清单05 圆中的范围与最值问题（清单 导图 考点 题型 变式 ）学案-2024-2025学年高二数学上学期期末考点（苏教版2019）

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【清单01】圆中的范围与最值问题
1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题
2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
（1）数形结合
（2）多与圆心联系
（3）参数方程
（4）代数角度转化成函数值域问题
考点题型1：斜率型
【典例1-1】（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
所以点在圆上，其中圆心为，半径为，
又，其中表示点与点连线的斜率，
又，所以点在圆外，
由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为，
即，则，解得或，
即的最大值为，最小值为，
所以的最大值为.
故答案为：
【典例1-2】（2024·高二·内蒙古赤峰·阶段练习）实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【解析】可化为，
表示圆心为，半径为的圆.
表示圆上的点与点连线的斜率.
设过且与圆相切的直线为，即，
所以，化简可得，解得或，
由图可得的最大值为.
故选:A.
【变式1-1】（2024·高二·甘肃酒泉·期中）圆C：，Px0,y0为圆C上任意一点，则的最大值为 ．
【答案】/
【解析】设，则，
联立，消元得，
由，解得，
所以的最大值为.
故答案为：
【变式1-2】（2024·江苏无锡·高二统考期中）已知点在圆上运动，则范围是 ．
【答案】
【解析】如图所示，设，可得，即，
把看作点与点连线的斜率，当连线与圆相切时斜率取得最值，
由，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【变式1-3】（2024·四川成都·高二校联考阶段练习）已知点在曲线上运动，则的最大值为 ．
【答案】/
【解析】变形为，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，
如图，
在上半圆上，表示点与连线的斜率，
由题意得，当直线与半圆相切时斜率最大，
设直线与半圆相切时直线斜率为，直线方程，即，
因此，解得（由图舍去），
所以的最大值为.
故答案为：
考点题型2：直线型
【典例2-1】（2024·四川·广安二中高二阶段练习）若满足关系式，则的最大值为_________；
【答案】4
【解析】设，由得（*），
所以，解得．
时，由（*）得，代入得，满足，
所以的最大值是4．
故答案为：4．
【典例2-2】（2024·高二·陕西·期中）已知点是圆上任意一点.则的最大值是 .
【答案】/
【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径为，
设，可知直线与圆有公共点，
则，解得，
所以的最大值是为.
故答案为：.
【变式2-1】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）已知实数满足，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得，
设，
则，
故当时，，
故选：C
【变式2-2】（2024·高二·江苏无锡·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为 ，的最大值为 ．
【答案】
【解析】设，故，的几何意义为直线与轴交点的纵坐标，
且直线与有公共点，
其中是圆心为，半径为的圆，
故，解得，
故的最小值为；
，
可以看作上的点Px,y到直线的距离
与它到点的距离比值的2倍，
圆心到的距离为，
故直线与相交，且圆心在直线上方，
过点Px,y作⊥直线于点，
则，故，
当过点的直线与圆相切于点Px,y，此点位于第一象限时，
此时取得最大值，
故取到最大值，
设直线为y=kx−1，
联立与y=kx−1得
，
由得，
结合图形可知，
将代入中得，
解得，
将代入中得，故切点坐标为，
代入中得，
故的最大值为.
故答案为：，
考点题型3：距离型
【典例3-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知点，点是圆上任意一点，则到直线距离的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，所以直线的方程为，即，
又圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
故到直线距离的最小值为.
故答案为：.
【典例3-2】（2024·高二·浙江宁波·期中）已知实数满足，则的最大值为 .
【答案】49
【解析】由，得，
则方程表示以为圆心，以为半径的圆，
表示圆上的点与原点之间距离的平方，
设点与原点之间距离为，
则，
所以的最大值为49.
故答案为：49.
【变式3-1】（2024·高二·辽宁大连·阶段练习）已知圆上两点满足，则的最小值为 ．
【答案】5
【解析】设弦的中点为，则
因点Ax1,y1,Bx2,y2在圆上，则，，
于是
，即动点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆.
设，
则可将其理解为点Ax1,y1到直线的距离的5倍，
设，
可将其理解为点Bx2,y2到直线的距离的5倍,
故要求的最小值，可先求的最小值.
