浙教版数学八上期末专题训练专题11 一元一次不等式压轴题七种模型全攻略（2份，原卷版+解析版）

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考点一 不等式的性质 考点二 一元一次不等式的定义
考点三 求一元一次不等式的解集 考点四 求一元一次不等式的整数解
考点五 已知一元一次不等式的解集或整数解求参数 考点六 列一元一次不等式
考点七 用一元一次不等式解决实际问题
典型例题

考点一 不等式的性质
例题：（2022·河南安阳·七年级期末）若，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可．
【详解】∵，
∴，故A正确，不符合题意；
，故B正确，不符合题意；
，故C正确，不符合题意；
，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查不等式的性质．掌握不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题关键．
【变式训练】
1．（2021·河北·定州市宝塔初级中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若a＜b，则a2＜b2B．若a＞|b|，则a＞b
C．若|a|＝|b|，则a＝bD．若|a|＞|b|，则a＞b
【答案】B
【分析】根据特殊值法，举出反例即可证明．
【详解】A．反例：﹣2＜﹣1，但是（﹣2）2＞（﹣1）2；选项说法错误，不符合题意；
B． a＞|b|，则a＞b；选项说法正确，符合题意；
C．反例：|﹣2|＝|2|，但是﹣2≠2；选项说法错误，不符合题意；
D．反例：|﹣2|＞|﹣1|，但是﹣2＜﹣1．选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的性质，在选择题中可以采用特殊值法，举出反例来进行快速判断．
2．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）下列四个命题中，错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 若，则，故该选项正确，不符合题意；
B. 若，则，故该选项正确，不符合题意；
C. 若，则，故该选项不正确，符合题意；
D. 若，则，故该选项正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
考点二 一元一次不等式的定义
例题：（2022·云南省楚雄天人中学八年级阶段练习）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．3x-3y0D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义（用不等号连接，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的式子叫做一元一次不等式）逐项判断即可得．
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次不等式，则此项不符合题意；
B、没有不等号，不是一元一次不等式，则此项不符合题意；
C、是一元一次不等式，则此项符合题意；
D、未知数的次数是2，不是一元一次不等式，则此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·大庆市万宝学校八年级期末）下列不等式中，是一元一次不等式的有( )个．
①x＞﹣3；②xy≥1；③x2＜3；④ ﹣≤1；⑤＞1．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可．
【详解】解：根据一元一次不等式的定义，①x＞﹣3，④ ﹣≤1是一元一次不等式，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，熟知一元一次不等式应满足的条件是解答的关键．
2．（2022·重庆市育才中学七年级阶段练习）若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ）
A．-1B．-3C．-2D．-3或-1
【答案】B
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：∵，
∴且，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．
考点三 求一元一次不等式的解集
例题：（2021·福建省永春崇贤中学九年级阶段练习）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】；数轴见解析
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，然后在数轴上表示其解集即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得，
将解集表示在数轴上，如图，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确的计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·福建省福州第一中学九年级阶段练习）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：，
把解集在数轴上表示出来，如下图：
【点睛】本题主要考查了解一元一不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
2．（2021·宁夏·永宁县回民高级中学八年级期中）解下列不等式并把解集表示在数轴上．
(1)； (2)
