人教版（2024）九年级下册28.1 锐角三角函数优秀综合训练题

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1．（2022•西城区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径的⊙O交AC于点D，在AC上截取AE＝AB，连接BE交⊙O于点F．
（1）求证：∠EBC＝∠BAC；
（2）若⊙O的半径长r＝5，tan∠CBE＝，求CE的长．
【分析】（1）连接AF，由圆周角定理及直角三角形的性质可得∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBC＝90°，进而可得∠BAF＝∠EBC，再利用等腰三角形的性质可证明结论；
（2）过E点作EG⊥BC于点G，证明△BAF∽△EBG，列比例式可得，结合锐角三角函数的定义可求得EG＝4，BG＝8，△ABC∽△EGC，列比例式可求解CG的长，再利用勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：连接AF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABF+∠EBC＝90°，
∴∠BAF＝∠EBC，
∵AB＝AE，∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠BAC，
∴∠EBC＝∠BAC；
（2）过E点作EG⊥BC于点G，
∴∠AFB＝∠BGE＝90°，
∵∠BAF＝∠EBG，
∴△BAF∽△EBG，
∴，
∵tan∠BAF＝tan∠CBE＝，
∴AF＝2BF，
∵AB＝2OA＝10，
∴BF＝，AF＝，
∵AF⊥BE，AB＝AE，
∴BE＝2BF＝，
∴，
解得EG＝4，BG＝8，
∵∠ABC＝∠EGC＝90°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△EGC，
∴，
∴，
解得CG＝，
∴CE＝．
2．（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．
【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；
（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解．
【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．
理由：连接OC．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠CBE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BD，
∵CD⊥BD，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵OC⊥DC，CD⊥DB，
∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，
∴四边形CDEJ是矩形，
∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，
∴OC⊥AE，
∴AJ＝EJ，
∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，
∴DE＝3，CD＝4，
∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，
在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，
∴r＝，
∴⊙O的半径为．
3．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若CF＝2，sinC＝，求AE的长．
【分析】（1）连接OE，方法一：根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠OEC＝90°即可；
方法二：根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠OEC＝90°即可；
（2）连接EF，根据三角函数求出AB和半径的长度，再利用三角函数求出AE的长即可．
【解答】（1）证明：连接OE，
方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠BAC＝2∠OAE，
∵∠FOE＝2∠OAE，
∴∠FOE＝∠BAC，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
方法二：∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠OAE＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠BAE＝∠OEA，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接EF，
∵CF＝2，sinC＝，
∴，
∵OE＝OF，
∴OE＝OF＝3，
∵OA＝OF＝3，
∴AC＝OA+OF+CF＝8，
∴AB＝AC•sinC＝8×＝，
∵∠OAE＝∠BAE，
∴cs∠OAE＝cs∠BAE，
即，
∴，
解得AE＝（舍去负数），
∴AE的长为．
4．（2022•大连）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
（1）如图1，求证∠B＝∠E；