如图，，且的距离为4，过点作，交小圆于点，
过点作小圆的切线，交大圆于点,分别交直线于点，
在小圆上任取点，过点作小圆的切线交大圆于点，
分别过点作于点，作于点
过点作的平行线与过点与垂直的直线交于点.
则,易得, ，
下面说明图中的即的最小值，最小值为，
此时的最小值为5，即的最小值为5.
理由：因，而,
故，即为的最小值.
故答案为：5.
【变式3-2】（2024·高二·安徽芜湖·期中）若直线始终平分圆，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】，
故圆心，
由题意得在上，代入得，
则
，
当且仅当时，等号成立，
故答案为：
【变式3-3】（2024·高二·山西·期末）已知半径为1的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】设圆的圆心为，则，即圆的圆心的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
其中点到直线的距离，
则圆心到直线的距离的最大值为.
故选：D
【变式3-4】（2024·高二·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（ ）
A．4B．C．3D．2
【答案】A
【解析】设
由直线，可得
由直线，可得，
因为直线与直线满足，
所以，
所以点P在以AB为直径的圆上，所以点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和，
由，，得AB中点为1,0，半径为1，
所以点P到点的距离的最大值为，
故选：A
【变式3-5】（2024·高二·湖南长沙·期末）已知，且，则的最大值为（ ）
A．9B．12C．36D．48
【答案】C
【解析】设Ax1,y1与Bx2,y2为圆上一点，
则，得，，
即为等腰直角三角形，设为的中点，
则，得，
即点在以为圆心，2为半径的圆上，
故，
因为点到定点D1,0的距离的最大值为，
因此的最大值为36.
故选：C
考点题型4：周长面积型
【典例4-1】（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）若圆C的方程为，则圆C的最小周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为圆C的方程为，
所以圆C的半径为，
所以圆C的最小周长为.
故选：D.
【典例4-2】（2024·高二·贵州六盘水·期末）已知线段的长度为4，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值为（ ）
A．B．8C．D．
【答案】A
【解析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
设Mx,y，且，
由，得，
化简得的轨迹方程为圆，半径，
如下图，有．
故选：A
【变式4-1】（2024·高二·湖北黄冈·期中）已知，，直线：与直线：相交于点，则的面积最大值为（ ）
A．10B．14C．18D．20
【答案】B
【解析】
直线的方程可整理为，令，解得，
所以直线恒过定点，
直线的方程可整理为，令，解得，
所以直线恒过定点，
因为，所以，
所以点为以为直径的圆上的点，
，中点为，
则点的轨迹方程为，
，
所以当点到直线的距离最大时，的面积最大，
，直线的方程，即，
设点到直线的距离为，圆心直线的距离为，半径为，
则，
所以的面积最大值为.
故选：B.
【变式4-2】（2024·高二·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由圆心为，半径为，则圆心到直线距离，
所以，
要使面积最大，只需圆上一动点P到直线距离最远，为，
所以面积的最大值是.
故选：A
【变式4-3】（2024·河北邯郸·高二校联考期中）已知圆，点P是圆上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知四边形的面积，
所以当取得最小值时，四边形的面积取得最小值.
又，所以.
故选:B.
考点题型5：长度型
【典例5-1】（2024·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考期中）已知直线恒过点P，过点P作直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为，即，
令，得，
故直线恒过定点，
由圆可知圆心，半径为5，
又因为，故点在圆内，
当时，取得最小，
因为
所以.
故答案为：.
【典例5-2】（2024·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【解析】圆 ，即，
则圆心，半径，由点，
则，
即点在圆外，则.
故选：C.
【变式5-1】（2024·高二·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，， 为平面上一动点且满足， 当实数变化时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设Mx,y，则，
整理可得：，
点轨迹是以C0,1为圆心，半径的圆，
，
当时，，
.
故选：B.
【变式5-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知，，则的最小值为 .
【答案】15/
【解析】易知为圆上一点Ax1,y1与直线上一点Bx2,y2的距离的平方，
易知圆心C−2,0，半径，点C到直线的距离，
则，所以.
