专题02 运动学图像、多过程运动模型及追击相遇-2025高考物理模型与方法热点题型归类训练

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3564" 题型一 运动学图像的理解与应用 PAGEREF _Tc3564 \h 1
\l "_Tc11332" 类型1 x－t图象与v－t图象的比较 PAGEREF _Tc11332 \h 1
\l "_Tc15592" 类型2 v-t图像中的曲线问题 PAGEREF _Tc15592 \h 5
\l "_Tc7976" 类型3 x-t图像中的曲线问题 PAGEREF _Tc7976 \h 8
\l "_Tc30292" 题型二 常见的多过程运动模型 PAGEREF _Tc30292 \h 24
\l "_Tc1977" 类型1 “0—v—0”运动模型 PAGEREF _Tc1977 \h 24
\l "_Tc7356" 类型2 先减速为为0，后原路返回运动模型 PAGEREF _Tc7356 \h 28
\l "_Tc6226" 类型3 先匀速，后减速运动模型---反应时间问题 PAGEREF _Tc6226 \h 35
\l "_Tc29471" 类型4 先加速后匀速运动模型----限速问题 PAGEREF _Tc29471 \h 37
\l "_Tc16830" 类型5 三倍加速度运动模型 PAGEREF _Tc16830 \h 41
\l "_Tc8639" 题型三 追及相遇问题 PAGEREF _Tc8639 \h 46
\l "_Tc9037" 类型1 变速物体追匀速物体 PAGEREF _Tc9037 \h 46
\l "_Tc27231" 类型2 变速物体追变速物体 PAGEREF _Tc27231 \h 49
\l "_Tc24742" 类型3 体育赛事中的追及问题 PAGEREF _Tc24742 \h 56
\l "_Tc20301" 类型4 图像法在追及相遇问题中的应用 PAGEREF _Tc20301 \h 61
\l "_Tc13077" 类型5 运动学中的安全行驶与STSE问题 PAGEREF _Tc13077 \h 65
题型一 运动学图像的理解与应用
【解题指导】1．x－t图像、v－t图像都只能描述直线运动，且不表示物体运动的轨迹.
x－t图像的斜率表示物体运动的速度，可根据斜率判断速度变化情况，两图线交点表示相遇.
v－t图像的斜率大小表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向，在拐点处加速度方向改变，速度方向不变.
v－t图像中图线与t轴所围成的图形的面积表示该段时间内的位移．图线在t轴上方，表示位移为正；图线在t轴下方，表示位移为负，物体在该段时间内的总位移为上、下面积的代数和.
5.有些特殊图像，比如v2－x图像、eq \f(x,t)－t图像、a－t图像、x－t2图像等，先确定纵坐标与横坐标的函数关系，转化为常见形式，再从图像的斜率、截距、面积等找突破口，从而求解相关物理量．
类型1 x－t图象与v－t图象的比较
【例1】（2024·全国·高考真题）一质点做直线运动，下列描述其位移x或速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】AB．物体做直线运动，位移与时间成函数关系，AB选项中一个时间对应2个以上的位移，故不可能，故AB错误；
CD．同理D选项中一个时间对应2个速度，只有C选项速度与时间是成函数关系，故C正确，D错误。
故选C。
【例2】（2024·河南·模拟预测）如图所示，甲、乙两个图像分别表示四个物体沿同一直线的运动情况，、为直线，、为曲线，末，、物体图线的斜率分别与、物体图线的斜率相同，下列说法正确的是（ ）
A．末，、两物体的速度相等，、两物体的加速度相等
B．、在末相遇，、也在末相遇
C．、两物体在内的平均速度相等
D．四个物体的运动方向一直都相同
【答案】A
【详解】A．末，、物体图线的斜率分别与、物体图线的斜率相同，甲图中图线斜率表示速度，乙图中图线斜率表示加速度，则末，、两物体的速度相等，、两物体的加速度相等，故A正确；
B．甲图为图像，、图像的交点表示相遇，乙图为图像，、图线的交点表示速度相等，则、两物体在末相遇，由于不知道、两物体的初位置关系，故不能判断、两物体在末是否相遇，故B错误；
C．图像与轴围成的面积表示位移，由图像可知，、两物体在内的位移不相等，故平均速度不相等，故C错误；
D．物体先向负方向运动再向正方向运动，、、三个物体都向正方向运动，故D错误。
故选A。
【变式演练1】（2024·辽宁·二模）某场冰壶比赛中，投掷出的冰壶沿直线运动，运动员通过刷冰使冰壶在逐渐减小的摩擦力作用下停到指定位置。能正确反映该过程中冰壶的位移x、速度v、加速度a随时间t变化规律的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】AD．依题意，冰壶运动过程中所受摩擦力逐渐减小，由牛顿第二定律
可知加速度逐渐减小，做减速运动，其位移与时间不成正比关系。故AD错误；
BC．v-t图像中斜率表示加速度，由图可知C选项符合题意。故B错误；C正确。
故选C。
【变式演练2】物体甲的图像和物体乙的图像分别如图所示，则这两物体的运动情况是（ ）
A．甲在整个时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4m
B．甲在整个时间内有来回运动，它通过的总位移为零
C．乙在整个时间内有来回运动，它通过的总位移为零
D．乙在整个时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4m
【答案】AC
【详解】AB．由图甲可知，图线斜率不变，则运动方向不变，总位移大小为
故A正确，B错误；
CD．由图乙可知，物体先做反向匀减速直线运动，再沿正方向做匀加速直线运动，有来回运动，正方向运动和负方向运动的位移大小相等，总位移为零。故C正确，D错误。
故选AC。
【变式演练3】如图所示，甲图是x-t即位置与时间图像，乙图是v-t图像，图中给出的四条曲线1、2、3、4，分别代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是（ ）
A．两图像中，t2、t4时刻分别表示物体2、物体4已经向负方向运动
B．两图像中，物体1和物体2在t1时刻相遇，物体3和物体4在t3时刻相遇
C．x-t图像中0至t1时间内物体1和物体2的平均速度相等
D．v-t图像中0至t3时间内物体3和物体4的平均速度相等
【答案】C
【详解】A．x-t图像切线的斜率表示物体运动的速度，速度的正负表示物体的运动方向，所以甲图中t2时刻物体2已经向负方向运动，而乙图中t4时刻速度为正，物体4仍向正方向运动，故A错误；
B．x-t图像的交点表示两物体相遇，而v-t图像的交点表示速度相等，故B错误；
C．平均速度等于物体发生的位移与所用时间的比值，甲图中两物体位移相等，时间相等，所以平均速度相等，故C正确；
D．v-t图像与横轴所围区域的面积表示物体发生的位移，乙图中物体4的位移大于物体3的位移，两物体运动时间相等，所以物体4的平均速度大于物体3的平均速度，故D错误。
故选C。
类型2 v-t图像中的曲线问题
【例1】甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间内，它们的v一t图像如图所示。在这段时间内（ ）
A．汽车甲的平均速度比乙的小
B．汽车甲的平均速度大于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐增大，汽车乙的加速度大小逐渐减小
【答案】B
