专题20 电场力的性质-2025高考物理模型与方法热点题型归类训练

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1949" 题型一 库仑定律与带电体平衡 PAGEREF _Tc1949 \h 1
\l "_Tc13835" 类型1 库仑力的叠加 PAGEREF _Tc13835 \h 1
\l "_Tc11636" 类型2 库仑力作用下的平衡 PAGEREF _Tc11636 \h 6
\l "_Tc3211" 题型二 电场强度的理解和计算 PAGEREF _Tc3211 \h 12
\l "_Tc30463" 题型三 等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较 PAGEREF _Tc30463 \h 15
\l "_Tc22888" 题型四 电场强度的叠加 PAGEREF _Tc22888 \h 21
\l "_Tc25107" 类型1 点电荷电场强度的叠加 PAGEREF _Tc25107 \h 22
\l "_Tc14545" 类型2 非点电荷电场强度的叠加及计算 PAGEREF _Tc14545 \h 27
\l "_Tc8456" 题型五 静电场中的动力学分析 PAGEREF _Tc8456 \h 37
题型一 库仑定律与带电体平衡
1．库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用。
2．对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
3．对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图2所示。
(1)同种电荷：F＜keq \f(q1q2,r2)；
(2)异种电荷：F＞keq \f(q1q2,r2)。
4．不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看作点电荷了。
类型1 库仑力的叠加
【例1】．如图所示，在绝缘水平面上固定三个带电小球、和，相互之间的距离，，垂直于。已知小球所受的库仑力的合力方向平行于边，设小球和的带电量的比值为，则（ ）
A．和带同种电荷，B．和带异种电荷，
C．和带同种电荷，D．和带异种电荷，
【答案】D
【详解】假设a、c带同种电荷，则b受到的库仑力的合力不可能与ac平行，故a、c带异种电荷。
由几何关系，得
解得
故选D。
【例2】．如图所示，真空中，a、b、c三处分别固定电荷量为+q、-q、+q的三个点电荷。已知静电力常量为k，ab=bc=l，。则b处点电荷受到a、c两处点电荷的库仑力的合力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设a、c两处点电荷对b处点电荷的库仑力大小均为F，由库仑定律
再根据力的合成，b处点电荷受到a、c两处点电荷的库仑力的合力大小为
故A正确。
故选A。
【例3】．如图所示，在光滑绝缘水平桌面上，三个带电小球a、b和c分别固定于正三角形顶点上。已知a、b带电量均为，c带电量为，则（ ）
A．ab连线中点场强为零B．三角形中心处场强为零
C．b所受库仑力方向垂直于ab连线D．a、b、c所受库仑力大小之比为
【答案】D
【详解】A．在ab连线的中点处，a、b两电荷在该点的合场强为零，则该点的场强等于c电荷在该点形成的场强，大小不为零，故A错误；
B．在三角形的中心处，a、b两电荷在该点的场强大小相等，方向之间的夹角为120°角，则合场强竖直向上；c电荷在该点的场强也是竖直向上，则三角形中心处场强不为零，故B错误；
C．b受到a的库仑斥力沿ab方向，b受到c的库仑引力沿bc方向，且库仑斥力与库仑引力大小相等，则b所受库仑力方向斜向右下方与ab连线成60°角，故C错误；
D．设正三角形边长为l，根据对称性可知，a、b受到库仑力大小相等，均为
c受到库仑力大小为
则 a、b、c所受库仑力大小之比为，故D正确。
故选D。
【例4】．夸克模型是一种粒子物理学上的分类方案，它基于强子内价夸克的种类来分类强子。夸克模型在1964年由默里·盖尔曼和乔治·茨威格独立提出，并已成为标准模型的一部分。标准模型是已确立的强相互作用和弱电相互作用的量子场论。夸克模型成功地将1950至60年代所发现的的大量较轻的强子妥当编组，并在1960年代后期得到了实验确认。夸克带有分数电荷，例如或，根据夸克模型，中子内有一个电荷量为的上夸克和两个电荷量为的下夸克，一简单模型是三个夸克都在半径为r的同一圆周上，如图所示。下面给出的四幅图中，能正确表示出各夸克所受静电作用力的是（ ）
D．
【答案】B
【详解】三个夸克都在半径为r的同一圆周，形成了等边三角形，电荷量为的下夸克受到另一个电荷量为的下夸克的库仑斥力F′和电荷量为的上夸克库仑引力F的合力为F2。如图所示
则有
其中上下两个夸克间的作用力沿水平方向的分力
与水平方向的库仑力是一对平衡力，故下夸克受到的合力竖直向上，据对称性另一个下夸克受静电作用力的方向为F3，合力方向也是竖直向上，故ACD错误，B正确。
故选B。
【例5】．如图所示，A球、C球均带正电，B球带负电，A球固定在绝缘的水平地面上，B球由绝缘的细线拉着，C球处在与B球等高的位置，A、B、C三球均静止且三者所在位置构成一个等边三角形。若细线与竖直方向的夹角为，A、B、C三球所带电荷量大小分别为、、，质量，则为（ ）
A．4:2:1B．2:1:4C．D．
【答案】B
【详解】B、C球受力如下
如图所示，对C球，由力的平衡条件可得
对B球，由力的平衡条件有
三个球的质量关系
库仑定律表达式
联立各式可得
故选B。
类型2 库仑力作用下的平衡
(1)解题思路
涉及库仑力的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了库仑力，具体步骤如下：
