初中数学沪科版（2024）七年级上册4.4 角课时练习

这是一份初中数学沪科版（2024）七年级上册4.4 角课时练习，文件包含沪科版数学七年级上册专题68期末专项复习之直线与角十六大必考点原卷版doc、沪科版数学七年级上册专题68期末专项复习之直线与角十六大必考点解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共130页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc30438" 【考点1 直线、射线、线段的条数】 PAGEREF _Tc30438 \h 1
\l "_Tc21414" 【考点2 双中点求线段问题】 PAGEREF _Tc21414 \h 2
\l "_Tc12495" 【考点3 线段的等分点问题】 PAGEREF _Tc12495 \h 3
\l "_Tc21061" 【考点4 线段动点的定值计算】 PAGEREF _Tc21061 \h 4
\l "_Tc18822" 【考点5 线段中的参数表示(比例关系)问题】 PAGEREF _Tc18822 \h 5
\l "_Tc32135" 【考点6 剪绳子(端点重合)问题】 PAGEREF _Tc32135 \h 7
\l "_Tc20005" 【考点7 动点中线段和差问题】 PAGEREF _Tc20005 \h 8
\l "_Tc10397" 【考点8 线段的长短比较】 PAGEREF _Tc10397 \h 9
\l "_Tc15785" 【考点9 时针和分针重合次数与时间】 PAGEREF _Tc15785 \h 10
\l "_Tc13526" 【考点10 两定角、双角平分线与角度关系】 PAGEREF _Tc13526 \h 11
\l "_Tc335" 【考点11 线段、角的规律问题】 PAGEREF _Tc335 \h 13
\l "_Tc18200" 【考点12 角度的翻折问题】 PAGEREF _Tc18200 \h 14
\l "_Tc28816" 【考点13 两块三角板旋转问题】 PAGEREF _Tc28816 \h 16
\l "_Tc20063" 【考点14 三条线旋转与角度的关系】 PAGEREF _Tc20063 \h 18
\l "_Tc1598" 【考点15 余角和补角的性质】 PAGEREF _Tc1598 \h 20
\l "_Tc2801" 【考点16 用尺规作角、线段】 PAGEREF _Tc2801 \h 22
【考点1 直线、射线、线段的条数】
【例1】（2022·辽宁锦州·七年级期末）如图，C，D是线段AB上的点，若AB=8，CD=2，则图中以C为端点的所有线段的长度之和为 ______．
【变式1-1】（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）阅读并填空：
问题：在一条直线上有，，，四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？
要解决这个问题，我们可以这样考虑，以为端点的线段有，，3条，同样以为端点，以为端点，以为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有______条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有______条线段；若在一条直线上有个点，则这条直线上共有______条线段．
知识迁移：若在一个锐角内部画2条射线，，则这个图形中总共有______个角；若在内部画条射线，则总共有______个角．
学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备______种不同的车票．
【变式1-2】（2022·北京通州·七年级期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，若直线l经过3枚颜色相同的棋子，则这样的直线共有_____条．
【变式1-3】（2022·黑龙江·抚远市第三中学七年级期末）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定28条直线，则n的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【考点2 双中点线段问题】
【例2】（2022·福建泉州·七年级期末）在一条直线上依次有、、、四点．若点是线段的中点，点是线段的中点，则有（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2022·山东东营·期末）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．
(1)若线段AB＝a，CE＝b且，求a，b的值；
(2)在（1）的条件下，求线段CD的长，
【变式2-2】（2022·山东潍坊·七年级期末）已知点在直线上，点，分别为，的中点．
(1)如图所示，若在线段上，厘米，厘米，求线段，的长；
(2)若点在线段的延长线上，且满足厘米，请根据题意画图，并求的长度（结果用含的式子表示）．
【变式2-3】（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）一条直线上有，，三点，，，点，分别是，的中点，则______．
【考点3 线段的等分点问题】
【例3】（2022·吉林白城·七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为－10，点B表示的数为2．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，P、Q同时出发，设运动时间为t（t＞0）秒，解答下列问题．
（1）数轴上点P表示的数为 ，点Q表示的数为 （用含t的代数式表示）；
（2）当点P表示的数和点Q表示的数互为相反数时，求t的值；
（3）点P追上点Q时，求t的值；
（4）若点B恰好是线段PQ的3等分点时，t的值为 ．
【变式3-1】（2022·内蒙古巴彦淖尔·七年级期末）如图，点C在线段AB上，点D是线段AC的中点，点C是线段BD的四等分点．若，则线段AB的长为______．
【变式3-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB．
（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______；
（2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．
①当点D在线段AB上运动，求的值；
②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．
【变式3-3】（2022·辽宁锦州·七年级期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN＝___________；
(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长；