【详解】AC．在v-t图像中图形的面积代表位移的大小，根据图像可知，在这段时间内，甲的位移大于乙的位移，时间相同，根据平均速度等于位移与时间之比，可知汽车甲的平均速度比乙的大，故AC错误；
B．若甲做匀加速直线运动，其平均速度等于，而实际上，甲做变加速直线运动，通过的位移大于匀加速直线运动的位移，所以甲的平均速度大于，故B正确；
D．因为速度时间图像切线的斜率等于物体的加速度，汽车甲和乙的加速度大小都是逐渐减小，故D错误。
故选B。
【例2】刚刚结束的奥运会上，广东小将全红婵（图甲）以总分466.2分打破世界纪录，获得跳水单人十米台金牌。自运动员离开跳台开始计时到完全落入水中，其速度随时间变化情况可简化如图乙，选向下为正方向，下列结论正确的是（ ）
A．0-t2为空中运动时间，速度始终向下
B．t1-t2内的加速度比在t2-t3内加速度大
C．在0-t1内，平均速度等于
D．在t2-t3内，平均速度
【答案】C
【详解】A．0～t2为空中运动时间内，速度先为负值，后为正值，则速度方向先向上，后向下，故A错误；
B．v-t图像斜率的绝对值表示加速度大小，由图可以看出，t1-t2内的加速度比在t2-t3内加速度小，故B错误；
C．在0~t1内，图线斜率不变，表示匀变速直线运动，则由匀变速直线运动推论，平均速度等于初、末速度和的一半，即为，故C正确；
D．v-t图像与坐标轴所围的面积表示位移，由图像可以看出，实际图线在t2~t3时间内围的面积小于虚线（匀减速到零）所围面积，平均速度等于位移与所用时间的比值，所以此段时间内的平均速度小于此段时间内匀减速到零的平均速度，故D错误。故选C。
【变式演练1】如图甲运动员从离开跳板开始计时，其重心的图像如图乙所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）

A．运动员在空中做的是自由落体运动B．运动员在时，刚好到达最高点
C．运动员在水中的加速度逐渐增大D．运动员双脚离开跳板后重心上升的高度为
【答案】D
【详解】A．运动员离开跳板时有向上的速度，所以在空中不是做自由落体运动，故A错误；
B．由图可知，运动员在时，刚好到达最高点，故B错误；
C．在图中，图线的斜率表示加速度，由图可知，运动员在水中时的斜率逐渐变小，加速度逐渐变小，故C错误；
D．在内，由题意可得
故D正确。
故选D。
【变式演练2】在抗击“新冠”疫情期间，为了保障百姓基本生活，许多快递公司推出了“无接触配送”即用无人机配送快递（如图1）。某次快递员操作无人机竖直向上由地面向10楼阳台配送快递，无人机飞行过程的v-t图像如图2所示，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．0~t1时间内，无人机做匀加速直线运动B．时间内，无人机的平均速度小于
C．t3时刻，无人机仅受重力作用D．t1-t2时间内，无人机的机械能增加
【答案】BD
【详解】A．根据v-t图像的斜率表示加速度可知，时间内斜率在变小，即加速度在变小，无人机做加速度减小的加速运动，A错误；
B．根据v-t图像与时间轴围成的“面积”表示无人机运动的位移，可知图像与横轴围成的面积小于连接曲线上和两点直线时与横轴围成的面积，再根据匀变速直线运动的平均速度表达式可得，时间内无人机的平均速度，B正确；
C．根据v-t图像，时刻无人机悬停，速度为零，处于平衡状态，受到升力和重力作用，C错误；
D．时间内，无人机的动能不变，而高度升高，则重力势能增加，机械能增加，D正确。
故选BD。
类型3 x-t图像中的曲线问题
t
O
x
t2
瞬时速度
x2
平均速度
t1
x1
(1)一般曲线
①曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变速直线运动；
②一段割线的斜率等于平均速度，某点切线斜率等于瞬时速度；
③注意路程和位移区别。0~t1，路程等于位移大小(x1)；0~t2，路程(2x1-x2)大于位移大小(x2)。
（2）抛物线
t
O
x
1 2 3
匀加速直线运动
x3
x1
x2
t
O
x
1 2 3 4
匀减速直线运动
x0

①开口向上的抛物线表示物体做匀加速直线运动，开口向下表示匀减速；
②加速度用逐差法计算：(x3-x2)-(x2-x1)=aT2；
③中间时刻速度等于该段时间内的平均速度，例如2s末的速度等于1s~3s内的平均速度，v2=(x3-x1)/2T。
【例1】在水平面上做匀减速直线运动的质点通过O、A、B三点的过程中，其位移随时间变化规律图像如图所示。则质点（ ）
A．从O点运动到B点过程的平均速度为
B．通过A点时的速度为
C．加速度为
D．从A点运动到B点，速度的变化量为
【答案】AD
【详解】A．从O点运动到B点过程的平均速度为
故A正确；
BCD．设O点的速度为，加速度大小为；从O点运动到A点过程，有
从O点运动到B点过程，有
联立解得
，
从A点运动到B点，速度的变化量为
通过A点时的速度为
故BC错误，D正确。故选AD。
【变式演练1】蹦极是一项深受年轻人喜爱的极限运动。为了研究蹦极运动过程，做以下简化（如图甲）：将游客视为质点，他的运动始终沿竖直方向。弹性绳的一端固定在O点，另一端和游客相连。游客从O点开始下落到最低点的过程中，位移－时间（）图像如图乙所示，其中为游客速度最大的时刻，为游客运动到最低点的时刻，空气阻力不计。下列说法正确的是（ ）
A．时刻游客的加速度大小为g
B．时刻游客的加速度为0
C．0~时间内游客做自由落体运动
D．~时间内游客所受合力的大小逐渐变大
【答案】D
【详解】A．时刻游客的速度最大，此时加速度大小为零，选项A错误；
B．时刻游客的速度为零，但是加速度不为0，选项B错误；
C．0~时间内游客做加速度逐渐减小的加速运动，不是自由落体运动，选项C错误；
D．~时间内游客做加速度增加的减速运动，此时所受合力的大小逐渐变大，选项D正确。
故选D。
【变式演练2】某同学在百米赛跑过程中，其位移随时间变化的关系可简化为如图所示的图像，其中Oa段为抛物线，ab段为直线，根据该图像，关于时间内该同学的运动，下列说法正确的是（ ）
A．加速度逐渐增加
B．速度最大值为
C．时间内加速度的大小为
D．时间内平均速度的大小为
【答案】D
【详解】A．在图像中Oa段为抛物线，则做匀加速直线运动，在ab段为直线，则做匀速直线运动，故A错误；
B．在ab段时速度最大,最大值为
故B错误；
C．0∼t1时间内做匀加速直线运动，则有
加速度的大小为
故C错误；
D．0∼t2时间内平均速度的大小为
故D正确。
故选D。
【变式演练3】一质点做匀变速直线运动，其运动的位移-时间图像如图所示，为图像上一点。为过点的切线，与轴交于点。则下列说法正确的是（ ）
A．时刻，质点的速率为B．时刻，质点的速率为
C．质点的加速度大小为D．质点的加速度大小为
【答案】BD
【详解】AB．图像的切线斜率表示速度，则时刻，质点的速率为
故A错误，B正确；
CD．根据中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度可得时刻的速度为
根据加速度的定义有
故C错误，D正确。
故选BD。
类型四 非常规运动学图像
1．四类图象
(1)a－t图象
由vt＝v0＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示．
(2)eq \f(s,t)－t图象
由s＝v0t＋eq \f(1,2)at2可得eq \f(s,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，图象的斜率为eq \f(1,2)a，如图乙所示．
(3)v2－s图象
由vt2－v02＝2as可知vt2＝v02＋2as，图象斜率为2a.
(4)s－v图象
s与v的关系式：2as＝v2－v02，图象表达式：s＝eq \f(1,2a)v2－eq \f(1,2a)v02.