(2)“三个自由点电荷”的平衡问题
①平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置。
②
【例1】如图所示，竖直绝缘墙上固定一带电小球A，将质量为m、带电荷量为q的小球B用轻质绝缘丝线悬挂在A的正上方C处，丝线BC长度为，AC两点间的距离为2L。当小球B静止时，丝线与竖直方向的夹角，带电小球A、B可视为质点，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．丝线对小球B的拉力为
B．小球A的带电荷量为
C．如果小球A漏电导致电量减少少许，则AB之间距离减小，库仑力变大
D．如果小球A漏电导致电量减少少许，丝线拉力大小不变
【答案】D
【详解】A．由题意可知
所以AB与BC垂直，两小球之间的距离为
对小球B进行受力分析如图
由平衡条件得，丝线对小球B的拉力为
故A错误；
B．由
可知
故B错误；
CD．由相似三角形可知
若A缓慢漏电，两球间的库仑力减小，丝线的拉力大小不变，故C错误，D正确。
故选D。
【例2】．如图所示，充电后的平行板电容器竖直放置在水平绝缘地板上，将一根光滑绝缘细绳系在电容器、极板上的A、两点（点高于A点），再将一带正电的小球（可视为质点）悬挂在细绳上并处于静止状态。电容器不漏电，两板间的电场可视为匀强电场，小球始终未与极板接触。经下列操作，待小球再次稳定后，细绳张力一定变小的是（ ）
A．A点下移一小段距离B．略微增大极板所带的电荷量
C．板向左平移一小段距离D．正负极板电荷量不变，电性互换
【答案】D
【详解】A．重力与电场力的合力F为定值，方向斜向右下，则球两边绳子拉力的合力与F等大反向，即两边绳子拉力的合力为定值，若A点下移一小段距离，球两边绳子之间的夹角增大，即沿两边绳子方向的两个拉力的夹角增大，而合力一定，则细绳张力一定变大，故A错误；
B．略微增大极板所带的电荷量，电场力增大，重力与电场力的合力增大，则细绳张力一定变大，故B错误；
C．板向左平移一小段距离，沿两边绳子方向的两个拉力的夹角增大，而合力一定，则细绳张力一定变大，故C错误；
D．正负极板电荷量不变，电性互换，则重力与电场力的合力大小不变，方向斜向左下，则沿两边绳子方向的两个拉力的合力方向指向右上，沿两边绳子方向的两个拉力的夹角减小，则细绳张力一定变小，故D正确。
故选D。
【例3】．如图所示，质量为m的带电小球N用绝缘丝线悬挂于P点，另一带正电小球M固定在带电小球N的左侧；小球N平衡时，绝缘丝线与竖直方向的夹角，且两球球心在同一水平线上，M、N均可视为点电荷，重力加速度为g。下列判断正确的是（ ）
A．小球N带正电，所受库仑力大小为
B．小球N带负电，所受库仑力大小为
C．小球N带正电，所受库仑力大小为
D．小球N带负电，所受库仑力大小为
【答案】A
【详解】小球 M带正电，两球相斥，故小球带正电；以小球为研究对象，对小球进行受力分析如图，
根据小球处于平衡状态可知
故选A。
【例4】．如图所示，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板上，下端分别系有带异种电荷的小球A、B（均可视为点电荷）。小球处在方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等，小球A、B的质量分别为m1、m2，带电荷量大小分别为q1、q2。下列说法正确的是（ ）
A．小球A一定带正电
B．若q1>q2，则有可能m1=m2
C．若q1>q2，则一定有m1>m2
D．若q1m2
【答案】C
【详解】A．对小球A受力分析可知，小球A除了重力和绳子的拉力外，应受到水平向左的力，因异种电荷，库仑力向右，因此受水平向左的电场力，一定带负电，故A错误；
BCD．设连接小球A、B的细绳上的弹力大小分别为F1、F2，小球A、B间的库仑力大小为F库，匀强电场的电场强度大小为E，细绳与竖直方向的夹角为α，则有
解得
，
故C正确，BD错误。
故选C。
【例5】．如图所示，一光滑绝缘圆形轨道固定在水平面上，在直径AB的两个端点上分别固定电荷量为、的正点电荷，有一个带正电小球恰好静止于轨道内侧P点（小球可视为点电荷）。已知A、P两点的连线与直径AB之间的夹角，则的比值为（ ）
A．B．C．6D．
【答案】B
【详解】对小球进行受力分析如图所示
根据库仑定律有
A点和B点两点相距L，有
根据平衡条件有
联立解得
故选B。
【例6】如图，水平向右的匀强电场中有a、b两个可视为质点的带电小球，小球所带电荷量的大小相同、电性未知。现将两小球用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，线与竖直方向的夹角分别为，且，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）

A．若a、b电性相反，则球a的质量一定大于球b的质量
B．若a、b电性相反，则球a的质量可能等于球b的质量
C．若同时剪断两根细绳，则a球可能先落地
D．若同时剪断两根细绳，则a、b两球一定同时落地
【答案】AD
【详解】AB．若a、b电性相反，只有a带负电，b带正电才能受力平衡，a、b水平方向都有
又由
，
得
故A正确，B错误；
CD．同时剪断两根细绳，两球竖直方向做自由落体运动，高度相同，故一定同时落地，故C错误，D正确。
故选AD。
题型二 电场强度的理解和计算
1．电场强度的性质
(1)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向。
(2)唯一性：电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。
(3)叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。
2．电场强度的三个公式比较