（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）利用勾股定理求出AE，再利用相似三角形的性质求BD，根据垂径定理和勾股定理即可求出AD．
【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A
∴AB⊥AE，
∴∠A＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠BDO＝∠A＝90°，
∵∠BOD＝∠AOE，
∴∠B＝∠E．
（2）如图2，连接AC，
∵OA＝2，OE＝3，
∴根据勾股定理得AE＝，
∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠EOA，
∴△BOD∽△EOA，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝，
∴CD＝BD＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC＝，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得AD＝
＝
＝．
5．（2022•广州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．
【分析】（1）利用尺规作图，作线段AC的垂直平分线即可；
（2）根据垂径定理、勾股定理可求出直径AB＝10，AE＝EC＝3，由三角形中位线定理可求出OE，即点O到AC的距离，在直角三角形CDE中，求出DE，由勾股定理求出CD，再根据锐角三角函数的定义可求出答案．
【解答】解：（1）分别以A、C为圆心，大于AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q两点，画直线PQ交劣弧于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理可知，直线PQ一定过点O；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．
∴AB＝＝10，
∵OD⊥AC，
∴AE＝CE＝AC＝4，
又∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝3，
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
即点O到AC的距离为3，
连接OC，在Rt△CDE中，
∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，
∴CD＝＝＝2
∴sin∠ACD＝＝＝．
6．（2022•通辽）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．
（1）求证：CD是圆的切线；
（2）已知sin∠OCD＝，AB＝4，求AC长度及阴影部分面积．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余以及等量代换得出∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥EC，进而得出EC是切线；
（2）根据直角三角形的边角关系可求出OD、CD、AC、OC，再根据相似三角形的性质可求出EC，根据S阴影部分＝S△COE﹣S扇形进行计算即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A+∠ABO＝90°，
又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB+∠BDE＝90°，
即OD⊥EC，
∵OD是半径，
∴EC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△COD中，由于sin∠OCD＝，
设OD＝4x，则OC＝5x，
∴CD＝＝3x＝AC，
在Rt△AOB中，OB＝OD＝4x，OA＝OC+AC＝8x，AB＝4，由勾股定理得，
OB2+OA2＝AB2，
即：（4x）2+（8x）2＝（4）2，
解得x＝1或x＝﹣1（舍去），
∴AC＝3x＝3，OC＝5x＝5，OB＝OD＝4x＝4，
∵∠ODC＝∠EOC＝90°，∠OCD＝∠ECO，
∴△COD∽△CEO，
∴＝，
即＝，
∴EC＝，
∴S阴影部分＝S△COE﹣S扇形
＝××4﹣
＝﹣4π
＝，
答：AC＝3，阴影部分的面积为．
7．（2022•松阳县二模）如图，已知以AB为直径的半圆，圆心为O，弦AC平分∠BAD，点D在半圆上，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF与半圆O相切于点C．
（2）若AO＝3，BF＝2，求tan∠ACE的值．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠E＝90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可证AE∥OC，然后利用平行线的性质可求出∠OCF＝90°，即可解答；
（2）根据已知可求出OF＝5，AF＝8，再在Rt△OCF中，利用勾股定理求出CF＝4，然后证明A字模型相似三角形△FCO∽△FEA，从而利用相似三角形的性质求出AE，EF的长，最后在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，
∴∠E＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠EAC＝∠ACO，
∴AE∥OC，
∴∠E＝∠OCF＝90°，
∵OC是半⊙O的半径，
∴EF与半圆O相切于点C；