2．解题技巧
(1)用函数思想分析图象：
图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义．
(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图象类题型的解题准确率和速度．
【例1】（2024·山东烟台·三模）在非洲的干旱草原和半沙漠地带有一种猫科动物狞猫，狞猫跳跃能力极强，奔跑速度快，能捉降落或起飞时的鸟类。某次狞猫在捕食树上的鸟时，先慢慢趴低身体，使身体贴近地面，然后突然蹬地向上加速，重心上升后离地向上运动，狞猫在离开地面前，其加速度a与重心上升高度h的关系如图所示，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则狞猫离地后重心上升的最大高度为（ ）
A．1.5mB．3mC．4.5mD．6m
【答案】B
【详解】根据题意，设狞猫离地时速度为，根据动力学公式
整理得
可知图像与坐标轴围成的面积表示，则
解得
狞猫离地后，根据动力学公式
解得狞猫离地后重心上升的最大高度为
故选B。
【例2】．（2024·四川·模拟预测）无人驾驶汽车制动过程分为制动起作用阶段和持续制动阶段，制动起作用阶段，汽车的加速度大小随时间均匀增大，持续制动阶段，汽车的加速度大小恒定。如图为某次试验中，无人驾驶汽车制动全过程的加速度随时间的变化关系图像，若汽车的初速度v0=12.9m/s，则持续制动阶段的位移为（ ）
A．13.9mB．12.9mC．12mD．11m
【答案】C
【详解】图像与横轴围成的面积表示速度变化量，则内有
可知时的速度为
此后以加速度减速到零，则持续制动阶段的位移为
故选C。
【例3】．一个物体沿直线运动，从时刻开始，的图像如图所示，图线与纵坐标交于，与横坐标交于，横坐标，下列说法正确的是（ ）
A．在时刻，物体运动的方向改变
B．在时刻，物体运动的加速度方向改变
C．在0到时间间隔内，物体的位移为0
D．在到时间间隔内，物体的位移为
【答案】D
【详解】AB．根据匀变速直线运动位移与时间的关系式
变式可得
结合图像可知，该物体初速度方向与加速度方向相反，做匀变速直线运动，初速度和加速度分别为
，
当时，根据速度时间关系可得
可知，在时刻之前，物体运动的方向就已改变，故AB错误；
C．在0到时间间隔内，物体的位移为
故C错误；
D．根据以上分析可知，在时刻的速度为，则由位移与时间的关系可得在到时间间隔内，物体的位移为
解得
故D正确。
故选D。
【例4】（2024·山东济宁·三模）智能寻迹小车目前被应用于物流配送等多个领域，为测试不同寻迹小车的刹车性能，让它们在图甲中A点获得相同的速度，并沿直线AB刹车，最终得分为刹车停止时越过的最后一条分值线对应的分数，每相邻分值线间距离为0.5m。某小车M测试时恰好停止于100分分值线，该车的位移和时间的比值与t之间的关系图像如图乙所示，小车均可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．小车M刹车过程中加速度大小为
B．A点距100分分值线的距离为2m
C．1s时小车M的速度为
D．若某小车恰好匀减速停止于96分分值线，则该车的加速度大小为
【答案】B
【详解】A．根据题意，由公式整理可得
结合图像可得
，
解得
即小车M刹车过程中加速度大小为，故A错误；
BC．A点距100分分值线的距离为
1s时小车M的速度为
故B正确，C错误；
D．若某小车恰好匀减速停止于96分分值线，则刹车距离为
则该车的加速度大小为
故D错误。
故选B。
【例5】（2024·贵州遵义·一模）某物理探究组成功发射了自己制作的小火箭，该火箭竖直发射升空过程可分为AB和BC两个阶段，火箭速度的平方（）与位移（x）关系图像如图所示，不计空气阻力，重力加速度g大小取，下列说法正确的是（ ）
A．该火箭先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀减速直线运动
B．该火箭在BC段运动的时间为4s
C．该火箭在BC段受到的反冲力为其所受重力的0.2倍
D．该火箭在AB阶段的平均速度大于12m／s
【答案】C
【详解】B．根据匀变速直线运动位移与速度之间的关系有
可得
根据题图可知，在位移为处，火箭的速度达到最大值，可得
解得
当火箭上升到100m时速度减为0，该过程火箭做匀减速直线运动，位移大小为
根据速度与位移关系结合图像可得
解得
根据速度与时间的关系
代入数据可得
故B错误；
A．根据初速度为零的匀变速直线运动位移与速度之间的关系有
根据题图结合速度与位移之间的关系可知，火箭在内加速度逐渐增大，因此火箭先做加速度增大的变加速直线运动，再做匀减速直线运动，故A错误；
C．该火箭在BC段，设其所受反冲力为，由牛顿第二定律有
解得
则有
故C正确；
D．若火箭在位移内做匀加速直线运动，可知到达64m处时的速度大小为
由此可得该位移内火箭的平均速度
但实际上在该段位移内火箭做的并不是匀加速的直线运动，而是做的加速度逐渐增大的加速运动，因此该火箭在AB阶段的平均速度小于12m/s，故D错误。
【变式演练1】如图甲所示，运动员在进行蹦床比赛，取向上为正方向，运动员离开蹦床后的图像如图乙所示，运动员可视为质点，取重力加速度大小，则下列叙述正确的是（ ）
A．运动员离开蹦床后加速度大小为
B．运动员在时的速度大小为
C．运动员离开蹦床前的过程中，速度最大值是
D．运动员在最高点的速度为零，只受重力的作用
【答案】BD
【详解】A．运动员离开弹簧后竖直向上运动，设其加速度大小为a，则
由图可知图像的表达式为
解得
选项A错误；
B．运动员在时的速度为
选项B正确；
C．运动员离开蹦床前先加速后减速，所以运动员离开蹦床前的过程中速度的最大值大于，选项C错误；
D．运动员在最高点时，速度为零，只受到重力作用，选项D正确。
故选BD。
【变式演练2】放在水平面上的物体，在力F作用下开始运动，以物体静止时的位置为坐标原点，力F的方向为正方向建立x轴，物体的加速度随位移的变化图象如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．0～x2过程中物体做匀加速直线运动，x2～x3过程中物体做匀减速直线运动
B．0～x2段，物体的运动的时间
C．位移为x2时，物体的速度达到最大
D．物体的最大速度为
【答案】BD
【详解】A．由图知，0～x2过程中物体做匀加速直线运动，但x2～x3过程中物体做加速度逐渐减小的变加速运动，故A错误；
B．0～x2段，由

得
故B正确。
C．x2～x3过程中物体做加速度逐渐减小的加速运动，速度仍然在增加，故位移为x2时速度没有达到最大，故C错误；
D．由v2=2ax可得：图象中面积表示；即有
故最大速度
故D正确；
故选BD。
【变式演练3】．“加速度的变化率”可以表示加速度随时间变化的快慢。汽车加速度的变化率越小，乘客舒适感越好。某汽车由静止启动，前3s内加速度随时间的变化关系如图所示，则（ ）
A．内汽车做匀加速运动
B．加速度变化率的单位为
C．第3s末，汽车速度达到
D．乘客感觉内比内更舒适
【答案】C
【详解】A．由图可知，内汽车的加速度增大，不是匀加速运动，故A错误；
B．加速度变化率为加速度变化量与时间的比值，则单位为
故B错误；
C．图像中面积表示速度的变化量，则内汽车速度的变化量为
则第3s末，汽车速度达到，故C正确；
D．由题意可知，加速度的变化率越小，乘客舒适感越好，由图可知，内比内的加速度的变化率大，则内更舒适，故D错误。
故选C。
【变式演练4】一物体做直线运动，0时刻位于坐标原点，运动过程中的图像如图所示，一段过程中纵坐标的变化量为m，对应的横坐标变化量为n，且这个过程对应的时间间隔为，这段过程的末时刻与0时刻的时间间隔为，则（ ）
A．物体做匀加速直线运动，加速度等于
B．从零时刻开始，第一个内位移大于
C．零时刻速度为
D．内位移为
【答案】BCD
【详解】A．根据匀变速直线运动的规律
可知，在图像中，其斜率为加速度的2倍，即有
可得
A错误；
B．若物体做初速为零的匀加速直线运动，根据题意可知，物体运动的时间间隔为，而第三个内的位移为，由初速为零的匀加速直线运动规律可知
