浙教版数学八上期末专题训练专题09 勾股定理及其逆定理压轴题九种模型全攻略（2份，原卷版+解析版）

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考点一 用勾股定理解三角形 考点二 以直角三角形三边为边的图形面积
考点三 勾股定理与网格问题 考点四 勾股定理与折叠问题
考点五 判断三边能否构成直角三角形 考点六 在网格中判断直角三角形
考点七 图形上与已知两点构成直角三角形的点 考点八 利用勾股定理逆定理求解
考点九 勾股定理逆定理解决实际问题
典型例题

考点一 用勾股定理解三角形
例题：（2022·湖南衡阳·八年级期末）在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，则AC的长应是（ ）
A．5B．C．5或D．5或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意分为直角边和斜边两种情况讨论，根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：， AB＝3，BC＝4，
①为直角边时，，
②为斜边时，，
故选C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·福建省福州屏东中学八年级期中）已知一个直角三角形的两边分别为3和4，则第三边的长可以是__________．（写出一个即可）
【答案】（或5）
【解析】
【分析】
根据题意分情况讨论，进而即可求解．
【详解】
解：一个直角三角形的两边分别为3和4，
①当4为直角边长，则第三边为斜边，第三边的长为．
②当4为斜边长，则第三边为直角边，第三边的长为．
故答案为：（或5）．
【点睛】
本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的长．
【答案】18
【解析】
【分析】
根据题意，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出，再结合BC＝3AD即可得出结论．
【详解】
解：∵CD是△ABC中AB边上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AC＝10，CD＝8，由勾股定理得：AD＝＝6，
∴BC＝3AD＝18，
∴BC的长为18．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出AD的长是解题的关键，属于基础题．
考点二 以直角三角形三边为边的图形面积
例题：（2022·天津二中八年级期中）如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，其中两个正方形的面积为144，225，那么正方形A的面积是（ ）
A．225B．144C．81D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得出∆EFG为直角三角形，然后利用勾股定理即可得出结果．
【详解】
解：如图所示，∆EFG为直角三角形，
∴，
∴正方形A的面积为81，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查勾股定理的应用，理解题意是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·广东阳江·八年级期中）如图，直角三角形三边上的半圆面积之间的关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由勾股定理求出三边之间的关系，根据圆的面积公式求出三个半圆的面积，即可得出答案．
【详解】
解：如图，
由勾股定理得：，
，
，
同理，，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是勾股定理及圆的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．
2．（2022·全国·八年级）如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为______．
【答案】15
【解析】
【分析】
根据勾股定理和正方形的性质即可得到结论．
【详解】
解：由勾股定理得，正方形D的面积=正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C面积=2+8+5=15，
故答案为：15．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
考点三 勾股定理与网格问题
例题：（2022·福建福州·八年级期末）在边长为1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D、E在格点上，长度是的线段是（ ）
A．ABB．ACC．ADD．AE
【答案】B
【解析】
【分析】
利用勾股定理求得各线段的长，即可求解．
【详解】
解：AB=，
AC=，
AD=，
AE=，
综上，只有B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，正确计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：由勾股定理得：AC=，
∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，
∴AC•BD=4，
∴×2BD=4，
∴BD=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积．
【答案】周长为；面积为26
【解析】
【分析】
根据勾股定理分别求出AB，BC，CD，AD的长即可得到四边形ABCD的周长；根据四边形ABCD的面积等于其所在的长方形面积减去周围四个三角形面积求解即可．
【详解】
解：根据勾股定理得，，， ，
故四边形ABCD的周长：；
四边形ABCD的面积：．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理与网格问题，熟知勾股定理是解题的关键．
考点四 勾股定理与折叠问题
例题：（2022·湖北咸宁·八年级期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A．4 cmB．4.75 cmC．6 cmD．5cm
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理可求出AB的长，由AB的长度可求出BE的长度．
【详解】
解：∵AC＝6 cm、BC＝8 cm，
在△ABC中，由勾股定理可知：=10，
∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，
故E为AB的中点，
∴AE=BE=5，
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，折叠变换，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级）如图，在中，．将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的周长为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理求出AC=5，根据折叠得到B’C=2，求出三角形的周长．
【详解】