（2）∵AO＝3，BF＝2，
∴OF＝OB+BF＝5，OC＝3，
∴AF＝OF+OA＝8，
∵∠OCF＝90°，
∴CF＝＝＝4，
∵∠E＝∠OCF＝90°，∠F＝∠F，
∴△FCO∽△FEA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EA＝，EF＝，
∴CE＝EF﹣CF＝，
在Rt△ACE中，tan∠ACE＝＝＝2，
∴tan∠ACE的值为2．
8．（2022•乐山）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，＝，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．
（1）求证：CG＝DG；
（2）已知⊙O的半径为6，sin∠ACE＝，延长AC至点B，使BC＝4．求证：BD是⊙O的切线．
【分析】（1）证明∠CDG＝∠DCG可得结论；
（2）证明△COH∽△BOD可得∠BDO＝90°，从而得结论．
【解答】证明：（1）连接AD，
∵线段AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDG＝90°，
∵DF⊥BC，
∴∠DFA＝∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠CDG＝∠DAF，
∵＝，
∴∠DAF＝∠DCG，
∴∠CDG＝∠DCG，
∴CG＝DG；
（2）连接OD，交CE于H，
∵＝，
∴OD⊥EC，
∵sin∠ACE＝＝，
∵BC＝4，OD＝OC＝6，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠COH＝∠BOD，
∴△COH∽△BOD，
∴∠BDO＝∠CHO＝90°，
∴OD⊥BD，
∵OD是⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线．
9．（2022•定远县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠ECD＝∠A；
（2）若CE＝4，DE＝2，求AB的长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODC＝90°，从而可得∠ADO+∠EDC＝90°，根据垂直定义可得∠E＝90°，从而可得∠EDC+∠DCE＝90°，进而可得∠ADO＝∠DCE，然后利用等腰三角形的性质，即可解答；
（2）在Rt△DCE中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠DCE的值，从而求出tanA的值，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而求出AD的长，最后证明A字模型相似三角形△ADB∽△AEC，利用相似三角形的性质求出DB的长，从而在Rt△ADB中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODC＝90°，
∴∠ADO+∠EDC＝180°﹣∠ODC＝90°，
∵CE⊥AD，
∴∠E＝90°，
∴∠EDC+∠DCE＝90°，
∴∠ADO＝∠DCE，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠ECD＝∠A；
（2）解：在Rt△DCE中，CE＝4，DE＝2，
∴tan∠DCE＝＝＝，
∵∠ECD＝∠A，
∴tan∠ECD＝tanA，
在Rt△AEC中，tanA＝＝＝，
∴AE＝8，
∴AD＝AE﹣DE＝8﹣2＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠E，
∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
∴DB＝3，
∴AB＝＝＝3，
∴AB的长为3．
10．（2022•市中区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．
（1）求证：∠DAB＝2∠ABC；
（2）若tan∠ADC＝，BC＝8，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，根据CE是⊙O的切线得到∠OCE＝90°，从而得到OC∥DE，进而得到∠DAB＝∠AOC，再结合∠AOC＝2∠ABC，即可得到∠DAB＝2∠ABC；
（2）连接AC，先根据AB是⊙O的直径得到∠ACB＝90°，再根据圆周角定理得到tan∠ABC＝tan∠ADC＝，在Rt△ABC利用锐角三角函数及勾股定理即可计算出半径长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵DE⊥CE，
∴∠E＝90°，
∴∠OCE+∠E＝180°，
∴OC∥DE，
∴∠DAB＝∠AOC，
∵∠AOC＝2∠ABC，
∴∠DAB＝2∠ABC；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴tan∠ABC＝tan∠ADC＝，
∴，
∵BC＝8，
∴AC＝4，
∴AB＝4，
∴⊙O的半径为2．
11．（2022•瑞安市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，交⊙O于点E，以DB为直径作⊙O交BC于点F，连结BE，EF．
（1）证明：∠A＝∠BEF．
（2）若AC＝4，tan∠BEF＝4，求EF的长．