解得，第一个内的位移
根据图像纵截距可知物体初速度并不为零，故第一个内的位移大于，B正确；
C．由题意可知这一段过程的位移为n，对应的时间为，则这段过程的平均速度为
根据匀变速直线运动的规律可知，中点时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，则这段过程中点时刻的瞬时速度为
解得
C正确；
D．内的位移
联立上述各式可得
D正确。
故选BCD。
题型二 常见的多过程运动模型
类型1 “0—v—0”运动模型
t
O
v
t2
t1
a2
a1
v0
1.特点：初速度为零，末速度为v，两段初末速度相同，平均速度相同。三个比例式：
= 1 \* GB3 ①速度公式 推导可得：
= 2 \* GB3 ②速度位移公式 推导可得：
= 3 \* GB3 ③平均速度位移公式 推导可得：
2.位移三个公式：；；
【例1】【多选】水平桌面上，一质量为m的物体在水平恒力F拉动下从静止开始运动，物体通过的路程等于时，速度的大小为，此时撤去F，物体继续滑行的路程后停止运动，重力加速度大小为g，则（ ）
A．在此过程中F所做的功为
B．在此过中F的冲量大小等于
C．物体与桌面间的动摩擦因数等于
D．F的大小等于物体所受滑动摩擦力大小的2倍
【答案】BC
【详解】CD．外力撤去前，由牛顿第二定律可知
①
由速度位移公式有
②
外力撤去后，由牛顿第二定律可知
③
由速度位移公式有
④
由①②③④可得，水平恒力
动摩擦因数
滑动摩擦力
可知F的大小等于物体所受滑动摩擦力大小的3倍，
故C正确，D错误；
A．在此过程中，外力F做功为
故A错误；
B．由平均速度公式可知，外力F作用时间
在此过程中，F的冲量大小是
故B正确。
故选BC。
【变式演练1】2023年江苏利用5G融合通信网，让传统采煤矿车变身“智慧矿车”，确保地下工作人员安全。地下矿井中的矿石装在矿车中用电机通过竖井送至地面，某竖井中矿车上升的速度大小v随时间的变化关系如图所示。已知载有矿石的矿车总质量为，上升的高度为，上升过程中所受的阻力为自身重力的0.2倍，重力加速度大小为，求：
（1）0~6s内，矿车的最大速度；
（2）4s~6s内，电机拉力大小F；
（3）0~6s内，电机拉力的最大功率。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由图像可知，矿车先匀加速上升，后匀减速上升，已知，，由速度时间图像与时间轴围成的面积表示位移，可得
解得
（2）由图像的斜率表示加速度可得，内加速度大小
此过程对矿车受力分析，设电机的拉力为，受到的阻力为，则由牛顿第二定律有
解得电机拉力大小为
（3）对矿车受力分析可知，电机在内的拉力大于在内的拉力，在时刻速度最大，功率最大，则有
由牛顿第二定律可得
电机拉力的最大功率
代入数据解得
【变式演练2】甲、乙两辆车沿平直公路行驶，从A地到B地，乙车以速度v0匀速行驶，用时t0；甲车从静止开始先以加速度大小a1加速到vmax，所用时间为t1，再以加速度大小a2减速到0，所用时间为t2，总共用时也为t0。则下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】AB．如图所示为甲、乙两车的图像
两车位移相同，有
得
故AB错误；
C．甲车在t1时间内
t2时间内
即
故C错误；
D．因为
所以
即
故D正确。
故选D。
【变式演练3】图甲所示为一种自动感应门，其门框上沿的正中央安装有传感器，传感器可以预先设定一个水平感应距离，当人或物体与传感器的水平距离小于或等于水平感应距离时，中间的两扇门分别向左右平移。当人或物体与传感器的距离大于水平感应距离时，门将自动关闭。图乙为该感应门的俯视图，O点为传感器位置，以O点为圆心的虚线圆半径是传感器的水平感应距离，已知每扇门的宽度为d，运动过程中的最大速度为，门开启时先做匀加速运动而后立即以大小相等的加速度做匀减速运动，当每扇门完全开启时的速度刚好为零，移动的最大距离为d，不计门及门框的厚度。
（1）求门从开启到单扇门位移为d的时间；
（2）若人以的速度沿图乙中虚线AO走向感应门，人到达门框时左右门分别向左向右移动的距离不小于，那么设定的传感器水平感应距离R至少应为多少？
【答案】（1）；（2）3d
【详解】（1）依题意，门先做匀加速后做匀减速，有
解得
（2）依题意，人在感应区运动的最短时间为
根据运动的对称性可知，门匀加速过程的时间为
匀减速运动过程，运用逆向思维，可得
可得门运动的位移恰好为的时间为
联立，解得
【变式演练4】一质量为m的物块在大小为F的水平拉力作用下，从静止开始沿水平面运动距离x后撤掉F，又运动了3x后停下。已知接触面粗糙程度不变，重力加速度为g，求：
（1）物块运动的总时间；
（2）若水平拉力F增大为原来的两倍，物块仍通过4x的距离后停止，拉力作用时间？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）在外力作用时，物块加速度
这个过程中由运动学公式得
类似地，撤去外力后
联立解得运动总时间
（2）由动能定理，对物块运动全过程
由运动学公式得

解得拉力作用时间为
类型2 先减速为为0，后原路返回运动模型
t
O
v
t2
t1
a2
a1
v1
v2
（1）特点：初（或末）速度为零，两段运动位移大小相等为x。
（2）位移三个公式：位移公式；速度位移公式；
平均速度位移公式
（3）三个比例式： = 1 \* GB3 ① ； = 2 \* GB3 ② ； = 3 \* GB3 ③
【例2】【多选】一质量为m的物体自倾角为的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物体开始滑动时的动能为，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为。已知，重力加速度大小为g。则（ ）
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
【答案】BC
【详解】AC．物体从斜面底端回到斜面底端根据动能定理有
物体从斜面底端到斜面顶端根据动能定理有
整理得
；
A错误，C正确；
B．物体向下滑动时的根据牛顿第二定律有
求解得出
B正确；
D．物体向上滑动时的根据牛顿第二定律有
物体向下滑动时的根据牛顿第二定律有
由上式可知
a上 > a下
由于上升过程中的末速度为零，下滑过程中的初速度为零，且走过相同的位移，根据公式
则可得出
D错误。
故选BC。
【变式演练1】如图甲所示，一物块从倾角为的斜面底端以一定的初速度沿足够长的斜面上滑，其运动的速度一时间图像如图乙所示，2t0时刻速度减为零，5t0时刻回到出发点。则下列说法正确的是（ ）
A. 物块返回斜面底端时的速度大小为
B. 物块返回斜面底端时的速度大小为
C. 物块与斜面之间的动摩擦因数为
D. 物块与斜面之间的动摩擦因数为
【答案】C
【解析】
【详解】AB．上滑过程有
，
下滑过程有
，
联立解得
，
所以AB错误；
CD．根据牛顿第二定律，上滑过程有
联立解得
所以C正确；D错误；
故选C。
【变式演练2】海洋馆中一潜水员把一质量为m的小球以初速度从手中竖直抛出，从抛出开始计时，时刻小球返回手中，小球始终在水中且在水中所受阻力大小不变，小球的速度随时间变化的关系图像如图所示，重力加速度大小为g，则小球在水中竖直下落过程中的加速度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据小球的速度随时间变化的关系图像分析知，第一阶段加速度大，大小为，第二阶段加速度小，故小球先竖直向上做匀减速直线运动，再竖直向下做匀加速直线运动，从抛出开始计时，时刻小球返回手中
解得
故球在水中竖直下落过程中的加速度大小
根据牛顿第二定律，先竖直向上做匀减速直线运动
再竖直向下做匀加速直线运动
联立解得，小球在水中竖直下落过程中的加速度大小为
故选B。
类型3 先匀速，后减速运动模型---反应时间问题
t
O
v
x2
t1
a
v0
x1
总位移