eq \a\vs4\al(三个,公式)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(E＝\f(F,q)（适用于任何电场）,E＝\f(kQ,r2)（适用于点电荷产生的电场）,E＝\f(U,d)（适用于匀强电场）))
【例1】从宇宙的角度来看，地球周围的物体受到地球引力的作用。一质量为m的物体位于地面上空距地心为r的A点。已知地球的质量为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。仿照电场强度的定义，A点引力场强度的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】质量为的物体在A点受到的万有引力大小为
仿照电场强度的定义，可知A点引力场强度的大小为
故选C。
【例2】．在真空中的A点摆放一点电荷Q，在距A点的圆周上有a、b、c三个点，电荷Q在这三个点产生的电场强度（ ）
A．a点最大B．b点最大C．c点最大D．a、b点相等
【答案】A
【详解】根据点电荷的场强公式
a、b、c三点中a点距离点电荷最近，则a点的场强最大，b点距离点电荷最远，b点电场强度最小。
故选A。
【例3】．如图，真空中有两个点电荷，为4.0×10−8C、为−1.0×10−8C，分别固定在x轴的坐标为0和6cm的位置上。在x轴上，下列说法正确的是（ ）
A．的区域可能有一个电场强度为0的点
B．0C．x>6cm的区域电场方向一定沿x轴负方向
D．与产生的电场强度大小相等的点有两个
【答案】D
【详解】A．因可知，在的区域不可能有电场强度为0的点，选项A错误；
B．0C．x>6cm的区域内两电荷形成的电场方向相反，因，可知该区域内存在一个场强为零的点，在该点左侧到Q2之间场强沿x轴负向，在该点右侧场强沿x轴正向，选项C错误；
D．因可知，与产生的电场强度大小相等的点距离Q1较远，距离Q2较近，则有两个点，一个在两电荷之间，另一个在Q2右侧，选项D正确。故选D。
【例3】．在静电场中有a、b两点，试探电荷在a、b两点所受的静电力大小F与电荷量q满足如图所示的关系。a，b两点的电场强度大小之比为（ ）
A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．1∶4
【答案】C
【详解】F-q图像斜率表示电场强度，由图可知
则
故选C。
【例4】．如图甲所示，真空中Ox坐标轴上的O点放有一个点电荷Q，坐标轴上A点坐标为0.1m，在A、B两点放两个电荷量不同均带正电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图乙中直线a、b所示。下列说法正确的是（ ）
A．B点的电场强度大小为
B．A、B点的电场强度的大小之比为
C．点电荷Q是负点电荷
D．B的位置坐标为
【答案】D
【详解】ABC．根据题意，由图乙可知，A、B点的电场强度的大小分别为
则A、B点的电场强度的大小之比为，由于在A、B两点放两个电荷量不同均带正电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，则点电荷为正电荷，故ABC错误；
D．设B的位置坐标为，由点电荷场强公式可得
，
代入数据解得
故D正确。
故选D。
题型三 等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较
【例1】在真空中，将等量异种点电荷、分别放置于两点，如图，点为连线的中点，点在连线上，点在的中垂线上，下列说法正确的是（ ）
A．点的电场强度比点大
B．两点的电势相同
C．将电子沿直线从点移到点，电子的电势能不变
D．将电子沿直线从点移到点，电场力对电子先做负功后做正功
【答案】C
【详解】A．由等量异种点电荷形成电场的特点可知，两点电荷连线上各点，电场方向从正点电荷指向负点电荷，中点场强最大，越靠近点电荷场强越强，两点电荷连线的中垂线上，由电场强度的叠加原理可知，中点场强最小，从中点向两侧场强逐渐减小，因此点的电场强度比点的小，A错误；
B．两点电荷连线上，从正电荷到负电荷电势逐渐降低，中点电势是零，关于中点的对称点的电势大小相等，靠近电势是正，靠近电势是负，因此两点的电势不相同，B错误；
C．两点电荷连线的中垂线是一条等势线，因此将电子沿直线从点移到点，电场力不做功，电子的电势能不变，C正确；
D．两点电荷连线上，从正电荷到负电荷电势逐渐降低，因此将电子沿直线从点移到点，电场力对电子一直做负功，D错误。
故选C。
【例2】．如图所示，将等量异种电荷分别固定在正方体ABCD-EFGH的顶点A、C上。O点是正方体的中心，AC、BD交于J点。则（ ）
A．J点电场强度为0
B．O点电场强度为0
C．G点与E点电场强度方向相同
D．G点与E点电场强度大小相等
【答案】D
【详解】在ACGE平面内，由等量异种电荷形成的电场分布如图
所以，J、O两点的电场与AC连线平行，不为零；根据电场分别的对称性，E、G两点电场大小相等，方向不同。
故选D。
【例3】．反天刀是生活在尼罗河的一种鱼类，沿着它身体长度的方向分布着电器官，这些器官能在鱼周围产生电场，如图为反天刀周围的电场线分布示意图，A、B、C为电场中的点，下列说法正确的是（ ）
A．尾部带正电
B．A点的电场强度方向水平向左
C．A点电场强度小于C点电场强度
D．A点电场强度大于B点电场强度
【答案】D
【详解】A．电场线从正电荷出发，终止于负电荷或无穷远，由此可知头部带正电，尾部带负电，故A错误；
B．由图中电场线可知，A点的电场强度方向水平向右，故B错误；
CD．根据电场线的疏密程度可知，A点电场强度大于C点电场强度，A点电场强度大于B点电场强度，故C错误，D正确。
故选D。
【例4】．如图所示，ABCD为正方形，两等量异种点电荷分别固定在AD和BC的中点，则（ ）
A．A、B两点电场强度相同B．A、C两点电场强度相同
