中考数学二轮培优训练专题13 二次函数-费马点求最小值（2份，原卷版+解析版）

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必备知识点
费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点
【结论】
如图，点M为锐角△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小
【证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
∵△ABE为等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°．
而∠MBN＝60°，
∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB与△ENB中，
∵，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．
∵∠MBN＝60°，BM＝BN，
∴△BMN为等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；
∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
费马点作法
分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。
加权费马点
点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值
解决办法：
第一步，选定固定不变线段；
第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。
如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图所示，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。
例：点P为锐角△ABC内任意一点，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，连接AP、BP、CP，求3AP+4BP+5CP的最小值
【分析】将△APC绕C点顺时针转90°到△A1P1C，过P2作P1A1的平行线，交CA1于点A2，且满足A2P2：P1A1=3：4.
在Rt△PCP2中，设PC=a，由△CA2P2∽△CA1P1得CP2=3a/4，则PP2=5a/4。
∴3AP+4BP+5CP=
∴B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。接触BA2长度即可。
方法点拨
一、题型特征：PA+PB+PC（P为动点）
①一动点，三定点
②以三角形的三边向外作等边三角形的，再分别将所作等边三角形最外的顶点与已知三角形且与所作等边三角形相对的顶点相连，连线的交点即为费马点。
③同时线段前可以有不为1的系数出现，即：加权费马点
二、模型本质：两点之间，线段最短。
例题演练
1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx+（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．
（1）求抛物线与直线的解析式；
（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH⊥AR于点H，过点P做PQ∥x轴交抛物线于点Q，过点P做PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝2PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时m的最小值．
（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN⊥x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．
【解答】解（1）∵y＝ax2+bx﹣8与y轴的交点为C，令x＝0，y＝﹣8
∴点C（0，﹣8）
∴OC＝8
∵OC＝2OA，OB＝3OA
∴OA＝4，OB＝12
∴A（﹣4，0）B（12，0）
将点A代入直线解析式可得0＝﹣4k+
解得k＝
∴y＝x+
将点A和点B代入抛物线中
解得a＝，b＝﹣
∴y＝x2﹣x﹣8
（2）设点P的坐标为（p，p2﹣p﹣8）
﹣＝4
∴抛物线的对称轴为直线x＝4
∴点Q（8﹣p，）
∴PQ＝2p﹣8
∵PK＝2PQ
∴PK＝4p﹣16
如图1所示，延长PK交直线AR于点M，则M（p，）
∴PM＝﹣（）＝
∵∠PHM＝∠MH′A，∠HMP＝∠AMH′
∴∠HPM＝∠MAH′
∵直线解析式为y＝，令x＝0，y＝．
∴OE＝
∵OA＝4
根据勾股定理得∴AE＝
∴cs∠EAO＝＝
∴cs∠HPM＝＝＝
∴PH＝
∵I＝PH﹣PQ
∴I＝（）﹣（2p﹣8）＝﹣（p﹣5）2+85
∴当p＝5时，I取最大值此时点P（5，）
∴PQ＝2，PK＝
如图2所示，连接QK，以PQ为边向下做等边三角形PQD，连接KD，在KD取I，