【例3】无人驾驶汽车通过车载传感系统识别道路环境，自动控制车辆安全行驶。无人驾驶有很多优点，如从发现紧急情况到车开始减速，无人车需要0.2s，比人快了1s。人驾驶汽车以某速度匀速行驶，从发现情况到停下的运动距离为44m，汽车减速过程视为匀减速运动，其加速度大小为。同样条件下，无人驾驶汽车从发现情况到停下的运动距离为（ ）
A. 24mB. 26mC. 28mD. 30m
【答案】A
【解析】
【详解】设汽车运动的速度为v0，则人驾驶时发现情况到停下的运动距离为
即
解得
v0=20m/s
无人驾驶汽车时发现情况到停下的运动距离为
故选A。
【变式演练1】（2024·湖南·模拟预测）现有一辆小汽车以的速度匀速驶向路口，当行驶至车头距路口斑马线处时，司机发现有人正沿前方斑马线横穿马路，司机经过时间做出反应，随后开始刹车刚好在斑马线处停下，全过程的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．B．小车刹车时的加速度为
C．汽车内的平均速度为D．汽车停车前最后发生的位移是
【答案】D
【详解】A．汽车的初速度为
由运动学公式有
解得
A错误；
B．根据图像可知，小车刹车时的加速度为
B错误；
C．小车内的平均速度为
C错误；
D．汽车停车前最后发生的位移是
D正确。
故选D。
【变式演练2】一辆质量为m的货车以速度在平直公路上做匀速直线运动。司机突然发现正前方有障碍物，司机反应过来后立即紧急刹车，刹车过程中货车受到的阻力大小恒为。已知司机的反应时间为，反应时间内车匀速行驶。
（1）求从司机发现障碍物到车停下来货车前进的距离；
（2）安全驾驶人人有责，为防止发生交通事故，请通过分析第（1）问中影响货车前进距离的因素，给货车司机提出两条安全驾驶的建议（写出给出的建议的依据，只给建议不写依据不得分）。
【答案】（1）（2）不要超载；不要超速；不要疲劳；不要饮酒驾车；注意观察路面变化，雨雪天要减低车速等等。
【详解】（1）设刹车过程中货车运动的位移为x1，由牛顿第二定律得
f＝ma
刹车过程中，由位移—速度公式得

货物前进得距离
联立解得
（2）由
可知，货车质量越大，初速度越大，反应时间越长，刹车得阻力越小，货车得刹车距离越大，越容易发生交通事故。所以在驾驶时不要超载；不要超速；不要疲劳；不要饮酒驾车；注意观察路面变化，雨雪天要减低车速等等。
【变式演练3】如图所示，一辆匀速行驶的汽车即将通过路口，在距离停车线处时，司机发现信号灯由绿灯变为黄灯，经反应时间后，开始刹车，汽车做匀减速运动，在黄灯闪烁的末，汽车恰好停在停车线处。则汽车匀速行驶的速度大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题意可得
即
解得
故选A。
类型4 先加速后匀速运动模型----限速问题
t
O
v
t
a
v0
加速时间；加速距离
匀速时间；匀速距离
总位移
【例4】（2024·河北·三模）某游泳运动员在时间内运动的图像如图所示。关于该运动员，下列说法正确的是（ ）
A．在内所受的合力一直不为0
B．在内的位移大小为
C．在内一定处于超重状态
D．在内的位移大小为
【答案】D
【详解】A．图像的斜率代表加速度，由图像可知，在该运动员的有加速度，由牛顿第二定律可知
在与运动员并无加速度，即此时合力为零，综上所述，运动员在与所受合力为零，在，所受合力不为零，故A项错误；
B．由于图像与坐标轴围成的面积表示位移，所以在内的位移为
故B项错误；
C．由之前的分析，在结合图像可知，其加速度为
由于不知道运动员运动方向，只知道该时间内运动员加速度方向与运动员的运动方向相同，而超重则加速度方向为竖直向上，所以其不一定是超重状态，故C项错误；
D．结合之前的分析，在的位移为
故D项正确。
故选D。
【变式演练】中国高铁向世界展示了中国速度和谐号和复兴号高铁相继从沈阳站点由静止出发，沿同一方向做匀加速直线运动。两车运动的速度一时间图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．复兴号高铁追上和谐号动车前，时两车相距最远
B．复兴号高铁经过95s加速达到最大速度
C．时，复兴号高铁追上和谐号动车
D．复兴号高铁追上和谐号动车前，两车最远相距4900m
【答案】B
【详解】ACD．由图像可知，时，和谐号动车速度大于复兴号高铁，时，和谐号动车速度小于复兴号高铁，故复兴号高铁追上和谐号动车前，时两车相距最远，根据图像与坐标轴围成的面积表示位移，可知复兴号高铁追上和谐号动车前，两车最远相距
故ACD错误；
B．复兴号高铁的加速度为
复兴号高铁加速达到最大速度所需的时间为
故B正确。
故选B。
类型5 三倍加速度运动模型
t
O
v
t2
t1
-a2
a1
v1
-v2
（1）特点：初速度为零，两段总位移为零。
（2）位移两个公式：；
（3）特殊结论：若 ,则有 ,
【例5】物体从A点由静止开始做加速度大小为的匀加速直线运动，经时间t到达B点，速度大小为，这时突然改为做加速度大小为的匀减速直线运动，又经过时间t回到A点，速度大小为，求：和。
【答案】，
【详解】根据题意，画出示意图如图所示
以向右为正方向，内总位移为零，由运动学公式有
由运动学公式有
联立解得
【变式演练1】如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平面上，质量为m的物块在沿斜面向上的恒力作用下由静止开始运动，经时间t后撤去恒力作用，再经3t时间后物块恰好返回起点。已知重力加速度为g，求：
（1）恒力的大小？
（2）物块返回起点时的速度大小？
（3）物块沿斜面向上运动的最远点与起点间的距离？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设物体在恒力作用下的加速度为，由牛顿第二定律得
撤去恒力物体的加速度大小为，由牛顿第二定律得
由运动学公式得
联立解得
，，
（2）设撤去恒力后物块速度减到零所用的时间为，则有
，
联立解得
则物块返回起点时的速度大小为
（3）物块沿斜面向上运动的最远点与起点间的距离
【变式演练2】如图所示，在水平地面上固定一个倾角为的绝缘光滑斜面体，斜面体底端连接有挡板，有一个电荷量为q、质量为m的滑块静止于挡板处，某时刻加一沿斜面方向的匀强电场，使得滑块沿斜面方向运动，经历t时间后撤去电场，接着又经历相同的时间，滑块回到挡板位置处。不计空气阻力，已知重力加速度为g，求：
（1）电场强度的大小；
（2）滑块距挡板的最远距离。

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设有匀强电场时滑块上升的加速度为a1，根据牛顿第二定律有
根据运动学规律有
撤去电场后，此时以沿斜面向下为正方向，根据牛顿第二定律有
滑块先沿斜面向上做匀减速再反向做匀加速，经过相同时间回到原点可得
解得，电场强度的大小为
（2）减速到0时距挡板的距离最大为，由动能定理可得
联立解得
【变式演练3】如图所示，静置于光滑斜面（倾角为）的质量为m的物块，受到沿斜面方向的恒力F的作用，作用时间t后撤去F，再经时间后刚好返回起点，则（ ）
A．F与的比应该为3比7
B．F与的比应该为9比5
C．F与的比应该为7比3
D．F与的比应该为2比3
【答案】B
【详解】向上运动过程有
撤去时物块速度为
向下运动过程有
解得
即有
由于
，
解得
可知
故选B。
【变式演练4】一质点从A点做初速度为零、加速度的匀加速直线运动，经过一段时间后到达B点，此时加速度突然反向，大小变为，又经过同样的时间到达C点。已知、的距离为、的距离的一半，则与的大小之比可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】由题意可得如图所示，设，则，选A到B方向为正方向，则
从A到B则有
若C点在A点右侧，从B到C，则有
解得
若C点在A点左侧，从B到C，则有
解得
AD错误，BC正确。
故选BC。
题型三 追及相遇问题
【解题指导】1．(1)“慢追快”型：v后＝v前时，Δx最大．追匀减速运动的机车时，注意要判断追上时前车是否已停下．(2)“快追慢”型：v后＝v前时，Δx最小，若此时追上是“恰好不相撞”；若此时还没追上就追不上了；若此之前追上则是撞上.