【分析】（1）连接DF，根据直径所对的圆周角是直角可得∠DFB＝90°，从而可得∠ACB＝∠DFB＝90°，进而可得AC∥DF，然后利用平行线的性质可得∠A＝∠FDB，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠FDB＝∠BEF，即可解答；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H，根据角平分线的定义可得CF＝DF，再设CF＝DF＝x，在Rt△ACB中，利用锐角三角函数定义求出BC，从而表示出BF，然后证明A字模型相似三角形△ACB∽△DFB，利用相似三角形的性质求出FB的长，从而求出FH的长，最后根据直径所对的圆周角是直角可得∠DEB＝90°，从而可得CH＝EH＝BC＝8，进而在Rt△EFH中，利用勾股定理求出EF，即可解答．
【解答】（1）证明：连接DF，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB＝90°，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠FDB，
∵∠FDB＝∠BEF，
∴∠A＝∠BEF；
（2）解：过点E作EH⊥BC，垂足为H，
∴∠EHF＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝45°，
∴∠CDF＝90°﹣∠DCB＝45°，
∴CF＝DF，
设CF＝DF＝x，
∵∠A＝∠BEF，
∴tanA＝tan∠BEF＝4，
∴BC＝AC•tanA＝4×4＝16，
∴BF＝BC﹣CF＝16﹣x，
∵∠ACF＝∠DFB＝90°，
∴△ACB∽△DFB，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
经检验，x＝是原方程的根，
∴CF＝，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣∠DCB＝45°，
∴EC＝EB，
∵EH⊥BC，
∴CH＝BH＝BC＝8，
∴EH＝BC＝8，
∴FH＝CH﹣CF＝，
∴EF＝＝＝，
∴EF的长为．
12．（2022秋•潍城区期中）阅读理解：如图1，在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝c＝2R，即＝2R（规定sin90°＝1）．
探究活动：如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么： ＝ ＝ （用＞，＝或＜连接），并说明理由．
初步应用：事实上，以上结论适用于任意三角形．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠B＝30°，∠C＝45°，b＝，求c．
综合应用：如图3，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼AB的高度，在A处用测角仪测得地面点C处的俯角为45°，点D处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100米，求楼AB的高度．（参考数据：≈1.7，sin15°＝）．
【分析】探究活动：由锐角三角函数可得＝＝＝2R，可得解；
初步应用：将数值代入＝可求解；
综合应用：由三角形的外角性质可求∠ACB＝30°，利用（1）的结论即可求解．
【解答】解：探究活动：如图，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，
∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，
∴sinA＝sinD＝＝，
∴＝＝2R，
同理可证：＝2R，＝2R，
∴＝＝＝2R，
故答案为：＝，＝；
初步应用：
∵＝＝2R，∠B＝30°，∠C＝45°，b＝，
∴＝，
∴＝，
∴c＝2；
综合应用：
如图，
由题意得：∠ABD＝90°，∠MAD＝15°，∠MAC＝45°，AB＝100m，
∴∠CAD＝30°，
∵AM∥BD，
∴∠ADB＝∠MAD＝15°，∠ACB＝∠MAC＝45°，
设楼AB＝xm，则AC＝xm，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴x＝50（﹣1）≈50×0.7＝35，
∴楼AB高度约为35m．
13．（2022秋•高新区期中）如图，以△ABC的边AC上一点O为圆心，OC为半径的⊙O经过B点与AC交于D点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，tanC＝．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若AD＝1，求CD；
（3）设AM为∠BAC的平分线，AM＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及切线的判定方法进行解答即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质，以及tanC＝＝即可求出AC，进而求出CD；
（3）根据角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余以及三角形内角和定理可得∠AMN＝45°，进而求出AN＝MN＝4，再根据相似三角形的性质求出BC，BD，由勾股定理求出CD，进而求出半径即可．
【解答】（1）证明：∵OB＝OC，OB＝OD，
∴∠C＝∠OBC，∠OBD＝∠ODB，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，即∠OBD+∠OBC＝90°，
又∵∠C＝∠ABD，
∴∠ABD+∠OBD＝90°，
即OB⊥AB，
∵OB是⊙O的半径，