使∠PID＝60°，以PI为边做等边三角形IPF，连接IQ
∵IP＝PF，PQ＝PD，∠IPQ＝∠FPD
∴△IPQ≌△FPD
∴DF＝IQ
∴IP+IQ+IK＝IF+FD+IK＝DK，此时m最小
过点D作DN垂直于KP
∵∠KPD＝∠KPQ+∠QPD＝150°
∴∠PDN＝30°
∵DP＝PQ＝2
∴DN＝1，根据勾股定理得PN＝
在△KDN中，KN＝5，DN＝1，根据勾股定理得KD＝2
∴m的最小值为2
（3）设NM与x轴交于点J
∵AM＝13，cs∠MAJ＝
∴AJ＝12，根据勾股定理得MJ＝5
∵OA＝4，∴OJ＝8
∴M（8，5）
当x＝8时，代入抛物线中，可得y＝﹣8
∴N（8，﹣8），MN＝13
在△AJN中，根据勾股定理得AN＝4
∵点D为x轴上的动点，根据翻折，MN′＝13，所以点N′在以M为圆心，13个单位长度为半径的圆上运动，如图3所示
①当N′落在AN的垂直平分线上时
tan∠MNA＝＝
∴tan∠MGJ＝，∵MJ＝5
∴JG＝，根据勾股定理得MG＝
∵MD1为∠GMJ的角平分线
∴
∴D1J＝∴D1（，0）
∵MD4也为角平分线
∴∠D1MD4＝90°
根据射影定理得MJ2＝JD1•JD4
∴JD4＝
∴D4（，0）
②当AN＝AN′时
D2与点A重合
∴D2（﹣4，0）
∵MD3为角平分线
∴
∴JD3＝
∴D3（，0）
综上所述D1（，0），D2（﹣4，0），D3（，0），D4（，0）．
2．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4的对称轴为x＝1，与y交于点A，与x轴负半轴交于点C，作平行四边形ABOC并将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′O′C′．
（1）求抛物线的解析式和点A、C的坐标；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′O′C′重叠部分△OC′D的周长；
（3）若点P为△AOC内一点，直接写出PA+PC+PO的最小值（结果可以不化简）以及直线CP的解析式．
【解答】解：（1）由已知得，x＝﹣＝1，则b＝1，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4，
∴A（0，4），令y＝0，得﹣x2+x+4＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝4．
（2）在▱ABCD中，∠OAB＝∠AOC＝90°，则AB∥CO，
∴OB＝＝2，OC′＝OC＝2，
∴∠OC′D＝∠OCA＝∠B，∠C′OD＝∠BOA，
∴△C′OD∽△BOA，
∴＝＝＝，
∵△AOB的周长为6+2，
∴△C′OD的周长为（6+2）×＝2+；
（3）此点位费马点，设三角形AOB的三边为a，b，c，
∵OC＝2，OA＝4，AC＝＝2，
PA+PO+PC＝
＝2．
直线CP解析式为y＝（﹣1）x+2﹣2．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，∠ODB＝30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；
（3）点P为△ABO内的一个动点，设m＝PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长．
【解答】解：（1）过E作EG⊥OD于G（1分）
∵∠BOD＝∠EGD＝90°，∠D＝∠D，
∴△BOD∽△EGD，
∵点B（0，2），∠ODB＝30°，
可得OB＝2，；
∵E为BD中点，
∴
∴EG＝1，
∴
∴点E的坐标为（2分）
∵抛物线经过B（0，2）、两点，
∴，
可得；
∴抛物线的解析式为；（3分）
（2）∵抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧，
∴A点的坐标为
∴，
∴在△AGE中，∠AGE＝90°，（4分）
过点O作OK⊥AE于K，
可得△AOK∽△AEG
∴
∴
∴
∴
∵△OMN是等边三角形，
∴∠NMO＝60°
∴；
∴，或；（6分）
（写出一个给1分）
（3）如图；
以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′；
易证OE＝OB＝2，∠OBE＝60°，则△OBE是等边三角形；
连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；
∵OA＝OB′，∠B′OB＝∠AOE＝150°，OB＝OE，
∴△AOE≌△B′OB；
∴∠B′BO＝∠AEO；
∵∠BOP＝∠EOP′，而∠BOE＝60°，
∴∠POP'＝60°，
∴△POP′为等边三角形，
∴OP＝PP′，
∴PA+PB+PO＝AP+OP′+P′E＝AE；
即m最小＝AE＝；
如图；作正△OBE的外接圆⊙Q，
根据费马点的性质知∠BPO＝120°，则∠PBO+∠BOP＝60°，而∠EBO＝∠EOB＝60°；
∴∠PBE+∠POE＝180°，∠BPO+∠BEO＝180°；
即B、P、O、E四点共圆；
易求得Q（，1），则H（，0）；
∴AH＝；
由割线定理得：AP•AE＝OA•AH，