C．A、B两点电势相等D．A、C两点电势相等
【答案】B
【详解】A．根据等量异种电荷周围电场的对称性可知，A、B两点电场强度大小相等，但方向不同，故A错误；
B．两点电荷在A、C两点产生的电场强度方向如下图所示
根据可知，正点电荷在A点产生的场强与负点电荷在C点产生的场强相同，正点电荷在C点产生的场强与负点电荷在A点产生的场强相同，则根据平四边形定则可知，A、C两点电场强度相同，故B正确；
CD．在等量异种电荷的电场中，电场线从正电荷发出终止于负电荷，由于沿电场线方向电势逐渐降低，所以A点电势高于B点和C点的电势，故CD错误。
故选B。
【例5】．如图所示，两等量同种点电荷+q（q>0）固定在菱形的两个顶点A、C上。E、F是该菱形对角线AC与其内切圆的交点，O点为内切圆的圆心，a、b、c、d四点为切点。现有一带正电的点电荷从E点由静止释放，下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c、d四点的电场强度相同
B．D、O、B三点的电势相等
C．点电荷在从E点运动到O点的过程中电场力做正功
D．点电荷从E点运动到F点的过程中速度一直增大
【答案】C
【详解】A．根据等量同种电荷周围的电场线分布图
a、b、c、d四点的电场强度大小相等，但是方向不同，A错误；
B．根据电场线的方向以及电场线的对称性可知D和B两点的电势相等，但是低于O点的电势，B错误；
C．带正电点电荷在从E点运动到O点的过程中受到的电场力向右，所以此过程中电场力做正功，C正确；
D．带正电点电荷从E点运动到F点的过程中受到的电场力先向右，后向左，所以电场力先做正功，后做负功，点电荷的速度先增大后减小，D错误。
故选C。
【例6】．空间中a、b、c、d四点位于正四面体的四个顶点，m、n两点分别ab是和cd的中点。在a、b两点分别固定等量正电荷，正四面体对电场分布没有影响。下列说法正确的是（ ）
A．m、n两点的电势相等
B．c、d两点的电场强度相同
C．带正电的试探电荷从c点沿cm移动到m点，试探电荷的电势能减小
D．带负电的试探电荷从c点沿cd移动到d点，试探电荷的电势能先减少后增加
【答案】D
【详解】A．根据题意可知，等量同种电荷的等势面分布图，如图所示
由沿电场线方向，电势逐渐降低可知，离两个点电荷的距离越远电势越低，由于点离两个点电荷的距离大于点离两个点电荷的距离，则有
故A错误；
BD．c、d两点离两个点电荷的距离相等，由对称性可知，c、d两点电势相等，电场强度的大小相等，但方向不同，由于点离两个点电荷的距离小于c、d两点离两个点电荷的距离，则有
由可知，带负电的试探电荷从c点沿cd移动到d点，试探电荷的电势能先减少后增加，故B错误，D正确；
C．由于c点离两个点电荷的距离大于点离两个点电荷的距离，则有
则带正电的试探电荷从c点沿cm移动到m点，试探电荷的电势能增加，故C错误。
故选D。
【例7】．如图所示的真空中，在正方体ABCD-A1B1C1D1空间中A、C1固定有等量的正电荷，下列说法正确的是（ ）
A．B点和D点的电势相等且比B1点和D1的电势都高
B．B1点和D1点的场强相同
C．若有一个电子以某一速度射入该空间中，可能做类平抛运动
D．若有一个电子以某一速度射入该空间中，可能做匀速圆周运动
【答案】D
【详解】A．由两个等量同号电荷产生电势的对称性知顶点B、D1处的电势相等，故A错误；
B．由电场叠加和对称性知顶点B1、D1处的电场强度大小相等，但方向不同，故B错误；
C．两个正电荷形成的电场不是匀强电场，电子不可能做类平抛运动，故C错误；
D．只在电场力作用下，电子要做匀速圆周运动，则必须受到大小恒定的电场力，电子在垂直于AC1并过O点的平面内绕O点可以做匀速圆周运动。故D正确。
故选D。
【例8】．如图所示，两个等量负点电荷固定于、Q两点，正方形为垂直、Q连线的平面，、分别是、的中点。点正好是和连线的中点，下列说法中正确的是（ ）
A．、两点场强相同
B．、两点电势相等
C．是一个等势面
D．将一正电荷由点沿ef移动到点，电势能先增加后减小
【答案】B
【详解】A．、两点场强大小相等，方向不同，故A错误；
B．、两点为PQ连线的中垂线对称点，根据等量同种电荷电场线的分布，可确定、两点电势相等，故B正确；
C．在组成的平面上，电场方向由O点指向平面上各点，根据顺着电场线方向电势降低，可知，组成的平面上电势不是处处相等，因此，组成的平面不是等势面，故C错误；
D．将一正电荷由点沿ef移动到点，电场力先做正功后做负功，则电势能先减小后增大，故D错误。
故选B。
题型四 电场强度的叠加
1．电场强度的叠加(如图所示)
2．“等效法”“对称法”和“填补法”
(1)等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示．
(2)对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
例如：如图所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向．
(3)填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
3．选用技巧
(1)点电荷电场、匀强电场场强叠加一般应用合成法．
(2)均匀带电体与点电荷场强叠加一般应用对称法．
(3)计算均匀带电体某点产生的场强一般应用补偿法或微元法．
类型1 点电荷电场强度的叠加
【例1】如图，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径与弦间的夹角为。A、B两点分别放有电荷量大小为的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于（ ）