在已知出发点的前提下，可由v－t图像“面积”判断相距最远、最近及相遇等情况.
3.基本解题思路是：利用速度相等找位移关系．
【必备知识与关键能力】
1.分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。
2.临界法
寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。
3.函数法
设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。
4.图像法
(1)若用位移—时间图像求解，分别作出两个物体的位移—时间图像，如果两个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。
(2)若用速度—时间图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。
5.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
类型1 变速物体追匀速物体
【例1】小强同学在上学途中正沿平直人行道以的速度向公交站台走去时，发现质量的公交车以的速度从身旁平直公路同向匀速驶过，此时他们距站台的距离。为了乘上该公交车去学校，小强开始尽全力加速向前跑去，其最大加速度为，能达到的最大速度。假设公交车刹车时受合力大小恒为，且刹车后刚好到站台停下，不计车长。求：
（1）公交车刹车过程合力所做的功；
（2）公交车在站台至少停多久小强才能赶上公交车。
【答案】（1）-1.6×106J；（2）7.05s
【详解】（1）合力做功
Wf=0-mv22=-1.6×106J
（2）由
Wf=-fs
解得刹车距离
s0=25m
公交车行驶时间
小强加速时间由
vm=v1+a1t1
解得
t1=2s
小强加速位移
s1=（v1+vm）t1=6m
小强匀速过程
s-s1=vmt2
解得
t2=8.8s
公交车停留时间
Δt=t1+t2-t=7.05s
【变式演练】在某次军事演习中，歼击机以的恒定速度追击前面同一直线上匀速飞行的无人靶机。当两者相距时；歼击机发射一枚导弹，导弹脱离歼击机后沿水平方向做加速度为的匀加速直线运动，时击中无人靶机并将其击落。已知发射导弹的时间不计，发射导弹对歼击机速度无影响。求：
（1）无人靶机被击中前飞行的速度大小；
（2）导弹飞行过程中与无人靶机的最大距离；
（3）若导弹击中无人靶机后，歼击机须尽快到达无人靶机被击落的空中位置且要求歼击机到达时速度为零继而悬停在空中。已知歼击机以最大加速度加速后达到最大速度，且歼击机加速和减速过程最大加速度大小相等，忽略歼击机从发现导弹击中无人靶机到开始加速的反应时间，求从导弹击中无人靶机至歼击机到达无人靶机所在位置的最短时间。（结果保留3位有效数字）
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据题意，设靶机速度为，则有
解得
（2）设导弹被发射后经时间与无人靶机速度相等，此时二者间距最大，则有
解得
最大距离为
解得
（3）导弹击中靶机时，歼击机与无人靶机的距离为
经分析可知，导弹击中靶机后，歼击机须先做匀加速直线运动，达到最大速度后再以最大速度做匀速直线运动，最后做匀减速直线运动，且到达歼击机所在位置时的速度为零。设歼击机的最大加速度为
歼击机做匀加速直线运动的位移大小为
歼击机做匀减速直线运动的时间和位移大小分别为
歼击机做匀速直线运动的时间为
所以从歼击机击中靶机至歼击机到达靶机所在位置的最短时间为
类型2 变速物体追变速物体
【例】时，静止在笔直公路上相距101m的甲、乙两辆汽车同时开始相向行驶。甲车加速度大小为，乙车加速度大小为。行驶3s后，乙车减速，速度减为零时掉头行驶，减速及掉头时的加速度大小相同为，忽略乙车掉头所用时间。甲车允许行驶的最大速度为20m/s，乙车允许行驶的最大速度为15m/s，两车达到最大速度后开始以最大速度匀速行驶。求：
（1）乙车减速至速度为零时，两车间的距离；
（2）甲车追上乙车时，甲车的位移；
（3）若甲车以最大速度行驶10s时，两车都开始减速，甲减速的加速度为，乙减速的加速度为，判断两车是否会再相遇，若不可以请给出分析过程；若可以，求从开始运动到再次相遇时甲运动的时间。
【答案】（1）55.5m；（2）200m；（3）可以；35s
【详解】（1）设甲运动方向为正方向，乙车以初速度为零，加速度为行驶3s，速度
位移
解得
减速到速度为0所用时间为，有
位移
解得
甲在时间内运动的位移为
解得
两车间的距离为
解得
（2）乙车速度从0加速到15m/s所用时间为，有
位移
解得
乙从开始运动到最大速度的位移
解得
甲在时间内位移为
解得
初始时甲、乙间距离为，则有
甲车还未追上乙车。设其后再经过时间追上乙车，需满足
解得
，
（3）由（2）可知，甲车恰加速到最大速度时追上乙车；乙车从第一次相遇到减速到停止，位移为
解得
甲车从第一次相遇到减速到停止，位移为
解得
可得
由此可知可以二次相遇。甲车减速到停止所需时间
解得
其后甲不再运动，故从开始运动到再次相遇时甲运动的时间为
解得
【变式演练】如图，一小汽车停在小山坡底部，突然司机发现山坡上距坡底x1=60m处，因地震产生的小泥石流以v0=4m/s的初速度、a1=0.4m/s2的加速度匀加速倾斜而下，泥石流到达坡底后以a2=0.3m/s2的加速度沿水平地面做匀减速直线运动，司机从发现险情到发动汽车共用了t0=2s，设汽车启动后一直以a3=0.5m/s2的加速度，沿与泥石流的同一直线做匀加速直线运动。求：
（1）泥石流到达坡底速度的大小；
（2）泥石流与汽车相距的最近距离。
【答案】（1）8m/s；（2）6m
【详解】（1）设泥石流到达坡底的时间为t1，速度为v1
根据位移公式有
由速度公式有
代入数据得
v1=8m/s
（2）泥石流到达坡底时，汽车速度
汽车位移
当汽车的速度与泥石流速度相等时，泥石流与汽车相距最近
设泥石流到达坡底后汽车又加速时间为t2，故有
泥石流水平位移
汽车位移
相距最近的距离
由以上各式解得
x=6m
【变式演练2】小明和小强玩遥控赛车，他们让两个小车在同一直线上沿同一方向匀速运动，小明的车在前，速度为2m/s，小强的车在后，速度为5m/s。当两小车相距3m时小明和小强同时开始刹车，两玩具车刹车过程均可视为匀变速运动，已知小明的玩具车刹车时加速度大小为1。
（1）如果小强的玩具车刹车的加速度大小为2.5m/s2，求两车的最小距离；
（2）如果两玩具车相距5m时开始刹车，小强的玩具车刹车的加速度大小为2，求整个过程两车的距离s与时间t的关系。
【答案】（1）两小车的最小距离为0；（2）见解析
【详解】（1）设小明的玩具车初速度为，加速度大小为，小强的玩具车初速度为，加速度大小为，运动学公式有
解得
故两车同时停下来，此时两车位移分别为
两车相距
由于开始刹车时两车相距3m，故两小车的最小距离为0。
（2）如果小强的玩具车刹车的加速度大小为2，小强的车停下来的时间为
则在小明的车停下来之前，即0~2s时间内，两车相距
在小明的车停下来之后，即2~2.5s时间内，两车相距
【变式演练3】一列火车和一辆汽车沿同一方向做匀变速直线运动，速度分别为v1和v2。t=0时刻，火车在汽车前方26m处，此后v1、v2在各个时刻的大小如表所示。根据表格中的数据，通过计算求：
（1）经过多长时间两车相遇？
（2）两车初始间距满足什么条件可以相遇两次？
【答案】（1）10s；（2）两车初始间距不大于
【详解】（1）由表格知，火车做匀减速直线运动，加速度为
汽车做匀加速直线运动，加速度为
火车做匀减速直线运动，停下来所用的时间为
火车的位移
该段时间汽车的位移
此时有
故汽车还未追上火车；设经t2时间追上，有
解得