即：AP＝OA•AH÷AE＝×÷＝．
故：m可以取到的最小值为
当m取得最小值时，线段AP的长为．
（如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分）
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．
（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），
∴0＝a+b+
0＝25a+5b+
∴a＝，b＝﹣3
∴解析式y＝x2﹣3x+
（2）当y＝0，则0＝x2﹣3x+
∴x1＝5，x2＝1
∴A（1，0），B（5，0）
∴对称轴直线x＝3，顶点坐标（3，﹣2），AB＝4
∵抛物线与y轴相交于点C．
∴C（0，）
如图1
①如AB为菱形的边，则EF∥AB，EF＝AB＝4，且E的横坐标为3
∴F的横坐标为7或﹣1
∵AE＝AB＝4，AM＝2，EM⊥AB
∴EM＝2
∴F（7，2），或（﹣1，2）
∴当x＝7，y＝×49﹣7×3+＝6
∴点F到二次函数图象的垂直距离6﹣2
②如AB为对角线，如图2
∵AEBF是菱形，AF＝BF＝4
∴AB⊥EF，EM＝MF＝2
∴F（3，﹣2）
∴点F到二次函数图象的垂直距离﹣2+2
（3）当F（3，﹣2）时，点F到二次函数图象的垂直距离最小
如图3，以BQ为边作等边三角形BQD，将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置，连接AN，作PN⊥AB于P
∵等边三角形BQD
∴QD＝QB＝BD，
∵将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置
∴NB＝BF＝4，∠FBN＝60°，DN＝FQ
∵AQ+BQ+FQ＝AQ+QD+DN
∴当AQ，QD，DN共线时AQ+BQ+FQ的和最短，即最短值为AN的长．
∵AF＝BF＝4＝AB，
∴∠ABF＝60°
∴∠NBP＝60°且BN＝4，
∴BP＝2，PN＝2
∴AP＝6
在Rt△ANP中，AN＝＝4
∴AQ+BQ+FQ的和最短值为4．
5．如图，已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为．
（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？
（4）连接BC，点M为△ABC内一点，若∠ABC＝60°，求MA+MB+MC的最小值为 ．
【解答】解：（1）已知y＝a（x+3）（x﹣1），
令y＝0，得a（x+3）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0）、B（1，0），
∵直线y＝﹣x+b经过点A（﹣3，0），
∴3+b＝0，
解得：b＝﹣3，
∴y＝﹣x﹣3，
当x＝2时，y＝﹣5，
∴点D的坐标为（2，﹣5），
∵点D在抛物线上，
∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，作PH⊥x轴于H，
设点P的坐标为（m，n），
当△BPA∽△ABC时，∠BAC＝∠PBA，
∴tan∠BAC＝tan∠PBA，即＝，
∴＝，即n＝﹣a（m﹣1），
∴，
解得，m1＝﹣4，m2＝1（不合题意，舍去），
当m＝﹣4时，n＝5a，
∵△BPA∽△ABC，
∴＝，即AB2＝AC•PB，
∴42＝•，
解得，a1＝（不合题意，舍去），a2＝﹣，
则n＝5a＝﹣，
∴点P坐标为（﹣4，﹣）；
当△PBA∽△ABC时，∠CBA＝∠PBA，
∴tan∠CBA＝tan∠PBA，即＝，
∴＝，即n＝﹣3a（m﹣1），
∴，
解得，m1＝﹣6，m2＝1（不合题意，舍去），
当m＝﹣6时，n＝21a，
∵△PBA∽△ABC，
∴＝，即AB2＝BC•PB，
∴42＝•，
解得，a1＝（不合题意，舍去），a2＝﹣，
则n＝21a＝21×（﹣）＝﹣3，
点P的坐标为（﹣6，﹣3），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣3）；
（3）如图2，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，
则tan∠DAN＝＝＝，
∴∠DAN＝60°，
∴∠EDF＝60°，
∴DE＝＝EF，
∴Q运动时间为t＝+＝BE+EF，
∴当BE和EF共线时，t最小，
则BE⊥DM，y＝﹣4，
此时E（1，﹣4）；
（4）以B点为旋转中心，△BCM绕B点顺时针旋转90°，同时将△BCM的边扩大倍，得到△BEF，过F点作FN⊥x轴交于点N，连接AF，
∴EF＝CM，
∵∠MBE＝90°，BE＝BM，
∴ME＝2BM，
∴MA+MB+MC＝（MA+2MB+MC）＝（MA+ME+EF）≥AF，
∴当A、M、E、F四点共线时，MA+MB+MC的值最小为AF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠FBN＝30°，
∵B（1，0），C（0，3），
∴BC＝2，
∴BF＝2，
∴NF＝，BN＝3，
∵A（﹣3，0）、B（1，0），
∴AB＝4，
∴AN＝4+3，
在Rt△ANF中，AF＝2，
∴MA+MB+MC的最小值为，
故答案为：．