黑洞问题
【典型题2】（2024·安徽安庆·二模）史瓦西半径是任何具有质量的物质都存在的一个临界半径特征值。该值的含义是：如果特定质量的物质被压缩到此临界半径时，该物质就被压缩成一个黑洞，即此时它的逃逸速度等于光速。已知某星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的倍，该星球半径，表面重力加速度g取，不考虑星球的自转，则该星球的史瓦西半径约为（ ）
A．9纳米B．9毫米C．9厘米D．9米
【答案】B
【详解】地球表面附近有
临界状态光速恰好等于其逃逸速度，可得第一宇宙速度可表示为
根据万有引力提供向心力可得
联立解得
故选B。
3.潮汐问题
【典型题3】（2021·北京西城·一模）地球刚诞生时自转周期约是8小时，因为受到月球潮汐的影响，自转在持续减速，现在地球自转周期是24小时。与此同时，在数年、数十年的时间内，由于地球板块的运动、地壳的收缩、海洋、大气等一些复杂因素以及人类活动的影响，地球的自转周期会发生毫秒级别的微小波动。科学研究指出，若不考虑月球的影响，在地球的总质量不变的情况下，地球上的所有物质满足m1ωr12 + m2ωr22 + ….+ miωri2 = 常量，其中m1、m2、…… mi表示地球各部分的质量，r1、r2、…… ri为地球各部分到地轴的距离，ω为地球自转的角速度，如图所示。根据以上信息，结合所学，判断下列说法正确的是（ ）
A．月球潮汐的影响使地球自转的角速度变大
B．若地球自转变慢，地球赤道处的重力加速度会变小
C．若仅考虑A处的冰川融化，质心下降，会使地球自转周期变小
D．若仅考虑B处板块向赤道漂移，会使地球自转周期变小
【答案】C
【详解】A．地球自转周期与角速度的关系为
由题意知T变大，则自转的角速度变小，选项A错误；
B．在赤道处万有引力提供向心力和重力有
若地球自转变慢，即角速度变小，则重力加速度会变大，选项B错误；
C．由m1ωr12 + m2ωr22 + ….+ miωri2 = 常量知，质心下降，会使变大，T变小，选项C正确；
D．若B处板块向赤道漂移，相当于地球一部分半径变大，角速度变小，则周期变大，选项D错误。
故选C。
4.星球瓦解问题
【典型题4】（2019·四川遂宁·模拟预测）假设某宇航员在地球上可以举起m1=50kg的物体，他在某星球表面上可以举起m2=100kg的物体，若该星球半径为地球半径的4倍，则（ ）
A．地球和该星球质量之比为
B．地球和该星球第一宇宙速度之比为
C．地球和该星球瓦解的角速度之比为
D．地球和该星球近地卫星的向心加速度之比为
【答案】C
【详解】AD．人的作用力是固定的，则由：F=m1g地=m2g星
而近地卫星的向心加速度和重力加速度近似相等；根据：
则：
AD错误；
B．第一宇宙速度
解得：
则：
B错误；
C．星球的自转角速度足够快，地表的重力为0时星球瓦解，根据：
得：
C正确。
故选C。
03 针对训练
一、单选题(本题共8小题。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（2024·山东淄博·模拟预测）为顺利完成月球背面的“嫦娥六号 ”探测器与地球间的通信，需在地月拉格朗日L2点处定位某一卫星，该卫星可以在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做匀速圆周运动。已知地球、月球球心间的距离约为L2点与月球球心距离的 6倍，如图所示。则地球与月球质量的比值约为（ ）
A．36B．49C．83D．216
【答案】C
【详解】设地月距离为L，则对月球
对卫星
联立解得
故选C。
2．（2024·黑龙江吉林·模拟预测）如图所示，“鹊桥”中继星处于地月拉格朗日点上时，可以和月球保持同步绕地球做匀速圆周运动。地球、月球和“鹊桥”中继星均可视为质点，忽略地球、月球以外的天体对”鹊桥”中继星的引力，忽略“鹊桥”中继星对月球的影响，则当“鹊桥”中继星处于拉格朗日点上时，下列选项正确的是（ ）
A．中继星绕地球做圆周运动所需的向心力仅来源于地球对它的引力
B．中继星绕地球做圆周运动的周期大于月球绕地球做圆周运动的周期
C．中继星绕地球做圆周运动的向心加速度小于月球绕地球做圆周运动的向心加速度
D．中继星绕地球做圆周运动的线速度大于月球绕地球做圆周运动的线速度
【答案】D
【详解】A．中继星绕地球做圆周运动所需的向心力来源于地球和月球对它的引力的合力，故A错误；
B．由于中继卫星与月球具有相同的角速度，所以中继星绕地球做圆周运动的周期等于月球绕地球做圆周运动的周期，故B错误；
C．由于中继卫星与月球具有相同的角速度，根据
可知，中继星绕地球做圆周运动的向心加速度大于月球绕地球做圆周运动的向心加速度，故C错误；
D．由于中继卫星与月球具有相同的角速度，根据
可知，中继星绕地球做圆周运动的线速度大于月球绕地球做圆周运动的线速度，故D正确。
故选D。