③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________；
【考点4 线段动点的定值计算】
【例4】（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足．
(1)如图1，求线段AB的长；
(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；
(3)如图2，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值．
【变式4-1】（2022·湖北孝感·七年级期末）如图，已知数轴上点表示的数为9，点表示的数为-6，动点从点出发，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，
(1)数轴上点表示的数为__________（用含的式子表示）
(2)当为何值时，？
(3)若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由．
【变式4-2】（衢州华茂外国语学校七年级期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．
例如，点C是AB的中点时，即，则；
反之，当时，则有．
因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
【理解与应用】
(1)如图，点C在线段AB上．若，，则________；
若，则________AB．
【拓展与延伸】
(2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________；
②t为何值时，．
【变式4-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【考点5 线段中的参数表示(比例关系)问题】
【例5】（2022·浙江舟山·七年级期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝ ．
【变式5-1】（2022·广西河池·七年级期末）如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．
(1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长；
(2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点．
(3)若，是数轴上的一点，且，求的值．
【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【变式5-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ （填空）
（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【考点6 剪绳子(端点重合)问题】
【例6】（2022·全国·七年级专题练习）把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ）
A．B．C．或D．或
【变式6-1】（2022·全国·七年级课时练习）将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（ ）
A．37B．36C．35D．34
【变式6-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，将一股标有0～60均匀刻度的绳子铺平后折叠(绳子无弹性)，使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分某处剪断，将绳于分为A，B，C三段若这三段的长度的比为3：2：1，则折痕对应的刻度是__________．
【变式6-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．

（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在处．
①如图2，若恰好重合于点O处，MN= cm，
②如图3，若点落在的左侧，且=20cm，求MN的长度；
③若=ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在处，在重合部分N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．
【考点7 动点中线段和差问题】
【例7】（2022·全国·七年级阶段练习）已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；
(2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长；
(3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值．
【变式7-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
【变式7-2】（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期末）在数轴上，点为原点，点表示的数为9，动点，在数轴上移动（点在点右侧），总保持（大于0且小于4.5），设点表示的数为．
(1)如图，当动点，在线段上移动时，
①若，且为中点时，则点表示的数为__________，点表示的数为__________；
②若，求多项式的值；
(2)当线段在射线上移动时，且，求（用含的式子表示）．
【变式7-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
（1）则OA＝ cm，OB＝ cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．
①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为 ；此时，Q点所到的点表示的数为 ．（用含t的代数式表示）
②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．
【考点8 线段的长短比较】
【例8】（2022·陕西·延安市实验中学七年级期末）如图，已知在三角形ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作一条线段EF，使EF的长等于a+b，并比较线段EF与线段AB的长短．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【变式8-1】（2022·全国·七年级课时练习）为比较两条线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则( )
A．AB＜CDB．AB＞CDC．AB＝CDD．以上都有可能
