2024-2025学年天津市高三上学期期中考试数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年天津市高三上学期期中考试数学质量检测试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知平面，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 6
7. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4cm，圆柱的底面圆直径为24cm，则该灯笼的体积为（取）（ ）
A B. C. D.
8. 函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则（ ）
A.
B. 是函数图象的一条对称轴
C. 时，函数单调递增
D. 的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是
9. 设函数的定义域为，满足，且当x∈0,2时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题
10. i为虚数单位，若复数，则______
11. 的值为______.
12. 已知函数为偶函数，其图象在点1,f1处切线方程为，记的导函数为f′x，则______．
13. 已知正数，满足，则的最小值为______．
14. 折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上（包含端点），则__________；的取值范围是__________．
15. 已知定义域为的函数，且满足，函数，若函数有7个零点，则k的取值范围为___________；若方程（）的解为、、、，则的取值范围为___________
三、解答题
16. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知．
（1）求角的大小；
（2）求的值；
（3）求的值．
17. 如图，平面，，点分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角正弦值；
（3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离.
18. 记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）求证：对于且，．
19. 已知数列前n项和．若，且数列满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求证：数列的前n项和；
（3）若对一切恒成立，求实数的取值范围．
20. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数存在正零点，
（i）求的取值范围；
（ii）记为的极值点，证明.
2024-2025学年天津市高三上学期期中考试数学质量检测试卷
一、选择题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解.
【详解】由，得到，即，
又，所以，
故选：B.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】分别得出及时的与的关系，结合充分条件与必要条件定义即可判断.
【详解】由函数在上单调递增，故当时，有，
若，则，
故“”是“”充分不必要条件.
故选：A.
3. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】通过函数的奇偶性可排除AC，通过时函数值的符号可排除D，进而可得结果.
【详解】令，其定义域为关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，即图像关于原点对称，故排除AC，
当时，，，，即，故排除D，
故选：B.
4. 已知平面，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【正确答案】D
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
【详解】因为，
对于A，若，则有可能在平面内，故A错误；
对于B，若，又，则，又，所以或在平面内，故B错误；
对于C，若，则有可能与平交但不垂直，故C错误；
对于D，若，则，又，则，故D正确．
故选：D
5. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据给定的条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助进行比较判断选项.
【详解】，，
而，则，即，所以.
故选：B
6. 已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 6
【正确答案】A
【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解.
【详解】因为数列均为等差数列，可得，
且，又由，可得．
因此.
故选：A．
7. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4cm，圆柱的底面圆直径为24cm，则该灯笼的体积为（取）（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由勾股定理求出，则可得，分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间完整的球的体积与球缺的体积即可得..
【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为，则，
由圆柱的底面圆直径为24cm，则有，
即，可得，则，
.
故选：A．
8. 函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则（ ）
A.
B. 是函数图象的一条对称轴
C. 时，函数单调递增
D. 的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是
【正确答案】C
【分析】由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由最低点求出的值，可得函数的解析式，再利用三角函数的图像和性质，得出结论．
【详解】解：函数，的图象的一个最低点是，
距离点最近的对称中心为，
，，，
，，解得，，因为，
令，可得，
所以函数，故A错误；
，故函数关于对称，故B错误；
当时，，函数单调递增，故C正确；
把的图象向右平移个单位后得到的图象，
若是奇函数，则，，即，，
令，可得的最小值是，故D错误，
故选：C
9. 设函数的定义域为，满足，且当x∈0,2时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】由题设条件画出函数的简图，由图象分析得出的取值范围.
【详解】当时，，
则，
即当时，，
同理当时，；
当时，.
以此类推，当时，都有.
函数和函数在上的图象如下图所示：
由图可知，，，解得，
即对任意，都有，即的取值范围是.
故选：D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题
10. i为虚数单位，若复数，则______
【正确答案】
【分析】先利用复数除法运算化简复数，然后代入模的运算求解即可.
【详解】因为，所以.
故
11. 的值为______.
【正确答案】11
【分析】进行对数和分数指数幂的运算即可．
【详解】原式．
故11．
12. 已知函数为偶函数，其图象在点1,f1处的切线方程为，记的导函数为f′x，则______．
【正确答案】
【分析】根据导数的几何性质求解即可.
【详解】因为为偶函数，所以，
两边求导，可得．
又在处的切线方程为：，所以．
所以．
故
13. 已知正数，满足，则的最小值为______．
【正确答案】
【分析】由已知变形得，，然后结合基本不等式可求．
【详解】解：因为，
所以，
所以，
当且仅当且，即，时取等号，
则，
故的最小值．
故．
14. 折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上（包含端点），则__________；的取值范围是__________．
【正确答案】 ①. ②.