3．（2024·北京大兴·三模）2024年，我国探月计划第六个探测器嫦娥六号将于上半年出征月球，并且飞往月球背面采集土壤并返回地球。如图所示，为地球的球心、为月球的球心，图中的P点为地—月系统的一个拉格朗日点，在该点的物体能够保持和地球、月球相对位置关系不变，以和月球相同的角速度绕地球匀速圆周运动。地球上的人总是只能看到月球的正面，嫦娥六号将要达到的却是月球背面的M点，为了保持和地球的联系，我国于4月12日成功发射鹊桥二号中继通信卫星，让其在以P点为圆心、垂直于地月连线的圆轨道上运动。下列说法正确的是（ ）
A．我们无法看到月球的背面，是因为月球的自转周期和公转周期相同
B．发射嫦娥六号时，发射速度要超过第二宇宙速度，让其摆脱地球引力的束缚
C．以地球球心为参考系，鹊桥二号中继卫星做匀速圆周运动
D．若“鹊桥二号”和月球的公转轨道半径之比为n，那么它们的公转周期之比为
【答案】A
【详解】A．看不到月球的背面，就是因为月球的自转周期和公转周期相同，故A正确；
B．嫦娥六号并没摆脱地球引力的束缚，因此发射速度不会超过第二宇宙速度，故B错误；
C．以地球为参考系，鹊桥二号一方面绕地月系统共同的圆心做匀速圆周运动，另一方面绕P点做匀速圆周运动，因此以地心为参考系，它是两个匀速圆周运动的合运动，故C错误；
D．鹊桥二号中继卫星受地球和月球共同引力的作用，月球只受地球的引力作用，则周期关系不满足开普勒第三定律，故D错误。
故选A。
4．（2024·北京海淀·模拟预测）为简单计，把地-月系统看成地球静止不动而月球绕地球做匀速圆周运动，如图所示，虚线为月球轨道。在地月连线上存在一些所谓“拉格朗日点”的特殊点。在这些点，质量极小的物体（如人造卫星）仅在地球和月球引力共同作用下可以始终和地球、月球在同一条线上。则图中四个点可能是“拉格朗日点”的是（ ）
A．A、B、C点B．A、B、D点C．A、C、D点D．B、C、D点
【答案】C
【详解】B点处的物体受到地球与月球的万有引力的方向相同，而B到地球的之间小于月球到地球的距离，根据万有引力提供向心力可知，B处物体的向心加速度要大于月球的向心加速度，不能与月球具有相等的角速度，故B点不可能是“拉格朗日点”，同理分析，A、C、D点可能是“拉格朗日点”。
故选C。
5．（2024·江苏南通·模拟预测）2024年3月20日，“鹊桥二号”中继星在文昌航天发射场成功发射升空，为嫦娥六号提供地月间中继通信，将月球背面信息直接传回地球。如图所示，“鹊桥二号”定位于图中拉格朗日L2点附近运动，在几乎不消耗燃料的情况下与月球以相同的周期绕地球做圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．该卫星受到地球与月球的引力的合力为零
B．该卫星绕地球运动的角速度大于月球绕地球运动的角速度
C．该卫星绕地球运动的线速度大于月球绕地球运动的线速度
D．该卫星绕地球运动的向心加速度小于月球绕地球运动向心加速度
【答案】C
【详解】A．该卫星受到地球与月球的引力的合力提供该卫星做圆周运动的向心力，不为零，故A错误；
B．该卫星与月球以相同的周期绕地球做圆周运动，根据
可知该卫星绕地球运动的角速度等于月球绕地球运动的角速度，故B错误；
C．根据
该卫星绕地球运动半径大于月球绕地球运动半径，故该卫星绕地球运动的线速度大于月球绕地球运动的线速度，故C正确；
D．根据
该卫星绕地球运动半径大于月球绕地球运动半径，故该卫星绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动向心加速度，故D错误。
故选C。
6．（2024·北京海淀·模拟预测）1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》中指出：两个质量相差悬殊的天体（如太阳和地球）所在同一平面上有5个特殊点，如图中的、、、、所示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日点，下列说法正确的是（ ）
A．该卫星绕太阳运动周期大于地球公转周期
B．该卫星在点处于平衡状态
C．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度
D．该卫星在处所受太阳和地球引力的合力比在处小
【答案】C
【详解】AC．该卫星与地球同步绕太阳运动，可知卫星绕太阳运动周期等于地球公转周期，根据
可知，该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度，选项A错误，C正确；
B．该卫星绕太阳做匀速圆周运动，可知在点不是处于平衡状态，选项B错误；
D．该卫星在处所受太阳和地球引力的合力等于卫星绕太阳做圆周运动的向心力，则根据
因在L2点的转动半径大于在L1的转动半径，可知卫星在处所受太阳和地球引力的合力比在处大，选项D错误。
故选C。