【变式8-2】（2022·浙江·衢州华茂外国语学校七年级期末）如图，已知AC=BD，则AB与CD之间的大小关系是( )
A．AB>CD.B．AB=CD.C．AB【变式8-3】（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，、、、四点在同一直线上．
(1)若．
①比较线段的大小：________（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②若，且，则的长为________；
(2)若线段被点、分成了2：3：4三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长．
【考点9 时针和分针重合次数与时间】
【例9】（2022·江苏苏州·七年级期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，如果时间从下午2点整到下午4点整，钟面角为90°的情况有（ ）
A．有一种B．有二种C．有三种D．有四种
【变式9-1】（2022·全国·七年级单元测试）根据所学知识完成题目：
（1）一个角的余角与补角的和是这个角的补角与余角的差的两倍，求这个角．
（2）从两点三十分时开始算起，钟表上的时针与分针经过多久第一次重合？
【变式9-2】（2022·全国·七年级单元测试）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：
(1)分针每分钟转了几度？
(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于？
(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于？
【变式9-3】（2022·江苏·射阳县实验初级中学七年级阶段练习）探究实验：《钟面上的数字》
实验目的：了解钟面上时针与分针在转动时的内在联系，学会用一元一次方程解决钟面上的有关数学问题，体会数学建模思想．
实验准备：机械钟（手表）一只
实验内容与步骤：
观察与思考：
（1）时针每分钟转动__°，分针每分钟转动__°．
（2）若时间为8：30，则钟面角为__°，（钟面角是时针与分针所成的角）
操作与探究：
（1）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处．再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻时针与分针再次重合？一天24小时中，时针与分针重合多少次？（一天中起始时刻和结束时刻时针与分针重合次数只算一次，下同）
（2）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处，再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻钟面角第一次为90°？一天24小时中，钟面角为90°多少次？
拓展延伸：
一天24小时中，钟面角为180°__次，钟面角为n°（0＜n＜180）____次．（直接写出结果）
【考点10 两定角、双角平分线与角度关系】
【例10】（2022·陕西西安·七年级期末）已知和三条射线在同一个平面内，其中平分角平分角，
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，若，直接用、表示；
(3)若、在同一平面内，且，平分角，平分角，直接写出用、表示．
【变式10-1】（2022·广东·正德中学七年级期末）多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．
(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；
(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．
【变式10-2】（2022·浙江宁波·七年级期末）【定义】如图1，平分，则称射线关于对称．
(1)【理解题意】如图1，射线关于对称且，则_______度；
(2)【应用实际】 如图 2，若在内部，关于对称， 关于对称， 求的度数；
(3)如图3, 若在外部，且关于对称，关于对称，求的度数；
(4)【拓展提升】 如图4， 若关于的边对称， ，求 ．（直接写出答案）
【变式10-3】（2022·湖北黄石·七年级期末）将一副直角三角板，，按如图1放置，其中与重合，，．
(1)如图1，点在线段的延长线上，求的度数；
(2)将三角板从图1位置开始绕点逆时针旋转，，分别为，的角平分线．
①如图2，当旋转至的内部时，求的度数；
②当旋转至的外部时，直接写出的度数．
【考点11 线段、角的规律问题】
【例11】（2022·重庆忠县·七年级期末）如图中∠AOB＝60°，图①中∠AOC1＝∠C1OB，图②中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OB，图③中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OC3＝∠C3OB，…，按此规律排列下去，前④个图形中的∠AOC1之和为( )
A．60°B．67°C．77°D．87°
【变式11-1】（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点
【变式11-2】（2022·全国·七年级）如图，已知，在内画一条射线时，则图中共有3个角；在内画两条射线时，则图中共有6个角；在内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在内画20条射线时，则图中角的个数是（ ）
A．190B．380C．231D．462
【变式11-3】（2022·云南昆明·七年级期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（ ）
A．B．C．D．
【考点12 角度的翻折问题】
【例12】（2022·山东德州·七年级期末）如图，一纸片沿直线AB折成的V字形图案，已知图中∠1=62°，则∠2的度数=_____．
【变式12-1】（2022·广西·上思县教育科学研究所七年级期末）下图所示的图形，长方形纸片沿AE折叠后，点与重合，且已知∠CED′=50º.则∠AED的是( )
A．60ºB．50ºC．75ºD．65º
【变式12-2】（2022·福建省福州第一中学七年级期末）在福州一中初中部第十二届手工大赛中，初一年段的小红同学用长方形纸带折叠出逼真的动物造型．其中有三个步骤如下：如图①，已知长方形纸带，，将纸带折叠成图案②，再沿折叠成图案③，则③中的的度数是( )
A．B．C．D．
【变式12-3】（2022·江西南昌·七年级期末）已知长方形纸片，点在边上，点在边上，将沿翻折到，射线与交于点.点在边上，将沿翻折到，射线与交于点.
（1）如图1，若点与点重合，直接写出以为顶点的两对相等的角，并求的度数；
（2）如图2，若点在点的右侧，且，，求与的度数；
（3）若点在点的左侧，且，求的度数（用含的代数式表示）.