解：Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC= ,
由折叠知AB’=AB=3，
∴B’C=AC-AB’=5-3=2，
∴△B’EC的周长为B’C+EC+B’E=B’C+EC+BE=B’C+CB=2+4=6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查折叠的性质以及勾股定理，解决问题的关键是分清折叠前后的对应的关系．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设，则，由折叠的性质可知，，在中利用勾股定理表示出，在中，利用勾股定理列方程求解．
【详解】
解：设，则，
由折叠的性质可知，，，．
在中，，
．
在中，，即，
解得．
的长为．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
考点五 判断三边能否构成直角三角形
例题：（2022·广西柳州·八年级期中）以下列各组数为三边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，6D．5，6，7
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那这个三角形就是直角三角形，逐一判断即可．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故选项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，已知三边的长，只需要利用逆定理判断即可．
【变式训练】
1．（2022·江西萍乡·八年级开学考试）若的三边长a，b，c满足，则是____________．
【答案】等腰直角三角形
【分析】根据平方的结果是非负数、绝对值的结果为非负数，再根据勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定进行判定即可．
【详解】解：∵
又∵、
∴、
∴、
∴是等腰直角三角形
故答案为：等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等知识点，解答此题的关键是得出、．
2．（2022·广东·东莞市松山湖莞美学校八年级期中）已知△ABC的三边a，b，c满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC是 _____三角形．
【答案】直角
【分析】先根据非负数的性质求出a、b、c的值，然后根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】∵(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
考点六 在网格中判断直角三角形
例题：（2022·湖北·谷城县教学研究室八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的项点上），则图中的度数为___________．
【答案】90°##90度
【分析】先利用勾股定理求出AB2，BC2，AC2，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，即可解答．
【详解】解：由题意得：AB2=22+42=20，
CB2=22+12=5，
AC2=32+42=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90°，
故答案为：90°．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·吉林松原·八年级期末）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为___．
【答案】45°
【分析】根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断△ABC是等腰直角三角形，进而得出结论．
【详解】解：如图，连接AC．
由题意，AC＝ ，BC＝，AB＝，
∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
2．（2022·青海西宁·八年级期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△的顶点都在格点上，．
(1)__________；
(2)判断△的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)直角三角形，理由见解析
【分析】(1)根据勾股定理，已知直角三角形的两条直角边可以求出斜边长．
(2)根据勾股定理的逆定理可判定△是直角三角形．
（1）由图知∴故答案为
（2）△是直角三角形， 理由如下 ： ，，∴，又∵∴∴△是直角三角形（如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）
【点睛】本题主要考查了勾股定理和它的逆定理.根据 勾股定理，已知直角三角形的两边长可以求出第三条边长．而勾股定理的逆定理的作用是：已知一个三角形的三边长，判定这个三角形是否为直角三角形，注意运用时不要弄混淆．
考点七 图形上与已知两点构成直角三角形的点
例题：（2022·全国·八年级专题练习）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个．
【答案】8
【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则；（2）AB为直角边，或；
【详解】（1）当AB为斜边时，点到直线的距离为，即AB边上的高为，符合要求的C点有4个，如图：
（2）当AB为直角边时，或，符合条件的点有4个，如图；
符合要求的C点有8个；
故答案是8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形．
【答案】 或5 4或10
【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可．
【详解】解：如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得：t=10．
故答案为：或5；4或10．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．
【答案】(1)3cm
(2)t=1或
(3)t=或2或
【分析】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可；
（2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可；
（3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可．
(1)
解：∵在△ABC中，，，，
∴BC=；
(2)
解：由题意可知，分两种情况：①；②，
设BP=3tcm，∠B≠90°：
①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合，
∴BP = BC，即3t=3，
∴；
②当∠PAB=90°时，如下图所示：
∴CP=BP－BC=（3t－3）cm，
∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=，
综上所述：当为直角三角形时，t=1或；
(3)
解：由题意可知，分三种情况：①；②；③，