7．（2024·河南许昌·一模）开普勒186F是人们迄今发现的最像地球的一颗行星，这颗行星位于天鹅座开普勒186红外星5颗行星中的最外层，与恒星距离为5240万公里，距离地球500光年。根据观测发现某颗行星（下文称为A星球）有一颗近地卫星，当地球的近地卫星转了4圈时，A星球的近地卫星才转了一圈，A星球的半径约为地球半径的，设地球和A星球的密度、表面的重力加速度分别用、、、表示。则下列说法正确的是（ ）
A．地球和A星球的密度之比
B．地球和A星球表面的重力加速度之比
C．分别在地球和A星球表面相同高度处以相同的速度平抛一个物体，A星球上的物体落地较早
D．A星球的自转角速度增加到（为地球半径）时，会发生解体
【答案】B
【详解】A．由题意可知，
对于近地卫星，在星球表面有
星球的体积为
星球的密度为
故地球和A星球的密度之比
故A错误；
B．对于近地卫星，在星球表面有
地球和A星球表面的重力加速度之比
故B正确；
C．小球做平抛运动
物体落地的时间为A星球的重力加速度小，物体落地的时间较长，A星球上的物体落地较晚，故C错误；
D。设A星球最外端的一物体质量为，当角速度为时，该物体将要离开A星球，即
解得
故D错误。
故选B。
8．通常情况下中子星的自转速度是非常快的，因此任何的微小凸起都将造成时空的扭曲并产生连续的引力波信号，这种引力辐射过程会带走一部分能量并使中子星的自转速度逐渐下降．现有一中子星(可视为均匀球体)，它的自转周期为T0时恰能维持该星体的稳定(不因自转而瓦解)，则当中子星的自转周期增为T=2T0时，某物体在该中子星“两极”所受重力与在“赤道”所受重力的比值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【详解】自转周期为T0时恰能维持星体的稳定，有：，当中子星的自转周期增为T=2T0时，在两极有：，在赤道有：，联立解得．故D正确，ABC错误．
二、多选题(本题共4小题。每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的。全部选对的得全分,选对但不全的得一半分,有选错的得0分)
9．（2018·全国·一模）近期天文学界有很多新发现，若某一新发现的星体质量为m、半径为R、自转周期为T、引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．如果该星体的自转周期，则该星体会解体
B．如果该星体的自转周期，则该星体会解体
C．该星体表面的引力加速度为
D．如果有卫星靠近该星体表面做匀速圆周运动，则该卫星的速度大小为
【答案】AD
【详解】AB. 如果在该星体“赤道”表面有一物体，质量为，当它受到的万有引力大于跟随星体自转所需的向心力时，则有：
解得：
此时，星体处于稳定状态不会解体，而当该星体的自转周期：
此时，星体会解体，故A正确，B错误；
C. 在该星体表面，则有：
解得该星体表面的引力加速度为：
故C错误；
D. 如果有质量为的卫星靠近该星体表面做匀速圆周运动，则有：
解得该卫星的速度大小为：
故D正确．
10．（2020·山东潍坊·二模）在宇宙中，当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”。天鹅座X—1就是这样一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是（ ）
A．它们间的万有引力大小变大
B．它们间的万有引力大小不变
C．恒星做圆周运动的线速度变大
D．恒星做圆周运动的角速度变大
【答案】AC
【详解】AB．设质量较大的为，质量较小的为，则两者之间的万有引力为
解得数学知识可知，当时，有最大值，根据题意可知质量较小的黑洞吞噬质量较大的恒星，因此万有引力变大，故A正确，B错误；
CD．对于两天体，万有引力提供向心力，即
解得两天体质量表达式为
两天体总质量表达式为
两天体的总质量不变，天体之间的距离L不变，因此天体的周期T和角速度也不变，质量较小的黑洞的质量增大，因此恒星的圆周运动半径增大，根据
可知，恒星的线速度增大。故C正确，D错误。
故选AC。
11．（2023·湖北·模拟预测）潮汐现象是指在月球和太阳引力作用下形成的海水周期性涨落现象。某同学查阅资料发现月球绕地球转动的轨道半径约为地球半径的60倍，地球质量约为月球质量的80倍，地球表面的重力加速度为g，不考虑星球的自转影响，由以上数据可估算出（ ）
A．月球绕地球做圆周运动的加速度为
B．月球绕地球做圆周运动的线速度为地球第一宇宙速度的
C．月球表面的重力加速度为
D．月球对地球海水引力产生加速度的最大值为
【答案】AD
【详解】A．由
可得地球表面的重力加速度
由，
可得，月球绕地球做圆周运动的加速度
故A正确；
B．由
可得，月球绕地球做圆周运动的线速度
为地球第一宇宙速度的倍，故B错误；
C．月球的半径未知，无法计算出月球表面的重力加速度，故C错误；
D．海水与月球最小距离为，月球对地球海水引力产生的加速度最大值
故D正确。
故选AD。
12．（2023·福建·高考真题）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r