∴AB是⊙⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠ABD，∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴＝＝＝tanC＝，
∵AD＝1，
∴AB＝2，AC＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝4﹣1＝3；
（3）解：如图，过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于点N，
∵AM平分∠BAC，
∴∠CAM＝∠BAM，
∵∠C+∠CDB＝90°，
∴∠C+∠ABD+∠CAB＝90°，
又∵∠C＝∠ABD，
∴∠CAM+∠C＝×90°＝45°＝∠AMN，
∴AN＝MN，
∵AM＝4，
∴AN＝MN＝4×＝4，
∵tanC＝＝＝，
∴CN＝2AN＝8，
∴MC＝MN＝4，
∵AM平分∠BAC，
＝＝＝，
∴BM＝2，
∴BC＝3+4＝6，BD＝3，
在Rt△BCD中，
CD＝＝3，
∴⊙O的半径为．
14．（2022春•青山区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC交于点E．
（1）求证：BC是⊙D的切线；
（2）若sinC＝，设BC切⊙D于点F，求tan∠CFE的值；
【分析】（1）作DH⊥BC于点H，由BD平分∠ABC，得DH＝DA，可知点D到BC的距离等于⊙D的半径长，即可证明BC是⊙D的切线；
（2）连接DF，设AB＝5m，DA＝DF＝r，由sinC＝＝，得BC＝13m，根据勾股定理求得AC＝12m，则CD＝12m﹣r，由×13mr＝×5m（12m﹣r）＝S△BCD，得DA＝r＝m，再证明EF∥BD，得∠CFE＝∠CBD＝∠ABD，所以tan∠CFE＝tan∠ABD＝＝．
【解答】（1）证明：如图1，作DH⊥BC于点H，
∵∠BAC＝90°，
∴DA⊥BA，
∵BD平分∠ABC，
∴DH＝DA，
∵DA为⊙D的半径，
∴BC是⊙D的切线．
（2）解：如图2，连接DF，设AB＝5m，DA＝DF＝r，
∵sinC＝＝，
∴BC＝13m，
∴AC＝＝12m，
∴CD＝12m﹣r，
∵⊙D与BC相切于点F，
∴BC⊥DF，
∴BC•DF＝CD•AB＝S△BCD，
∴×13mr＝×5m（12m﹣r），
∴DA＝r＝m，
∵∠BFD＝∠BAD＝90°，BD＝BD，DF＝DA，
∴Rt△BDF≌Rt△BDA（HL），
∴∠BDF＝∠BDA，
∵DE＝DF，
∴∠DFE＝∠DEF，
∴∠ADF＝2∠BDF＝∠DFE+∠DEF＝2∠DFE，
∴∠BDF＝∠DFE，
∴EF∥BD，
∴∠CFE＝∠CBD＝∠ABD，
∴tan∠CFE＝tan∠ABD＝＝＝，
∴tan∠CFE的值是．
15．（2022•思明区校级二模）如图，△ABD内接于⊙O，AB是直径，E是上一点，且DE＝DA，连接AE交BD于F，在BD延长线上取点C，使得∠CAD＝∠EAD．
（1）求证：直线AC与⊙O相切；
（2）若AE＝24，tanE＝，求⊙O的半径长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，求得∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠EAD，求得∠BAC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）过D作DH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质得到AH＝EH＝AE＝12，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，
∵AD＝DE，
∴∠E＝∠EAD，
∵∠E＝∠B，∠CAD＝∠EAD，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠B+∠C＝90°
∴∠BAC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线AC与⊙O相切；
（2）解：如图，过D作DH⊥AE于H，
∵DE＝DA，
∴AH＝EH＝AE＝12，
∵tanE＝tan∠EAD＝＝，
∴DH＝9，
∴AD＝＝＝15，
∵∠B＝∠E，
∴tanB＝＝，
∴BD＝20，
∴AB＝＝25，
∴⊙O的半径长为．
16．（2022•锦州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF＝∠BAC．
（1）求证：BF为⊙O的切线；
（2）若AE＝4，OF＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB＝90°，由等弧对等角可得∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，再进行等量代换可得∠ABF＝90°便可证明；
（2）连接BE，由圆周角定理可得∠AEB＝90°，∠BOD＝2∠BAD，于是∠BOD＝∠BAC，由△OBF∽△AEB可得OB：AE＝OF：AB，再代入求值即可．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，
AB是圆的直径，则∠ADB＝90°，
D为的中点，则∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵，
∴∠CBF＝∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABF＝∠ABD+∠CBF＝90°，
∴AB⊥BF，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BE，