【考点13 两块三角板旋转问题】
【例13】（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期末）【实践操作】三角尺中的数学．
(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，．
①若，则_________；若，则______；
②猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；
(2)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶，点A重合在一起，，则与的大小又有何关系，请说明理由；
(3)已知，（都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出与的大小关系：________．
【变式13-1】（2022·湖南长沙·七年级期末）（1）利用一副三角板可以画出一些特殊的角，在①135°，②120°，③75°，④50°，⑤35°，⑥15°，四个角中，利用一副三角板画不出来的特殊角是______；（填序号）
（2）在图①中，写出一组互为补角的两角为______；
（3）如图①，先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角的顶点与60°角的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上（图①），固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度（如图②），当OB平分时，求旋转角度．
【变式13-2】（2022·河南南阳·七年级期末）（1）如图1所示，将两块不同的三角尺（∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）的直角顶点C叠放在一起．
①若∠DCE＝25°，则∠ACB＝ ；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝ ．
②猜想∠ACB与∠DCE有何数量关系，并说明理由．
（2）如图2所示，若两个相同的三角尺的60°角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．
（3）已知∠AOB=α，∠COD＝β（α，β都是锐角），如图3所示，∠AOD与∠BOC有何数量关系，请直接写出结果，不说明理由．
【变式13-3】（2022·湖北随州·七年级期末）如图1，点O为线段MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边DO、BO在线段MN上，∠COD=∠AOB=90°．
(1)将图1中的三角板COD绕着点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若∠AOC=35°，则∠BOD=______；当∠AOC＜90°时猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并说明理由．
(2)将图1中的三角板COD绕着点O沿逆时针方向按每秒15°的速度旋转一周，三角板AOB不动，请问几秒时OD所在的直线平分∠AOB？
【考点14 射线旋转与角度的关系】
【例14】（2022·湖北武汉·七年级期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．
(1)如图1，求∠AOD+∠BOC的大小；
(2)如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小．
(3)如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值．
【变式14-1】（2022·新疆乌鲁木齐·七年级期末）图（1）所示，点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
(2)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（2）所示的位置，以（1）题思路探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由；
(3)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（3）所示的位置，直接写出∠AOC与∠DOE的度数之间的关系．
【变式14-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，OB、OC是∠AOD内部两条射线．
(1)若∠AOD和∠BOC互为补角，且∠AOD＝2∠BOC．求∠AOD及∠BOC的度数；
(2)如图2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分别作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及∠AON，请写出∠DOM、∠AON、∠BOC之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，已知∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，若将OB绕O点从OA出发以每秒6°逆时针旋转，OC绕O点从OD出发以每秒5°顺时针旋转，OB、OC同时运动；当OC运动一周回到OD时，OB、OC同时停止运动．若运动t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分线，则此时t的值为 （直接写出答案）．
【变式4-3】（2022·湖南岳阳·七年级期末）(1) 特例感知：如图①，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，线段AB在线段MN上运动(点A不超过点M，点B不超过点N)，点C和点D分别是AM，BN的中点．
① 若AM＝16cm，则CD＝ cm；
② 线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由．
(2) 知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．
① 若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD=_____________度．
② 请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由．
(3) 类比探究：如图③，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，，用含有k的式子表示的度数． (直接写出计算结果)
【考点15 余角和补角的性质】
【例15】（2022·山东·昌乐北大公学学校七年级阶段练习）已知：点O是直线AB上一点，过点O分别画射线OC，OE，使得．
（1）如图，OD平分．若，求的度数．请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）．
解：∵点O是直线AB上一点，
∴．
∵，
∴．
∵OD平分．
∴（ ）．
∴ °．
∵，
∴（ ）．
∵ ，
∴ °．
（2）在平面内有一点D，满足．探究：当时，是否存在的值，使得．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【变式15-1】（2022·福建·福州市秀山初级中学七年级阶段练习）如图1，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝40°，则∠DOE的度数为________°；
（2）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变， 探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系：_________________________．
【变式15-2】（2022·浙江·七年级专题练习）如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．
(1)写出以为顶点的相等的角；
(2)若，求度数；
(3)写出与之间所具有的数量关系；
(4)当三角板绕点旋转时，你所写出的（3）中的关系是否变化？请说明理由．
【变式15-3】（2022·河北石家庄·七年级期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角板DOE的直角（∠DOE＝90°）顶点放在点O处．
(1)将直角三角板DOE的一边OD放在射线OB止，如图1所示，则∠COE的度数为_______________________，其补角的度数为________________________；
(2)将直角三角板DOE绕点O转动到如图2所示的位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE之间的数量关系，并说明理由；
(4)将直角三角板DOE绕点O转动，OD始终在∠BOC的外部，且∠BOD＝80°，请直接写出∠COE的度数．
【考点16 用尺规作角、线段】
【例16】（2022·上海市罗南中学阶段练习）已知线段、，且（如图），画一条线段，使它等于．（不写画法或作法，保留画图或作图痕迹）
【变式16-1】（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D．根据下列语句，完成尺规作图：
(1)画直线AC；
(2)画射线BD交直线AC于点O；
(3)连接BC，并延长至点E，使CE＝2BC．
【变式16-2】（2022·全国·七年级专题练习）（2022·山东青岛市·七年级期末）作图题：已知：∠α、∠β、 求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β
【变式16-3】（2022·山东·东阿县实验中学八年级阶段练习）已知：线段，，．求作：，使，，．（注意：依据答题卡中的图示作图）