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【分析】（1）先移项合并同类项，再系数化为1，即可求解；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，系数化为1，即可求解．
（1）
解：
移项合并同类项得：，
解得：，
把解集表示在数轴上，如图：
；
（2）
解：，
去分母得：，
去括号得：，
解得：
把解集表示在数轴上，如图：
．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，考核学生的计算能力，解题时注意不等式的两边同时乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
考点四 求一元一次不等式的整数解
例题：（2022·广东·惠东县多祝中学七年级期末）不等式-3≤5-2x的正整数解是___________．
【答案】1，2，3，4
【分析】不等式移项，合并，把x系数化为1，求出解集，确定出正整数解即可．
【详解】解：不等式-3≤5-2x，
移项得：2x≤5+3，
合并得：2x≤8，
系数化为1得：x≤4，
则不等式的正整数解为1，2，3，4．
故答案为：1，2，3，4．
【点睛】本此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）不等式1-2x＞x-5的非负整数解是________．
【答案】0，1
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
【详解】解：1-2x＞x-5，
移项得-2x-x＞-5-1，
合并同类项得-3x＞-6，
解得x＜2，
故不等式1-2x＞x-5的非负整数解为0，1．
故答案为：0，1．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
2．（2021·宁夏·永宁县回民高级中学八年级期中）一元一次不等式的最大整数解为_____________；
【答案】-1
【分析】先化简不等式，再求解即可．
【详解】解：，
，
则最大整数解为：-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集，解决本题的关键是找到不等式解集的最大整数解．
考点五 已知一元一次不等式的解集或整数解求参数
例题：（2022·山东淄博·七年级期末）关于x的不等式2x﹣a≤1有三个正整数解，则a的取值范围是__．
【答案】5≤a＜7
【分析】首先解关于x的不等式，然后根据不等式2x-a≤1有三个正整数解即可得到一个关于a的不等式组，从而求解．
【详解】解：解不等式2x-a≤1得：x≤，
根据题意得：3≤＜4，
解得：5≤a＜7．
故答案为：5≤a＜7．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据x的取值范围正确确定的范围是解题的关键．解不等式时要根据不等式的基本性质．
【变式训练】
1．（2022·河南平顶山·八年级期末）若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为______．
【答案】
【分析】先解不等式得，再根据关于的不等式只有2个正整数解，得出不等式的正整数解为1，2，据此得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于x的不等式只有2个正整数解，
∴不等式的正整数解为：1，2，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式及其正整数解的情况，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
2．（2022·辽宁盘锦·七年级期末）关于x的不等式（其中a为正整数）正整数解为1，2，3，则a的值是__________．
【答案】6，7
【分析】先求关于x的不等式的解集为，再根据不等式的正整数解为1，2，3，确定a的取值范围，最后得出正整数a的值即可．
【详解】解：不等式的解集为，
∵不等式的正整数解为1，2，3，
∴，解得：，
∴正整数a的值为，7．
故答案为：6，7．
【点睛】本题主要考查了求不等式的正整数解，根据题意得出，是解题的关键．
考点六 列一元一次不等式
例题：（2022·福建省尤溪县梅仙中学八年级阶段练习）小张购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，费用不超过100元钱，设小张买了x支钢笔，则根据题意可列不等式为______．
【答案】2(30-x)+5x≤100
【分析】设小张买了x支钢笔，则买了(30-x)本笔记本，根据费用不超过100元钱即可列出不等式．
【详解】解：设小张买了x支钢笔，则买了(30-x)本笔记本，
根据题意得：2(30-x)+5x≤100，
故答案为：2(30-x)+5x≤100．
【点睛】题目主要考查不等式的应用，理解题意是解题关键．
【变式训练】
1．（2021·浙江温州·八年级期中）x的3倍与1的和小于2021，列出不等式是：______．
【答案】3x+1-0.5
【分析】解方程得出x=，根据方程的解为负数得出关于k的不等式，解之可得．
【详解】解：x+2k=4x+4k+1，
x-4x=4k+1-2k，
-3x=2k+1，
x=，
∵方程x+2k=5（x+k）+1的解是负数，
∴＜0．
解得：k＞，
故答案为：k＞．
【点睛】本题主要考查解方程和一元一次不等式的能力，根据题意得出关于k的不等式是解题的关键．
10．（2022·河南信阳·七年级期末）规定一种运算：※，如-2※5．若※＜0，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据新运算的定义可得一个关于的一元一次不等式，解不等式即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键．
三、解答题