（2）首先，若要相遇两次，一定要汽车在前；其次，考虑临界情况，如果两车达到共速时，正好相遇，由速度相等有
得
t=4s
共同速度为
v=8m/s
该段时间火车位移
汽车位移
此时有
故可知若两车初始间距不大于，则两车可以相遇两次。
类型3 体育赛事中的追及问题
【例4】国庆前，不少学校都举行了秋季运动会。新规则下，4×100米接力跑的接力区由原来的20米改为30米，即原来接力区始端外的10米预跑区也变成了接力区。比赛过程中，接棒者可以在接力区内前10米内起跑，但必须在接力区内里完成交接棒，“接力区内”的判定是根据接力棒的位置，而不是根据参赛者的身体或四肢的位置。甲、乙两同学在直跑道上进行交接棒接力训练，他们在奔跑时有相同的最大速度10m/s，乙从静止开始全力奔跑需跑出30m才能达到最大速度，这一过程可看做是匀加速直线运动。现在甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区始端伺机全力奔出。若要求乙接棒时奔跑的速度达到最大速度的90%，以后便以此速度匀速跑出接力区，则：
（1）甲、乙交接棒的位置距离接力区末端的距离是多少；
（2）甲在距离接力区始端多远处向乙发出加速口令；
（3）若乙在接力区始端傻傻地站着接棒，接到棒后才从静止开始全力奔跑，这样会浪费多少时间。
【答案】（1）5.7m；（2）29.7m；（3）2.97s
【详解】（1）设乙的加速度大小为a乙，从静止加速30m达到最大速度10m/s，则
乙从始端全力奔出，速度达到9m/s，则奔出的距离
由图可知，甲乙交接棒的位置距离接力区末端的距离
（2）乙的加速时间
设甲发出口令的位置距离始端为x,则
s甲=s乙+x
所以
得
x=29.7m
（3）浪费的时间即是甲跑29.7m的时间，所以
【变式训练1】如图，短道速滑接力比赛时，“交棒”的运动员在到达接力地点时，需要推送一下前面“接棒”的队友以完成接力。在某次直道交接训练中，质量为50kg的队员甲以的速度匀速向质量为60kg的队员乙滑来，当甲运动到P点时，乙从Q点开始滑动，乙起滑后到交接前的运动可看做匀加速直线运动，其加速度大小为，甲、乙两人在M点完成交接，交接时间很短。交接前瞬间乙的速度大小是甲的，交接后乙的速度大小为14.6m/s。队员甲完成推送后在水平直道上自然向前滑行了，直至撞上缓冲垫后停下，此过程甲与冰面间的动摩擦因数为，重力加速度的大小g取10m/s2。求：
（1）在直道上，乙在距甲多远的距离处开始滑动；
（2）队员甲撞上缓冲垫时的速度大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设乙开始滑动时与甲之间的距离为x，乙从Q点滑到M点运动的路程为s。对甲有
对乙有
联立以上各式，代入相关已知数据得
（2）甲、乙两人在交接过程中动量守恒，则
代入相关数据解得
甲推送完乙直至刚要接触缓冲垫的过程中，根据动能定理有
代入相关已知数据，求得甲撞上缓冲垫时的速度大小
【变式演练2】4×100米接力中的交接棒过程会直接影响比赛成绩。甲、乙两名运动员在直跑道上进行交接棒训练，某次训练中，甲在距离接力区前端x0=24m处向乙发出起跑口令，并以10m/s的速度跑完全程，乙在接力区前端听到起跑口令后立即起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒。已知乙在起跑加速阶段的第4s内通过的距离为7m，乙从起跑到接棒前做的是匀加速直线运动，接力区的长度为L=20m，求：
（1）乙加速阶段的加速度大小及交接棒时乙的速度大小；
（2）为使甲、乙在速度相等时完成交接棒且保证交接棒时的位置距接力区前端16m，求甲在距离乙多远时发出起跑口令及乙起跑时与接力区前端的距离。
【答案】（1）2m/s2，8m/s；（2）25m，9m
【详解】（1）根据题意，设乙运动员在匀加速阶段的加速度为a，在前3s和前4s内通过的位移分别为x3和x4，根据运动学规律得
则第4s内的位移为
联立可得
设经过时间甲追上乙，则
解得
此刻乙的速度
可得
（2）甲、乙在速度相等时完成交接棒，乙加速度时间为
甲发出起跑口令时距离乙
乙起跑时与接力区前端的距离
【变式演练3】重庆市某学校成功举行了秋季田径运动会，高-16班同学小王和小杨在赛前进行了接力赛交接棒的练习。小王、小杨两位同学分别为第四棒和第三棒，小王一小段加速后能保持的速度跑完全程，小杨也能以的速度接力跑，但由于体力原因，离接力区8.5m时，开始以的加速度做匀减速运动，进入接力区后做匀速运动。两人为了确定小王起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，小杨在距离接力区前端d处作了标记，当小杨跑到此标记时向小王发出起跑口令，此后小杨在接力区恰能在两人速度相同时追上小王完成交接棒。已知小王在接力区的前端听到口令且有0.1s的反应时间（忽略声音传播的时间），接力区的长度为，小王起跑后以的加速度做匀加速运动（练习时两人均做直线运动）。求：
(1)小杨追上小王时，小杨的速度大小及此时小王离接力区末端的距离；
(2)标记处离接力区的距离d。
【答案】(1)，；(2)
【详解】(1)由
得，小杨进入接力区的速度
小王离接力区末端的距离为
(2)在接力区内，设小杨经过时间追上小王，根据题意有速度关系
位移关系
解得
，
由题意可知，在小杨进入接力区前，小王的运动时间
乙发出口令的时间到追上经历
乙在接力区前做减速运动的时间是
因此
类型4 图像法在追及相遇问题中的应用
1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．
3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析．
【例1】（2024·河北·二模）甲、乙两车（均可视为质点）在平直公路上沿两平行车道同向行驶，两车运动的v-t图像如图所示。已知t=0时甲车在乙车前面30m处，在t=6s时两车恰好相遇。下列说法正确的是（ ）
A．图中t1时刻两车相距最近
B．图中t1等于
C．图中的v2与v1之差等于16m/s
D．乙车比甲车的加速度大3m/s2
【答案】BD
【详解】A．t1时刻前，甲速度大于乙速度，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，A错误；
C．v-t图像的面积等于位移，两车相遇时的位移关系为
得
C错误；
D．根据
得
得
D正确；
B．两车速度相等时
得
B正确。
故选BD。
【例2】．甲、乙两个质点从同一位置沿同一方向做直线运动，运动的位移随时间变化的图像如图所示，质点甲做初速度为零的匀加速直线运动，质点乙做匀速直线运动，两图像相切于P点，下列说法正确的是（ ）
A．质点甲运动的加速度大小为
B．的值为4.5s
C．甲、乙两质点相遇前的最大距离为6m
D．从两质点相遇开始，两质点间的距离与相遇后运动的时间平方成正比
【答案】D
【详解】
B.设时，质点甲的速度为v，则
解得
又
解得
故B错误；
A.设质点甲运动的加速度大小为a，则
解得
故A错误；
C.由于相遇前甲的速度均小于乙的速度，因此相遇前时刻，甲、乙相距最大距离为
故C错误；
D.从两质点相遇开始，两质点间的距离
故D正确。
故选D。
【例3】．、两质点沿直线轴正方向运动，时，两质点同时到达坐标原点，测得两质点在之后的运动中，其位置坐标与时间的比值（平均速度）随时间变化的关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．质点由静止开始做匀加速运动，质点做匀加速直线运动
B．质点做匀加速运动的加速度为
C．时，，第1次相遇
D．质点，有可能第2次相遇
【答案】BC
【详解】AB．对质点a，根据数学知识得
变形得
可得
v0=0.5m/s
a=1.0m/s2