A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】根据题意可知两电荷为异种电荷，假设为正电荷，为负电荷，两电荷在C点的场强如下图，设圆的半径为r，根据几何知识可得
，
同时有
，
联立解得
故选B。

【例2】．如图所示，水平直线上有三点，，空间存在着竖直方向上的匀强电场（图中未画出）。若将一个电荷量为的点电荷放在A点，则点的场强大小为；若将这个电荷量为的点电荷放在点，则点的场强大小变为，则匀强电场的场强大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】电荷量为的点电荷放在A点时，设它在点产生的场强大小为， 设
则根据库仑定律
由题意可知
的点电荷放在点时，由于
根据库仑定律，则它在点产生的场强大小为，则
由题意可知
联立可得
故选C。
【例3】．如图所示，在场强方向水平向右、大小为E的匀强电场中，在O点固定一电荷量为Q的正电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直，则（ ）
A．A点的电场强度大小为
B．B点的电场强度大小为E－
C．D点的电场强度大小不可能为0
D．A、C两点的电场强度相同
【答案】A
【详解】AD．由点电荷产生的电场强度公式可知，电荷量为Q的正电荷在A、C两点产生的电场强度大小相等，均为
其方向与匀强电场E的方向垂直，在A点向上，在C点向下，由电场强度的叠加原理可得，在A、C两点产生的合电场强度大小相等，则有
A、C两点合电场强度方向不同，A正确，D错误；
B．电荷量为Q的正电荷在B点产生的电场强度大小为
方向与匀强电场E的方向相同，由电场强度的叠加原理可得，B点的电场强度大小为
B错误；
C．电荷量为Q的正电荷在D点产生的电场强度大小为
方向与匀强电场E的方向相反，由电场强度的叠加原理可得，D点的电场强度大小是
可知若与大小相等时，D点的电场强度大小可能是零，C错误。
故选A。
【例4】．如图所示，等量异种点电荷分别固定在以O为圆心的半圆弧直径a、b两点，此时O点的电场强度为；若b点的负电荷固定不动，而将a点的正电荷沿圆弧逆时针转过后固定在c点时，此时O点的电场强度为，则与之比为（ ）
A．2∶1B．1∶2
C．D．
【答案】C
【详解】依题意得，每个点电荷在O点产生的场强大小为，当a点处的点电荷移至c点时，O点场强，由几何关系可知，合场强大小为
所以
故选C。
【例5】如图所示，真空中有A.、B、C、D四个点在同一直线上，AB=BC=CD=d，在A、C两点各放置一个点电荷，其中位于C点的点电荷带电量为q（q<0），已知D点的电场强度为零，静电力常量为k，则B点的电场强度为（ ）
A. ，方向由C指向B B. ，方向由B指向C
C. ，方向由C指向B D. ，方向由B指向C
【答案】D
【解析】
【详解】由于D点的电场强度为零
可知
则B点的电场强度
方向由B指向C，故D正确。
故选D。
类型2 非点电荷电场强度的叠加及计算
1．等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境。
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示。
【例1】如图所示，一无限大接地导体板MN前面放有一点电荷＋Q，它们在周围产生的电场可看作是在没有导体板MN存在的情况下，由点电荷＋Q与其像电荷－Q共同激发产生的。像电荷－Q的位置就是把导体板当作平面镜时，点电荷＋Q在此镜中的像位置。已知＋Q所在位置P点到金属板MN的距离为L，a为OP的中点，abcd是边长为L的正方形，其中ab边平行于MN。则( )
A．a点的电场强度大小为E＝4eq \f(kQ,L2)
B．a点的电场强度大小大于b点的电场强度大小
C．b点的电场强度和c点的电场强度相同
D．一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电势能的变化量为零
【答案】 B
【解析】 由题意可知，点电荷＋Q和金属板MN周围空间电场与等量异种点电荷产生的电场等效，所以a点的电场强度E＝keq \f(Q,（\f(L,2)）2)＋keq \f(Q,（\f(3L,2)）2)＝eq \f(40kQ,9L2)，A错误；等量异种点电荷周围的电场线分布如图所示，由图可知Ea＞Eb，B正确；图中b、c两点的场强方向不同，C错误；由于a点的电势高于d点的电势，所以一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电场力做正功，电荷的电势能减小，D错误。
【例2】一半径为R的半球面均匀带有正电荷Q，电荷Q在球心O处产生的场强大小，方向如图所示。把半球面分为表面积相等的上、下两部分，如图甲所示，上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E1、E2；把半球面分为表面积相等的左、右两部分，如图乙所示，左、右两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E3、E4，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】AB．根据点电荷电场强度公式，且电荷只分布在球的表面，可知每个电荷在球心O处产生的电场强度大小相同。对于图甲，表面积相同，所分布电荷总量相同，由电场强度的矢量叠加可知，上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小关系为
El＞E2
因电荷Q在球心O处产生的场强大小
则
故A正确，B错误；
CD．对于图乙，半球面分为表面积相等的左、右两部分，由于左右两个半个球壳在同一点产生的场强大小相等，则根据电场的叠加可知，左侧部分在O点产生的场强与右侧电荷在O点产生的场强大小相等，即
E3＝E4
由于方向不共线，由合成法则可知
故C错误，D正确。
故选AD.