故答案为：
考点题型6：坐标型
【典例6-1】（2024·四川省德阳中学校高二开学考试）已知直线和圆，点在直线上，若直线与圆至少有一个公共点，且，则点的横坐标的最大值是（ ）
A．B．1C．3D．4
【答案】D
【解析】由圆，可得，
所以圆心，半径，
设，由题意知圆心到直线的距离，
即，解得，
故点的横坐标的最大值为4.
故选：D．
【典例6-2】（2024·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（ ）
A．12B．11C．10D．9
【答案】B
【解析】，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
又P在圆C上，所以两圆有交点，则，而，
得．
故选：B
【变式6-1】（2024·吉林·东北师大附中高二阶段练习）设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【解析】以MP为一边作正方形MPSQ.
若对角线PQ与圆有交点,则满足条件的N存在,此时正方形的中心在圆上或内,即MH≤1,所以，所以,所以，则其最大值为2.
故选：C
考点题型7：阿氏圆距离最值型
【典例7-1】（2024·高二·广东惠州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆. 后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，此时，交点为.
当时，由，斜率为，
由，斜率为，，
综上，.
又，
直线恒过，
，
直线恒过，
若为的交点，则，设点，
所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，
则圆心为的中点，圆的半径为，
故的轨迹方程为，
即，则有.
又，易知O，Q在该圆内，
又由题意可知圆上一点满足，取，
则，满足.
下面证明任意一点都满足，即，
，
又，
∴.
所以，
又，
所以，
如图，当且仅当三点共线，且位于之间时，等号成立
即最小值为.
故选：A.
【典例7-2】（2024·高二·四川成都·期中）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直线过定点，
直线过定点，
且直线与直线垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆，
故圆心是，半径为则点的方程是
令，因为，
所以，
则
所以，可得点
则.
【变式7-1】（2024·高二·山东枣庄·期中）已知点为直线：上的动点，点为圆：上的动点，若点，则的最小值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【解析】设，，则，
所以
，
所以，，
过点作⊥，交圆于点，
故的最小值为，
所以的最小值为.
故选：C
【变式7-2】（2024·高二·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】设，不妨取Px0,y0，使得，
则，
整理得，
此方程与相同，
所以有，解得，
所以，
所以，当且仅当在线段上时，取等号.
因为，所以在圆内；
，所以在圆外；
所以线段与圆必有交点（记为），
当重合时，，为其最小值，
故选：C.
【变式7-3】（2024·高二·江西·阶段练习）已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，由，得，化简得，
由，得，所以，
故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值，
此时线段的方程为，由并结合，
解得故此时点的坐标为.
故选：C.
考点题型8：角度型
【典例8-1】（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知：圆的圆心为O0,0，半径为1，
则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离，
因为，且，
当OP最小时，则最大，可得最大，即最大，
又因为OP的最小值即为圆心到直线的距离为，
此时，所以取得最大值．
故选：C．
【典例8-2】（2024·高三·辽宁·阶段练习）已知直线与圆，过直线上的任意一点作圆的切线，切点分别为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】由题意可知，当点到圆心的距离最小时，最大.
圆心原点到直线的距离为.所以点到圆心的距离最小值为.
所以，的最大值为.
故选：D
【变式8-1】（2024·高二·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】圆的标准方程为，圆心，半径，
圆心到直线的距离为，即l与圆相离，
由于，故，
故当时，最小，此时最大，则也取最大值，
此时，，
故选：C.
【变式8-2】（2024·高二·广西·阶段练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试着在边上找一点，使得最大”.如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取得最大值时，该圆的方程是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知，点为过两点且和轴相切的圆的切点，线段中点坐标为，又，
所以线段的垂直平分线方程为，
所以以为弦的圆的圆心在直线上，
故设该圆圆心为，又因为该圆与轴相切，所以圆的半径，
又，所以，解得或，
当时，是钝角，故舍去.
所以此时圆的方程为.
故选：C
【变式8-3】（2024·高二·广西南宁·期末）已知圆：，直线：，直线与圆交于、，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】直线：变形为，
令和，解得，
所以直线恒过定点，点在圆内部，当垂直于时，最短， 此时所以,
由于，故时 ，此时最大，且最大值为
故选：B