11．（2022·陕西渭南·八年级期末）解不等式：，并写出满足不等式的最大整数解．
【答案】，不等式的最大整数解为13
【分析】解一元一次不等式，求出不等式解集后再写出最大整数解即可．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：，
不等式的最大整数解为13．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的求解，解题过程中注意计算的准确性．
12．（2022·河南·汝州市有道实验学校八年级阶段练习）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】，数轴见解析
【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解。
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：，
把解集表示在数轴上，如下：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确解出不等式的解集是解决本题的关键，解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
13．（2022·吉林·长春博硕学校七年级阶段练习）解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来
(1)﹣x+19≥2（x+5） (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先去括号，移项合并同类项，最后系数化为1得到不等式的解集，注意当系数是负数时不等号的方向要改变，最后在数轴上把解集表示出来即可，注意不等号有等于号要画出实心圆点．
(2)先去分母，再去括号，移项合并同类项，最后系数化为1得到不等式的解集，注意当系数是负数时不等号的方向要改变，最后在数轴上把解集表示出来即可，注意不等号没有等于号要画出空心圆点．
（1）
解：去括号得：，
移项得：
合并同类项得：，
系数化为1得：，
将解集表示在数轴上，
（2）
去分母，得：，
去括号得：，
移项得：
合并同类项得：，
系数化为1得：，
将解集表示在数轴上，
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则和在数轴上表示不等式的解集的方法是解题的关键．
14．（2022·四川乐山·七年级期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足．
(1)求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，求整数的值．
【答案】(1)
(2)整数的值为
【分析】（1）先把①和②相减，整理后根据列出关于k的不等式求解即可；
（2）根据题意及不等式的性质列出关于k的不等式并求解，结合（1）中求出的取值范围确定k的整式值即可．
（1）
解：，
，得，
∵，
∴，
解得；
（2）
∵不等式的解集为，
∴，
解得 ，
又∵，
∴的取值范围为，
∴整数的值为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
15．（2022·河北·廊坊市第十六中学七年级阶段练习）山西是中国煤炭大省，素有“煤海”之称、某煤炭企业有A，B两种型号的采煤机，已知4台A型和2台B型采煤机同时工作3小时采煤480吨；2台A型和3台B型采煤机工作一小时的采煤量相同．
(1)每台A型，B型采煤机工作一小时分别采煤多少吨？
(2)若调配A型和B型采煤机共8台同时工作6小时，共同完成不少于1188吨的采煤量，则最少需要A型采煤机多少台？
【答案】(1)每台A型，B型采煤机工作一小时分别采煤30吨，20吨
(2)最少需要A型采煤机4台
【分析】（1）设每台A型，B型采煤机工作一小时分别采煤x吨，y吨，然后根据4台A型和2台B型采煤机同时工作3小时采煤480吨；2台A型和3台B型采煤机工作一小时的采煤量相同列出方程组求解即可；
（2）设调配A型采煤机m台，则调配B型采煤机（8-m）台，然后根据时工作6小时，共同完成不少于1188吨的采煤量，列出不等式求解即可．
（1）
解：设每台A型，B型采煤机工作一小时分别采煤x吨，y吨，
由题意得：，
解得，
∴每台A型，B型采煤机工作一小时分别采煤30吨，20吨，
答：每台A型，B型采煤机工作一小时分别采煤30吨，20吨；
（2）
解：设调配A型采煤机m台，则调配B型采煤机（8-m）台，
由题意得：，
∴，
∵m为正整数，
∴m的最小值为4，
∴最少需要A型采煤机4台，
答：最少需要A型采煤机4台．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的方程组和不等式求解是解题的关键．
16．（2022·重庆大足·七年级期末）在“6·18”活动中，某电商上架200个商品和150个商品进行销售，已知购买3个商品和6个商品共需780元，购买1个商品和5个商品共需500元．
(1)求商品和商品的售价分别是多少元？
(2)在商品售出，商品售出后，为了尽快回笼资金，店主决定对剩余的商品每个打折销售，对剩余的商品每个降价元销售，很快全部售完．若要保证本月销售总额不低于29250元，求的最小值．
【答案】(1)每个A商品的售价是100元，每个B商品的售价是80元；
(2)7.5
【分析】（1）设每个A商品的售价是x元，每个A商品的售价是y元，根据题意得出二元一次方程组，求解即可得出结论；
（2）根据题意得出关于a的不等式，求解即可得出结论．
（1）
解∶设每个A商品的售价是x元，每个A商品的售价是y元，根据题意得：
，
解得：，
答：每个A商品的售价是100元，每个B商品的售价是80元；
（2）
解：根据题意得：，
解得：，
即的最小值为7.5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．