【例3】(2022·陕西西安中学高三期中)一段均匀带电的半圆形细线在其圆心O处产生的场强为E，把细线分成等长的三段圆弧，则圆弧BC在圆心O处产生的场强大小和方向为( )
A.eq \f(E,2)，水平向右
B.eq \f(E,2)，水平向左
C.eq \f(E,3)，水平向右
D.eq \f(E,3)，水平向左
【答案】 A
【解析】 如图所示，B、C两点把半圆环等分为三段。设每段在O点产生的电场强度大小均为E′。AB段和CD段在O处产生的场强夹角为120°，它们的合场强大小为E′。则O点的合场强E＝2E′，则E′＝eq \f(E,2)，所以圆弧BC在圆心O处产生的场强为eq \f(E,2)，方向水平向右，故A正确，B、C、D错误。
【例4】半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距C点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，则q为（ ）
A．正电荷，B．正电荷，
C．负电荷，D．负电荷，
【答案】D
【详解】取走A、B处两段弧长均为的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O点产生的电场强度为与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和，如图所示
因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，则有
由图可知，两场强的夹角为，则两者的合场强为
根据O点的合场强为0，则放在D点的点电荷带负电，大小为
根据
联立解得
故选D。
【例5】如图，在点电荷的电场中，放着一块带有一定电量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心．点电荷与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d。已知图中a点的电场强度为零，则图中b点处的电场强度的大小和方向分别为（ ）
A．，水平向右B．，水平向右
C．，水平向左D．，水平向右
【答案】B
【详解】由于a点的电场强度为零，则带电矩形薄板在a点的电场强度E1与点电荷在a点的电场强度大小相等，方向相反，有
由对称性可知，带电矩形薄板在b点的电场强度大小也为E1，方向水平向右，与点电荷在b点的电场强度叠加，则b点处的电场强度方向水平向右，大小为
故选B。
2．对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。
例如：如图所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的电场强度，等效为弧BC产生的电场强度，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。
【例6】电荷量为+Q的点电荷与半径为R的均匀带电圆形薄板相距2R，点电荷与圆心O连线垂直薄板，A点位于点电荷与圆心O连线的中点，B与A关于O对称，若A点的电场强度为0，则（ ）
A．圆形薄板所带电荷量为+Q
B．圆形薄板所带电荷在A点的电场强度大小为，方向水平向左
C．B点的电场强度大小为，方向水平向右
D．B点的电场强度大小为，方向水平向右
【答案】BD
【详解】AB．A点的电场强度为零，而点电荷在A点产生的场强为
，方向水平向右
则可知圆形薄板所带电荷在A点的电场强度大小为，方向水平向左，知圆形薄板带正电；若圆形薄板所带电荷量集中在圆心O，则电荷量大小应为，而实际上圆形薄板的电荷量是均匀分布在薄板上的，除了圆心O处距离A点的距离与点电荷距离O点的距离相同外，其余各点距离O点的距离都大于，若将电荷量均匀的分布在薄板上，则根据点电荷在某点处产生的场强公式
可知，合场强一定小于，因此可知圆形薄板所带电荷量一定大于+Q，故A错误，B正确；
CD．B点关于O点与A点对称，则可知圆形薄板在B点产生的电场强度为
，方向水平向右
而点电荷在B点产生的场强为
，方向水平向右
则根据电场强度的叠加法则可得B点得电场强度为
，方向水平向右
故C错误，D正确
故选BD。
【例5】如图所示，abcd是由粗细均匀的绝缘线制成的正方形线框，其边长为L，O点是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现将线框左侧中点M处取下足够短的一小段，该小段带电量为q，然后将其沿OM连线向左移动的距离到N点处，线框其他部分的带电量与电荷分布保持不变，若此时在O点放一个带电量为Q的正点电荷，静电力常量为k，则该点电荷受到的电场力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】没有截取一小段时，根据对称性可知，点的合场强为零，则截取的部分和剩下的部分在点产生的场强等大反向，剩下的部分在点产生的场强大小为
方向水平向左，当截取部分移到点时，其在点产生的场强大小为
方向水平向右，则点的合场强大小为
方向水平向左，若此时在点放一个带电量为的正点电荷，该点电荷受到的电场力大小为
故选D。