①当时，如图所示：
；
②当时，如图所示：
根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线，
，
；
③当时，如图所示：
设，则，
在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得，
，
，
综上所述：t=或2或．
【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键．
考点八 利用勾股定理逆定理求解
例题：（2022·河北衡水·八年级期中）如图，已知在中，，．
（1）的度数为_____；
（2）若是的中点，则的度数为_____．
【答案】 ##90度 ##60度
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得结论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可证得为等边三角形，从而得到的度数．
【详解】（1）∵在中，，，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，且．
故答案为：．
（2）∵在中，是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜边中线的性质、等边三角形的性质与判定等知识，能够根据勾股定理的逆定理判定出直角三角形是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB = 3，BC = 4，CD = 8，AD = ，∠ACD = 90°，求∠B的度数．
【答案】∠B=90°
【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，进而得到∠B的度数．
【详解】解：∵∠ACD=90°，CD=8，AD=，
∴AC==5，
在△ABC中，∵AB2+BC2=32+42=25=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠B=90°．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，能根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状是解答此题的关键．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，CD＝12
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求AC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论．
（2）根据勾股定理列方程即可得到结论．
（1）∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，∴，∴，∴CD⊥AB．
（2）∵AB＝AC，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
考点九 勾股定理逆定理解决实际问题
例题：（2022·湖南张家界·八年级期中）已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要300元，求一共需要投入多少元．
【答案】10800元
【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得△DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．
【详解】解：连接BD，
在Rt△ABD中，，
在△CBD中，，
而，
即，
∴∠DBC＝90°，
．
所以需费用（元）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．
【变式训练】
1．（2022·四川广安·八年级期末）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图为该空地的示意图，已知，，，，．现计划在空地上种草，若每平方米草地造价30元，在这块空地上全部种草的费用是多少元？
【答案】1080元
【分析】连接AC，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
【详解】解：如图，连接AC．
∵∠B=90°，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=42+32=52，
在△ACD中，CD2=132，AD2=122，
∵52+122=132，
∴AC2+AD2=CD2，
∴∠DAC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=36（平方米），
36×30=1080（元），
答：这块地全部种草的费用是1080元．
【点睛】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
2．（2022·四川宜宾·八年级期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB=BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米.
(1)判断△ACM的形状，并说明理由；
(2)求公路AB的长.
【答案】(1)△ACM是直角三角形，见解析
(2)原来的路线AB的长为16.9千米．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行解答即可；
（2）根据勾股定理进行解答即可．
（1）解：（1）△ACM是直角三角形， 理由是：在△ACM中，∵AM2+CM2=122+52=169，AC2=169， ∴AM2+CM2=AC2，∴△ACM是直角三角形且∠AMC=90°；
（2）设BC=AB=x千米，则BM=BC-CM=（x-5）千米，在Rt△AMB中，由已知得AB=x，BM=x-5，AM=12，由勾股定理得：AB2=BM2+AM2，∴x2=（x-5）2+122， 解这个方程，得x=16.9，答：原来的路线AB的长为16.9千米．
【点睛】本题考查勾股定理及它的逆定理，解题关键是掌握相关定理的内容．
3．（2022·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】绿化这片空地共需花费17100元
【分析】连接AC，直接利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面积求法得出答案．
【详解】解：连接AC，如图
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2＋AC2＝DC2，
∴∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2），
S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2），
∴150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．
课后训练
一、选择题
1．（2022·黑龙江·林口县教师进修学校八年级期末）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2B．BC∶AC∶AB＝5∶12∶14
C．BC＝1，AC＝2，AB＝D．BC＝3，AC＝4，AB＝5