AB是圆的直径，则∠AEB＝90°，
∵∠BOD＝2∠BAD，∠BAC＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC，
又∵∠ABF＝∠AEB＝90°，
∴△OBF∽△AEB，
∴OB：AE＝OF：AB，
∴OB：4＝：2OB，OB2＝9，
OB＞0，则OB＝3，
∴⊙O的半径为3．
17．（2022•南京模拟）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；
（3）如果BE＝13，，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC＝90°，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；
（3）延长AO交⊙O于点M，连结BM．在Rt△ADE中，设AD＝4x，则AE＝5x，在Rt△ABM中，，即，据此即可求解．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵OB＝OA，CE＝CB，
∴∠A＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED＝∠A+∠CEB＝90°，
∴∠OBA+∠ABC＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OF，AF，BF，
∵DA＝DO，CD⊥OA，
∴AF＝OF，
∵OA＝OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴∠ABF＝∠AOF＝30°；
（3）解：延长AO交⊙O于点M，连结BM．
∵cs∠OAB＝，
∴在Rt△ADE中，设AD＝4x，则AE＝5x，
∵点D为OA的中点，
∴OA＝8x，
∴AM＝16x，
∵AM为⊙O的直径，
∴∠ABM＝90°，
∵，
∴在Rt△ABM中，，
即，
解得：x＝，经检验，是方程的解，且符合题意，
∴OA＝8x＝8×＝，
∴⊙O的半径是．
18．（2022•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE＝∠ABC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，sin∠BEC＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据切线的判定定理，圆周角定理解答即可；
（2）根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵∠BCE＝∠ABC，∠BCE＝∠BOE，
∴∠ABC＝∠BOE，
∴OE∥BC，
∴∠OED＝∠BCD，
∵EF∥AC，
∴∠FEC＝∠ACE，
∴∠OED+∠FEC＝∠BCD+∠ACE，
即∠FEO＝∠ACB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠FEO＝90°，
∴FE⊥EO，
∵EO是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵EF∥AC，
∴△FEO∽△ACB，
∴，
∵BF＝2，sin∠BEC＝，
设⊙O的半径为r，
∴FO＝2+r，AB＝2r，BC＝r，
∴，
解得：r＝3，
检验得：r＝3是原分式方程的解，
∴⊙O的半径为3．
19．（2022•菏泽）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是⊙O的切线；
（2）若HA＝3，csB＝，求CG的长．
【分析】（1）连接OD，根据三角形中位线定理得到OD∥BC，根据平行线的性质得到OD⊥HG，根据切线的判定定理证明结论；
（2）根据余弦的定义求出⊙O的半径，根据三角形中位线定理求出BC，再根据余弦的定义求出BG，计算即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD＝DC，AO＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，OD＝BC，
∵DG⊥BC，
∴OD⊥HG，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线HG是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为x，则OH＝x+3，BC＝2x，
∵OD∥BC，
∴∠HOD＝∠B，
∴cs∠HOD＝，即＝＝，
解得：x＝2，
∴BC＝4，BH＝7，
∵csB＝，
∴＝，即＝，
解得：BG＝，
∴CG＝BC﹣BG＝4﹣＝．
20．（2022•郯城县二模）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）当时，求BF的长．
【分析】（1）连接OC，由圆周角定理结合已知得出∠BOC＝∠ABD，得出OC∥BD，由平行线的性质得出OC⊥CF，即可证明CF为⊙O的切线；
（2）连接AD，OC，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，由CE⊥DB，得出∠BEF＝90°，由三角形内角和定理及∠ABD＝∠EBF，得出∠F＝∠BAD，利用解直角三角形求出BD＝6，进而求出AB＝10，得出OC＝OB＝5，在Rt△FOC中，，即可求出BF的长度．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵∠BOC＝2∠BAC，∠ABD＝2∠BAC，
∴∠BOC＝∠ABD，
∴OC∥BD，
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF，
∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AD，OC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∵CE⊥DB，
∴∠BEF＝90°，
∵∠ABD＝∠EBF，
∴∠F＝∠BAD，
∴，
∵BD＝6，
∴，
∴AB＝10，
∴OB＝5，
∴OC＝OB＝5，
在Rt△FOC中，，
∴．
21．（2022•松桃县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DE．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若tan∠D＝，BE＝+1，求DA的长．
【分析】（1）连接OC，由圆周角定理得出∠ACO+∠OCB＝90°，由等腰三角形的性质得出∠OCB＝∠ABC，由∠DCA＝∠ABC，∠ACO+∠DCA＝90°，即∠DCO＝90°，即可证明DC是⊙O的切线；
（2）连接OC，在Rt△DCO中，tanD＝＝，设OC＝OB＝x，则DC＝2x，得出OD＝x，在Rt△DEB中，tanD＝＝，由BE＝+1，求出DE＝2+2，由勾股定理求出BD＝（），进而求出OD＝（）﹣x，得出方程x＝（）﹣x，求出x＝，DA＝BD﹣AB＝5﹣．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC，
∵∠DCA＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠DCA，
∴∠ACO+∠DCA＝90°，即∠DCO＝90°，
∵OC是半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接OC，
在Rt△DCO中，tanD＝＝，
设OC＝OB＝x，则DC＝2x，
∴OD＝＝＝x，
在Rt△DEB中，tanD＝＝，
∴DE＝2BE，
∵BE＝+1，
∴DE＝2（+1）＝2+2，
∴BD＝＝＝（），
∴OD＝BD﹣OB＝（）﹣x，
∴x＝（）﹣x，
解得：x＝，
∴AB＝2x＝2，
∴DA＝BD﹣AB＝（）﹣2＝5﹣．
22．（2022•中山市三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，P为圆外一点，连接PC、PB，且满足PC＝PB，∠PCB＝∠BAC．连接PO并延长交⊙O于E、F两点．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）证明：EF2＝4OD⋅OP；
（3）过点E作EG垂直AB交于点G，连接BE，若，求tan∠EBA的值．
【分析】（1）证出∠PBA＝∠PBC+∠ABC＝∠BAC+∠ABC＝90°即可得出结论；
（2）求证△BOD∽△POB，得出OB2＝OD•OP，根据EF＝2OB即可得出结论；
（3）设△BOC的面积为2S．则△BOE的面积为3S，证出△OEG∽△ABC，从而得到△OEG 的面积为S．进而得出，表示出EG和BG的长度．可得到答案．
【解答】（1）证明：AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵PB＝PC．
∴∠PCB＝∠PBC．
∵∠PCB＝∠BAC，
∴∠PBA＝∠PBC+∠ABC＝∠BAC+∠ABC＝90°，
∴OB⊥PB，
∵OB是半径，
∴PB是⊙O的切线：
（2）证明：∵PC＝PB，OB＝OC，
∴OP为BC的垂直平分线，
∴∠ODC＝90°，
由（1）得：∠PBO＝90°，
∵∠BOD＝∠POB，
∴△BOD∽△POB，
∴，
∴OB2＝OD•OP，
∵EF＝2OB，
∴EF2＝4OB2＝4OD•OP；
（3）解：设△BOC的面积为2S，则△BOE的面积为3S，
∵OA＝OB，
∴△AOC的面机为2S，△ABC的面积为4S，
∵∠ODC＝∠ACB＝90°，
∴EP∥AC，
∴∠BAC＝∠EOG，
∵EG⊥AB，
∴∠OGE＝∠ACB＝90°，
∴△OEG∽△ABC，
∴，
∴△OEG的面积为S，
∴，
设OB＝3a，则OG＝a．OE＝OB＝3a，
∴EG＝＝2a，
∴tan∠EBA＝．
23．（2022•武威模拟）如图，BE是△ABC的角平分线，∠C＝90°，点D在AB边上，以DB为直径的⊙O经过点E，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinA＝，⊙O的半径为5，求△BEF的面积．
【分析】（1）连接OE，利用等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质和切线的判定定理解答即可；
（2）连接OE，OF，过点O作OH⊥BF于点H，利用垂径定理可得BH＝HF＝BF，利用平行线的判定与性质可得∠HOB＝∠A，则sin∠HOB＝，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理可求BH，OH，再利用平行线间的距离相等，同底等高的三角形的面积相等可得S△BEF＝S△BOF，利用三角形的面积公式解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE．
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠OBE＝∠EBC，
∴∠OEB＝∠EBC，
∴OE∥BC，
∴∠OEA＝∠C．
∵∠C＝90°，
∴∠OEA＝90°．
∴OE⊥AC，
∵OE为⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，OF，过点O作OH⊥BF于点H，如图，