【例8】已知均匀带电薄壳外部空间电场与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样，内部空间的电场处处为0．如图所示为一带电量为，半径为r的均匀带电球壳，以球心为坐标原点，建立轴，其中A点为壳内一点，B点坐标为，静电力常量为k，下列说法正确的是（ ）
A．将的试探电荷由壳内A点移到O点，试探电荷的电势能减小
B．在圆心O处放一个电量为的点电荷，球壳外表面带电量仍为
C．在处取走极小的一块面积，O点场强大小为
D．在圆心O正上方处取走极小一块面积，B点场强大小为
【答案】C
【详解】A．壳内场强处处为0，故移动试探电荷不做功，A错误；
B．在圆心O处放一个电量为的点电荷，由于静电感应，球壳内表面感应出的电荷，则球壳外表面的电荷量为，B错误；
C．在处取走极小一块面积，根据对称性，在处极小一块面积的电荷产生的电场
C正确；
D．整个球壳在B点的电场
水平向右，在圆心O正上方处取走极小一块面积在B点的场强为
方向斜向右下，与矢量作差即为B点电场强度，D错误。
故选C。
3．填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。
【例9】如图所示，竖直面内一绝缘细半圆环均匀分布着正电荷，、为圆环水平直径上的两个点且点为圆心，弧和弧都是四分之一圆弧。已知均匀带电圆环内各点的场强均为零，则下列说法正确的是（ ）
A．点电场强度的方向垂直于向下
B．点电场强度的方向斜向下
C．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为
D．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为
【答案】AD
【详解】如图所示，把半圆环补成一个圆环

AB．则点的合场强为零，假设弧在点的电场强度的方向不垂直于，且电场强度的大小为，根据对称性可知，弧在点的电场强度为，且和关于对称，则此种情况下点的合场强不为零，假设不成立，所以点电场强度的方向垂直于向下，故A正确，B错误；
CD．令是弧的中点，是弧的中点，根据电场强度的叠加可得，弧在点的电场强度方向沿方向，弧在点的电场强度方向沿方向，角，则根据电场强度的叠加可得，若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为，故C错误，D正确。
故选AD。
【例10】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，其电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM=ON=2R．已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】假设在O点有一个完整的带电荷量为2q的带电球壳，设完整球壳在N点产生的场强大小为E0，左半球壳在N点产生的电场强度大小为E左，右半球壳在N点产生的电场强度大小为E右，根据电场叠加原理
根据题意
根据对称性可知右半球壳在N点产生的电场强度大小和左球壳在M点产生场强大小相等即

解得
A正确，BCD错误。
故选A。
【例11】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产生的电场。如图所示，在绝缘球球面上均匀分布正电荷，总电荷量为q；在剩余球面AB上均匀分布负电荷，总电荷量是。球半径为R，球心为O，CD为球面的对称轴，在轴线上有M、N两点，且，。已知球面在M点的场强大小为E，静电力常量为k，则N点的场强大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】将AB部分补上，使球壳变成一个均匀带正电的完整的球壳，完整球壳带电荷量为
为保证电荷量不变，球面AB带负电荷量为q，则该球壳带正电的部分在M点产生的场强为
根据对称性可知，带正电的部分完整球壳在N点产生的场强大小为
球面AB带负电荷量为q，在N点产生的场强大小为2E，两者方向相反，则N点的场强大小为
故选B。
题型五 静电场中的动力学分析
【例1】三个相同的金属小球A、B、C均带电，其中A和B所带的电荷量分别为q、，二者分别与两根等长的绝缘细线一端相连，两细线的另一端固定在同一点O，平衡时连接小球的细线与竖直方向的夹角均为，如图所示，现用小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C（过程中A、B之间未接触），A和B再次平衡后，两细线之间的夹角变为，求初始时小球C所带的电荷量。
【答案】或
【详解】设细绳的长度为，由几何关系可知，初始时A、B间的距离为，则
对A球由平衡条件可得
当C小球分别与A、B接触后，由题意结合几何关系可知，A、B间的距离变为，根据平衡条件可得
可得
此时小球A、B所带的电荷量分别为
联立解得
，
【例2】．如图所示，在绝缘水平面上的O点固定一电荷量为+Q点电荷，在O点正上方高为H的A处由静止释放某带电荷量为+q的小液珠，开始运动的瞬间小液珠的加速度大小恰好等于重力加速度，方向竖直向上。已知静电力常量为k，两电荷均可看成点电荷，不计空气阻力。求：
（1）液珠开始运动瞬间所受库仑力的大小和方向；
（2）运动过程中小液珠速度最大时其离O点的距离h。（以上两问结果只能用题中已知的物理量k，Q，q，H表示）
【答案】（1），方向竖直向上；（2）