所以质点a做初速度为0.5m/s，加速度为1.0m/s2的匀加速运动；
由图知，对于b有
则b做速度为1.0m/s的匀速直线运动，故A错误，B正确；
CD．由图知，t=1s时，两者相等，时间相同，则位移x相等，初位置相同，所以t=ls时，a、b再次到达同一位置，在t=1s时，a的速度
此时b的速度为1.0m/s，以后a的速度始终大于b的速度，可知ab不可能再次相遇，故C正确，D错误；
故选BC。
（23-24高一下·广东河源·期中）如图所示为无人驾驶汽车A、B在同一场地同时测试时获得的速度v随时间t变化的部分图像，其中汽车A的图线为直线。关于汽车A、B在该路段的测试，下列说法正确的是（ ）
A．汽车A做直线运动，汽车B做曲线运动
B．时间内，汽车A的速度一直小于汽车B的速度
C．若汽车A、B在时刻相遇，则在时刻一定不相遇
D．时间内，汽车A的加速度一直小于汽车B的加速度
【答案】C
【详解】A．图像只能表示直线运动，汽车A、B都做直线运动，故A错误；
B．时间内，汽车A的纵轴坐标大于汽车B的纵轴坐标，即汽车A的速度大于汽车B的速度，故B错误；
C．图像与t轴围成的面积表示位移，时间内，汽车A、B行驶的位移不相等，若汽车A、B在t1时刻相遇，则在t2时刻一定不相遇，故C正确；
D．图像的斜率表示加速度，由图像可知，汽车A的加速度刚开始比汽车B的加速度大，接着相等，后来比汽车B的加速度小，故D错误。
故选C。
类型5 运动学中的安全行驶与STSE问题
【例1】（2024·四川泸州·三模）2023年4月17日，AITO问界M5华为高阶智能驾驶版首发，可以实现无人驾驶。如图所示，车道宽为2.7m，长为12m的货车以v1=10m/s的速度匀速直线行驶，距离斑马线20m时，一自行车以v3=2m/s的速度匀速直线行驶，恰好垂直越过货车右侧分界线，此时无人驾驶轿车车头恰好和货车车尾齐平，轿车以v2=15m/s速度匀速直线行驶，轿车紧急制动的加速度大小a=10m/s2。当货车在侧面遮挡轿车雷达波时，自行车需完全越过货车左侧分界线，轿车雷达才能准确探测到前方自行车。则下列判断正确的是（ ）
A．货车不减速也不会与自行车相撞B．轿车不减速也不会与自行车相撞
C．轿车探测到自行车立即制动不会与自行车相撞D．轿车探测到自行车立即制动会与自行车相撞
【答案】AC
【详解】AB．人过路口的时间
在这段时间内，货车的位移
轿车的位移
A正确，B错误；
CD．自行车过路口时，轿车雷达可探测到障碍物的时间
此时轿车距路口的距离
轿车开始制动到停下来的时间
所需要的制动距离
二者不会相撞，C正确，D错误。
故选AC。
【变式演练1】如图，在车厢长度的小货车上，质量、厚度的冰块用绳绑住并紧贴车厢前端，与货车一起以的速度沿坡度为5%（即斜面倾角θ满足，，）的斜坡向上行动。 某时刻，冰块从绑住的绳间滑脱并沿车厢底部滑向尾部，与尾挡板发生碰撞后相对车厢等速反弹；碰撞后，司机经过的反应时间，开始以恒定加速度a刹车。 已知冰块与车厢底板间动摩擦因数，设冰块与尾挡板碰撞前后，冰块没有破碎，车厢的速度变化可以忽略；取重力加速度。
（1）求从冰块滑脱，到司机开始刹车的这段时间内，小货车行驶的距离；
（2）若刹车过程，冰块恰能滑至初始位置且与车厢前端不发生碰撞，求a的最大值。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）冰块滑向尾部的过程中做匀减速运动，对其加速度大小有
解得
冰块滑到尾挡板经过的时间为，该段时间内冰块位移为
，
货车的位移为
根据位移关系有
联立解得
所以从冰块滑脱，到司机开始刹车的这段时间内，小货车行驶的距离为
（2）冰块滑到尾挡板时的速度为
此时冰块速度与货车速度方向相同，相对车厢速度为，方向沿车厢向下；根据题意冰块与尾挡板发生碰撞后相对车厢等速反弹，故反弹后冰块的速度沿车厢向上，故可知此时速度为，此时冰块沿车厢向上做匀减速运动的加速度大小为，有
解得
若刹车过程，冰块恰能滑至初始位置且与车厢前端刚好不发生碰撞，此时加速度为最大值，设货车刹车的时间为，冰块从反弹到刚好到达车厢前端时间内货车的位移为
冰块从反弹到刚好到达车厢前端时的位移为
到达车厢前端时冰块和货车速度相同，有
位移关系有
联立解得
【变式演练2】某天大雾弥漫，能见度很低，甲、乙两辆汽车同向行驶在同一平直公路上，甲车在前，乙车在后，甲车的速度，乙车的速度，当乙车行驶到距甲车时，驾驶员发现了前方的甲车，设两车驾驶员的反应时间均为。
（1）若乙车的驾驶员发现甲车后经反应时间后立即刹车做匀减速运动，加速度大小，当两车相距最近时，求乙车在该过程发生的位移大小。
（2）若乙车的驾驶员发现甲车后经反应时间后，仅采取鸣笛警告措施，甲车驾驶员听到鸣笛后经反应时间后立即做匀加速运动，为了防止相撞，求甲车加速运动的最小加速度的大小（声音的传播时间忽略不计）。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设乙车做匀减速运动时间后两车速度相等，由速度时间公式可得
乙车在该过程发生的位移大小是
（2）设甲车加速时间后两车速度相等，当甲车开始加速时两车的距离为
甲车的加速度为
两车位移关系有
联立解得
甲车加速运动的最小加速度的大小为
【变式演练3】某市开展礼让行人活动，要求在没有信号灯的路口，一旦行人走上人行道，机动车车头便不能越过停止线。如图所示一辆家用轿车长度，正以的速度行驶，车头距停止线的距离为，人行道宽度为。距离人行道为的行人以的速度匀速走向长度为的人行道，停止线到人行道的距离可忽略。
（1）若行人与轿车均未发现对方，均做匀速运动，求两者能否相遇；
（2）若轿车立即以恒定的加速度加速，求是否违反要求；
（3）若轿车以恒定的加速度减速，要保证不违反要求，求加速度的大小需要满足的条件。
【答案】（1）两者不会相遇；（2）没有违反要求；（3）
【详解】（1）从题述时刻到轿车车尾离开人行道所需的时间
行人在这段时间内的位移为
则有
可知，两者不会相遇。
（2）从题述时刻到行人走上人行道所用时间
在内轿车的位移
代入数据得
故没有违反要求。
（3）从题述时刻到行人穿过人行道所用时间
要保证不违反要求，轿车必须在内到达停止线，所以轿车在内速度减小为零时对应的加速度最小
故轿车的加速度大小应满足
x－t图象
v－t图象
图象
举例
意义
倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动
特别处
两条图线的交点表示相遇
图线与时间轴所围面积表示位移
运动
情况
甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动
丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
位移
0～t1时间内甲、乙位移相等
0～t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均
速度
0～t1时间内甲、乙平均速度相等
0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度
t
O
v
t0
匀加速
变加速
v1
v2
t
O
v
t0
变加速
匀加速
v2
v1
t
O
v
t0
匀减速
变减速
v1
v2
t
O
v
t0
变减速
匀减速
v2
v1
<(v1+v2)/2
>(v1+v2)/2
>(v1+v2)/2
<(v1+v2)/2
加速度增大
加速度减小
加速度增大
加速度减小
曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变加速直线运动
t/s
0
1
2
3
4
5
v1/m•s-¹
16.0
14.0
12.0
10.0
…
…
v2/m•s-¹
4.0
5.0
6.0
7.0
…
…