【分析】由图形特征，以O为坐标原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，由点坐标写出向量坐标，利用平面向量的坐标运算，即可得到结果.
【详解】以O为坐标原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，
由，，得，
则，所以；
设，，则

，
由，得，，，
所以的取值范围是.
故；
15. 已知定义域为的函数，且满足，函数，若函数有7个零点，则k的取值范围为___________；若方程（）的解为、、、，则的取值范围为___________
【正确答案】 ①. ②.
【分析】对于第一空，ℎx有7个零点等价于函数y=fx的图象与y=gx的图象有7个交点，数形结合后可求的取值范围；对于第二空，根据图像的局部对称性可得 ，根据对数的运算性质可得，消元后利用单调性可求的范围.
【详解】因为f−x=−fx，所以函数为奇函数，函数的图象如图所示，
ℎx有7个零点等价于函数y=fx的图象与y=gx的图象有7个交点，
当直线与相切时，
则的判别式即（负值舍去），
此时切点横坐标为，
当直线过时，，
结合下图可得当于函数y=fx与y=gx有7个交点，.
若方程（）有四个不同的解，
由题意及图象知，，
由题意，
∴，
∴，即，
∴，∴，
又，∴，
因为在上均为单调递增，
故在上单调递增，
∴，∴.
故，.
思路点睛：函数零点的性质讨论，应根据图象的特征结合运算性质找到不同零点之间的相互关系后将目标代数式转化为单变量函数，再结合函数的单调性或导数可求相应的范围.
三、解答题
16. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知．
（1）求角的大小；
（2）求的值；
（3）求的值．
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）
【分析】（1）根据余弦定理即可求出的大小，
（2）根据正弦定理即可求出的值，
（3）根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．
【小问1详解】
由余弦定理以及，
则，
，
；
【小问2详解】
由正弦定理，以及，，，可得；
【小问3详解】
由，及，可得，
则，
，
．
17. 如图，平面，，点分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
（3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离.
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【分析】（1）连接，证得，利用用线面判定定理，即可得到平面.
（2）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.求得平面和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
（3）设，则，从而，由（2）知平面的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，即可求解．
【小问1详解】
连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形.
由点和分别为和的中点，可得且，
因为为CD的中点，所以且，
可得且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面.
小问2详解】
因为平面，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.
依题意可得，.
，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，.
，于是.
所以，二面角的正弦值为.
【小问3详解】
设，即，则.
从而.
由（2）知平面的法向量为，
由题意，，即，
整理得，解得或，
因为所以，所以.
则N到平面的距离为.
18. 记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）求证：对于且，．
【正确答案】（1），；
（2）；
（3）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，求出结合等差等比数列定义求出通项.
（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即得.
（3）求出，借助不等式性质放缩，再利用裂项相消法求和即得.
【小问1详解】
在等差数列中，，解得，而，
则数列公差，通项公式为，
由，得，令等比数列的公比为，
由，得，解得，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以数列的前项和
.
【小问3详解】
由（1）知，
当时，，
所以
.
19. 已知数列前n项和．若，且数列满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求证：数列的前n项和；
（3）若对一切恒成立，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【分析】（1）由与的关系，仿写作差后求出数列的通项，再代入所给方程求出数列的通项即可；
（2）等差与等比数列相乘求和，采用错位相减法，乘以等比数列的公比，再求和即可；
（3）先证明数列为递减数列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可；
【小问1详解】
由题意知，
当时，，所以．
当时，，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
因为，所以，
所以，令，可得，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
【小问2详解】
由（1）知，
所以，
所以，
两式相减，可得
，
所以，所以．
【小问3详解】
若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于．
因为，
所以，所以数列的最大项为和，且．
所以，即，
解得或，即实数的取值范围是．
20. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数存在正零点，
（i）求的取值范围；
（ii）记为的极值点，证明.
【正确答案】（1）单调递减区间是，无单调递增区间
（2）（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）借助导数正负即可得函数的单调性；
（2）（i）求导后借助导数分、及讨论函数的单调性，再结合零点的存在性定理计算即可得；（ii）利用零点定义与极值点定义可得，代入计算可得，再借助时，，即可得，再计算并化简即可得.
【小问1详解】
由已知可得的定义域为，
且，
因此当时，，从而f′x