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，即可判断A；先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等，即可判断选项C、选项D，设BC＝5k，AC＝12k，AB＝14k， AB2，可判断选项B．
【详解】解：A．∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、BC：AC：AB＝5：12：14，
设BC＝5k，AC＝12k，AB＝14k，
∴，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵BC＝1，AC＝2，AB＝，
∴，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，
∴
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，常用判定方法有：有一个内角为直角；或勾股定理的逆定理．
2．（2022·宁夏·吴忠市第三中学八年级期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】B
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得，，求得，于是得到∠PDB=90°，根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，延长AP交格点于D，连接BD，
则，，
∴，
∴∠PDB=90°，则△DPB为等腰直角三角形，
∴∠DPB=45°，
∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
3．（2022·西藏昂仁县中学八年级期中）已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ）
A．4B．16C．D．4或
【答案】D
【分析】此题要分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．
【详解】解：当3和5都是直角边时，第三边长为：；
当5是斜边长时，第三边长为：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
4．（2022·广东·广州市五中附属初级中学八年级期中）若、、满足，则、、为边的三角形面积是（ ）
A．B．C．D．以上答案均不对
【答案】C
【分析】根据非负数的性质求得的值，根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角，根据直角三角形的面积公式即可求解．
【详解】，
，，，
解得，，，
，
以、、为边的三角形为直角三角形，且为直角边，
、、为边的三角形面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，；平方的非负性，勾股定理的逆定理，求得的值是解题的关键．
5．（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校八年级期中）如图，Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，∠ACB=90°，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积等于（ ）cm2
A．18B．24C．36D．48
【答案】B
【分析】阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积．
【详解】解：S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC-直径为AB的半圆的面积
=
=
=
=
= cm2，
故选：B．
【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算公式和勾股定理的应用，阴影部分可以看作是几个规则图形的面积的和或差，学会把不规则图形转化为规则图形是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·西藏昂仁县中学八年级期中）如图，在长方形ABCD中，对角线BD＝5，BC＝4，则△ABD的周长＝______．
【答案】12
【分析】根据长方形的性质求出AB，利用勾股定理求出CD，从而得到结果．
【详解】解：在长方形ABCD中，∠C=90°，AB=CD，AD=BC=4，
∴CD===3，
∴AB=3，
∴△ABD的周长为：AB+AD+BD=3+4+5=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理求出CD的长．
7．（2022·河南·灵宝市实验中学八年级阶段练习）如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为1，，则数轴上点A所表示的数为______．
【答案】##
【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段BC的长度，然后根据AB=CB即可求出BC的长度，接着可以求出数轴上点A所表示的数．
【详解】解：∵BC=，
则AB=BC=，
∵A在原点右侧．
则点A所表示的数是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，首先正确根据数在数轴上的位置判断数的符号，再根据运算法则进行判断．
8．（2022·新疆塔城·八年级期末）如图，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是_______．
【答案】##36平方米
【分析】连接AC，根据勾股定理，求得AC，再根据勾股定理的逆定理，判断 是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和
【详解】解：连接AC，如图，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°．
∵AB=3米，BC=4米，
∴AC==5米．
∵CD=12米，DA=13米，
∴，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD为直角三角形，
∴草坪的面积等于．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．构造直角三角形是解题关键．
9．（2022·宁夏·吴忠市第三中学八年级期中）如图有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________m．
【答案】10
【分析】由题意可构建直角三角形求出AC的长，过C点作CE⊥AB于点E，则四边形EBDC是矩形．BE=CD，AE长度可求，CE=BD,在Rt△AEC中,可根据勾股定理求出AC长．
【详解】
如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于点E，则四边形EBDC是矩形．
EB=CD=4m，EC=8m．
AE=AB－EB=10－4=6m．连接AC，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：
m，
故答案为10
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据实际问题，建立适当数学模型，运用数学知识求解．