则BH＝HF＝BF．
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC．
∵OH⊥BF，
∴OH∥AC，
∴∠HOB＝∠A．
∵sinA＝，
∴sin∠HOB＝，
∵sin∠HOB＝，⊙O的半径为5，
∴BH＝3．
∴BF＝6，
OH＝＝4．
由（1）知：OE∥BC，
∴S△BEF＝S△BOF．
∵BF•OH＝6×4＝12，
∴S△BEF＝12．
24．（2022•红花岗区模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝AC，作△ABC的外接圆⊙O，CD与⊙O交于点E，连接AE．
（1）求证：DA是⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为5，cs∠BAC＝，求DE的长．
【分析】（1）连接AO并延长交BC于点M，根据已知可得AM是BC的垂直平分线，从而可得∠AMB＝90°，再利用平行四边形的性质可得AD∥BC，从而可得∠DAM＝90°，即可解答；
（2）利用等腰三角形的三线合一性质和圆周角定理可得∠BOM＝∠BAC，再在Rt△BOM中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出OM，BM的长从而求出BC，AM的长，从而在Rt△ABM中，利用勾股定理求出AB的长，进而求出AC，CD，AD的长，然后根据平行线和等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠DAC，再利用圆内接四边形的性质可得∠AED＝∠ABC，从而可得∠AED＝∠DAC，进而可证△DAE∽△DCA，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接AO并延长交BC于点M，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AM是BC的垂直平分线，
∴∠AMB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AMB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴DA是⊙O切线；
（2）解：∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴∠BAC＝2∠BAM，
∵∠BOM＝2∠BAM，
∴∠BOM＝∠BAC，
∵cs∠BAC＝，
∴cs∠BOM＝，
在Rt△BOM中，OB＝5，
∴OM＝OB•cs∠BOM＝5×＝3，
∴BM＝＝＝4，
∴AM＝AO+OM＝8，BC＝2BM＝8，
在Rt△ABM中，AB＝＝＝4，
∴AB＝AC＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝4，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠DAC，
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠AEC+∠AED＝180°，
∴∠AED＝∠ABC，
∴∠AED＝∠DAC，
∵∠D＝∠D，
∴△DAE∽△DCA，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝，
∴DE的长为．
25．（2022•沙市区模拟）如图，PA是以AC为直径的半圆O的切线，B是半圆O上的一点，连接PB并延长交AC的延长线于点M，连接AB，∠APB＝2∠BAC．
（1）求证：PB是半圆O的切线；
（2）若AC＝6，tan∠AMP＝，求BM和AB的长．
【分析】（1）连接OB，先根据切线的性质可得∠OAP＝90°，从而可得∠P+∠M＝90°，再利用已知和圆周角定理可得∠BOC＝∠APB，从而可得∠BOC+∠M＝90°，然后利用三角形内角和定理可求出∠OBM＝90°，即可解答；
（2）连接BC，在Rt△OBM中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理可求出BM＝4，OM＝5，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC＝90°，从而可得∠BAC+∠ACB＝90°，然后利用等腰三角形的性质，以及等角的余角相等可得∠BAC＝∠CBM，从而可证△MBC∽△MAB，进而利用相似三角形的性质可得＝，最后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵PA与半⊙O相切于点A，
∴∠OAP＝90°，
∴∠P+∠M＝90°，
∵∠APB＝2∠BAC，∠BOC＝2∠BAC，
∴∠BOC＝∠APB，
∴∠BOC+∠M＝90°，
∴∠OBM＝180°﹣（∠BOC+∠M）＝90°，
∵OB是半⊙O的半径，
∴PB是半圆O的切线；
（2）解：连接BC，
在Rt△OBM中，OB＝AC＝3，tan∠AMP＝，
∴BM＝＝＝4，
∴OM＝＝＝5，
∴AM＝AO+OM＝8，
∵AC是半⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠CBM+∠OBC＝90°，
∴∠BAC＝∠CBM，
∵∠M＝∠M，
∴△MBC∽△MAB，
∴＝＝＝，
∴AB＝2BC，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴5BC2＝36，
∴BC＝或BC＝﹣（舍去），
∴AB＝2BC＝，
∴BM的长为4，AB的长为．
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