【详解】（1）根据库仑定律有
因为同种电荷相互排斥，所以库仑力方向竖直向上。
（2）开始运动瞬间根据牛顿第二定律得
速度最大时加速度为零，则
即
解得
【例3】．如图所示，电荷量Q＝2×10－7C的正点电荷A固定在空间中O点，将质量m＝2×10－4kg、电荷量q＝1×10－7C的另一正点电荷B从O点正上方高0.5m的某处由静止释放，B运动过程中速度最大位置在P。若静电力常量k＝9×109N·m2/C2，重力加速度取g＝10m/s2。求：
（1）B运动到距O点l＝0.5m处的加速度大小；
（2）P、O间的距离L。
【答案】（1）6.4m/s2；（2）0.3m
【详解】（1）分析电荷B的受力，得
mg－＝ma
代入数据得
a＝6.4m/s2
（2）B运动过程中速度最大时，加速度为零，此时
mg＝
代入数据得
L＝0.3m
【例4】如图所示，质量为m的小球A放在绝缘斜面上，斜面的倾角为。小球A带正电，电荷量为q。在斜面上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷，将小球A由距B点L处无初速度释放。小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与斜面间的摩擦，整个装置处在真空中。已知静电力常量k和重力加速度g。求：
（1）A球刚释放时的加速度是多大？
（2）当A球的动能最大时，A球与B点的距离是多大？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据牛顿第二定律
根据库仑定律
联立以上各式解得
（2）当A球受到的合力为零、加速度为零时，速度最大，动能最大。设此时A球与B点间的距离为R，则
解得
【例5】．如图所示，质量均为m、带等量异种电荷的A、B两个小球放在光滑绝缘的固定斜面上，给B球施加沿斜面向上、大小为（g为重力加速度）的拉力，结果A、B两球以相同的加速度向上做匀加速运动，且两球保持相对静止，两球间的距离为L，小球大小忽略不计，斜面的倾角，静电力常量为k。求∶
（1）两球一起向上做加速运动的加速度大小；
（2）A球所带的电荷量。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）整体法，两球一起向上做加速运动，设加速度为a，根据牛顿第二定律解得
解得
（2）设A球的带电量为q，对A球研究，根据牛顿第二定律有
解得
【例6】．如图所示，均可视为质点的三个物体A、B、C在倾角为30°的光滑斜面上，A与B紧靠在一起，C紧靠在固定挡板上，质量分别为mA=0.34kg，mB=0.20kg，mC=0.50kg，其中A不带电，B、C的电量分别为qB=＋6×10－5C、qC=＋8×10－5C且保持不变，开始时三个物体均能保持静止。现给A施加一平行于斜面向上的力F，使A一直做加速度a=1.0m/s2的匀加速直线运动，经过时间t，力F变为恒力。已知静电力常量k=9.0×109 N·m2/C2，g取10m/s2。求：
（1）开始时BC间的距离L；
（2）F从变力到恒力需要的时间t。
【答案】（1）4.0 m；（2）2.0 s
【详解】（1）A、B、C静止时，以A、B为研究对象有
解得开始时BC间的距离为
（2）给A施加力F后，A、B沿斜面向上做匀加速运动，A、B分离时两者之间弹力恰好为零，对B用牛顿第二定律得
解得
由匀加速运动规律得
解得
可知F从变力到恒力需要的时间为。
【例7】．甲、乙两点电荷相距L，设乙的质量为m，在库仑力的作用下，它们由静止开始运动．起初甲的加速度为a，乙的加速度为6a，经过一段时间后，乙的加速度变为a，速度为υ．问：
(1)此时两电荷相距多远?
(2)甲的速度为多大?
(3)两电荷的电势能减少了多少?
【答案】（1）（2）（3）
【详解】（1）对乙进行受力分析可知


由以上各式可得：
（2）分别对甲乙进行受力分析可知
对甲：
对乙
可知
由动量守恒可知：
由以上各式可得
（3）由能量守恒可知，减少的电势能全部转换为动能

综上所述本题答案是：（1）（2）（3）
【例8】．如图，空间有一竖直向下沿x轴方向的静电场，电场的场强大小按分布（x是轴上某点到O点的距离）。x轴上，有一长为L的绝缘细线连接均带负电的两个小球A、B，两球质量均为m，B球带电荷量大小为q，A球距O点的距离为L。两球现处于静止状态，不计两球之间的静电力作用。
(1)求A球的带电荷量大小qA；
(2)剪断细线后，求B球下落速度达到最大时，B球距O点距离为x0；
(3)剪断细线后，求B球下落最大高度h。
【答案】(1)qA=6q；(2)x0=4L；(3)h=4L
【详解】(1)对A、B由整体法得
解得
qA=6q
(2)当B球下落速度达到最大时，由平衡条件得
解得
x0=4L
(3)运动过程中，电场力大小线性变化，所以由动能定理得
解得
h=4L
比较项目
等量异种点
电荷
等量同种点
电荷
电场线的分布图
连线中点O
处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿连线的中垂线由O点向外的场强大小
O点最大，向外逐渐变小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称点的场强(如A与A′、B与B′、C与C′等)
等大同向
等大反向