10．（2021·河南·郑州枫杨外国语学校八年级阶段练习）动手操作：如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点A的对应点为F，当是直角三角形时，的长为______．
【答案】3或5##5或3
【分析】分，两种情况讨论，由勾股定理和折叠的性质可求解．
【详解】解：当时，
将沿直线折叠，点A的对应点为F，
，，
，，
，，
，
，
在中，．
，
，
当时，点与点重合时，，
，
，
，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠问题与勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·重庆·八年级期中）有一旅游景点在一条笔直河流的一侧，河边有两个码头，并且，由于某种原因，由到的路已经不通，为方便游客决定在河边点新建一个码头点，，在同一直线上，并新修一条笔直的公路，测得千米，千米，千米．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求原路线的长．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析
(2)原来的路线的长为千米
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）设千米，则千米，在中根据勾股定理解答即可．
（1）
是直角三角形，
理由是：在中，
，，
，
是直角三角形且；
（2）
设千米，则千米，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
．
解得，
答：原来的路线的长为千米．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理．
12．（2020·四川凉山·八年级阶段练习）如图，已知四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC，
(1)求证：；
(2)求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)四边形ABCD的面积为1+．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC，求出，根据勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，即；
（2）根据图形得出四边形ABCD的面积，再求出答案即可．
（1）
证明：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∵AB=1，BC=2，
∴AC=，
∵CD=2，AD=3，
∴，，
∴，
∴△ACD是直角三角形，
∴；
（2）
解：四边形ABCD的面积
=×AB×BC+×AC×DC
=×1×2+××2
=1+，
故答案为：1+．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
13．（2021·江西·崇仁县第二中学八年级阶段练习）如图，在△ABC与△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，EF⊥AB，AB＝DE．
(1)求证：BC＝DB；
(2)若BD＝6cm，求AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)3cm
【分析】（1）由，可得，由直角三角形两锐角互余，可得，由，由直角三角形两锐角互余可得，根据同角的余角相等可得，然后根据AAS判断，根据全等三角形的对应边相等即可得到；
（2）求出cm，由勾股定理可求出答案；
（1）
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（AAS），
∴；
（2）
解：∵，
∴，
∵E是BC的中点， cm，
∴cm．
∴cm，
∴（cm）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和勾股定理，解题关键是证明三角形全等，根据全等三角形的性质得出对应边相等，灵活应用相关定理是必备能力．
14．（2021·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校八年级阶段练习）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，
(1)求△ABC周长．
(2)证明△ABC是直角三角形．
(3)求△ABC面积．
【答案】(1)△ABC周长为；
(2)见解析
(3)△ABC面积为13．
【分析】（1）根据勾股定理分别求出AB、BC、AC的长，再根据三角形周长的定义即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC的形状；
（2）根据三角形面积公式求解即可．
（1）
解：由勾股定理可得，AC；
BC=；
AB=；
故△ABC的周长是；
（2）
证明：∵，
∴，
∴△ABC是直角三角形；
（3）
解：∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC面积==13．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的周长和面积，充分利用网格是解题的关键．
15．（2020·浙江宁波·八年级期中）如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求△ABP的周长．
(2)当P在AB边上时（不与A点重合），且△BCP为直角三角形，求t的值．
(3)问t满足什么条件时，△BCP为等腰三角形？
【答案】(1)
(2)7.2
(3)t的值为3或5.4或6或6.5
【分析】（1）根据题意可知．根据勾股定理可求出AC=4cm，从而求出AP= 2cm，进而利用勾股定理求出的长，最后由三角形周长公式求解即可；
（2）由题意可知只有当时符合题意，由等面积法可求出，再利用勾股定理可求出AP的长，从而求出t的值；
（3）分类讨论：①当点P在AC上，且时，②当点P在AB上，且时，③当点P在AB上，且时和④当点P在AB上，且时，分别计算出的长，即可求出t的值．
（1）
根据题意可知出发2秒后，点P在AC上，且，如图．
∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4cm，
∴AP=AC-CP=2cm，，
∴；
（2）
∵点P在AB边上，且不与A点重合，
∴只有当时符合题意，如图．
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（3）
分类讨论：①当点P在AC上，且时，如图，
∴此时，
∴；
②当点P在AB上，且时，如图，过点C作，
由（2）可知，
∴．
∵，
∴，
∴
∴；
③当点P在AB上，且时，如图，
∴，
∴，
∴；
④当点P在AB上，且时，如图．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
综上可知当t的值为3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形．
【点睛】本题考查三角形中的动点问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质．理解题意，正确作出图形，并利用分类讨论的思想是解题关键．