清单06 椭圆及其性质（清单 导图 考点 题型 变式 ）学案-2024-2025学年高二数学上学期期末考点（苏教版2019）

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【清单01】椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在．
【清单02】椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示．
考点题型1：椭圆的定义与标准方程
【典例1-1】（2024·高二·江苏淮安·阶段练习）分别根据下列条件求椭圆标准方程：
(1)一个焦点为
(2)与椭圆有相同的焦点，且经过点
【典例1-2】（2024·高二·河南商丘·期末）若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（ ）
A．B．2C．D．4
【变式1-1】（2024·高二·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ）
A．6B．3C．4D．2
【变式1-2】（2024·高二·北京西城·期中）已知点P在椭圆上，点，，则（ ）
A．2B．C．D．
【变式1-3】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 .
【变式1-4】（2024·高二·河南·阶段练习）已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点题型2：椭圆方程的充要条件
【典例2-1】（2024·高二·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2024·高二·天津·期中）方程表示椭圆的充要条件是（ ）.
A．B．或
C．D．
【变式2-1】（2024·高二·新疆·期中）“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（2024·高二·辽宁铁岭·期中）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】（2024·高二·山东菏泽·期中）“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．不充分也不必要条件
考点题型3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
【典例3-1】（2024·高二·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（ ）
A．10B．13C．14D．16
【典例3-2】（2024·高二·福建漳州·期末）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长是（ ）
A．6B．C．D．8
【变式3-1】（2024·高二·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（ ）
A．3B．4C．6D．10
【变式3-2】（2024·高二·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（ ）
A．B．C．或1D．1或
【变式3-3】（2024·高二·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-4】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
考点题型4：椭圆上两点距离的最值问题
【典例4-1】（2024·高二·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【典例4-2】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）为椭圆：上一点，，则最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【变式4-1】（2024·高二·河北邯郸·期中）过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为 ．
【变式4-2】（2024·高二·上海·期中）已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为 .
【变式4-3】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是 ．
考点题型5：椭圆上两线段的和差最值问题
【典例5-1】（2024·高二·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 ．
【典例5-2】（2024·高二·山西太原·期中）已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是 .
【变式5-1】（2024·高二·安徽六安·期中）已知椭圆，点在椭圆上，已知点与点，则的最小值为 .
【变式5-2】（2024·高二·广东深圳·期末）已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 .
【变式5-3】（2024·高二·辽宁沈阳·期末）已知，，动点满足，若，则的范围为 ．
【变式5-4】（2024·高二·湖南长沙·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ．
考点题型6：离心率的值及取值范围
【典例6-1】（2024·高二·广西桂林·期末）已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例6-2】（2024·高二·安徽·期末）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2024·江苏南京·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2024·高二·福建福州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】（2024·高二·浙江温州·期中）已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点题型7：椭圆的简单几何性质问题
【典例7-1】（多选题）（2024·高二·重庆·期中）已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．椭圆离心率为B．
C．若，则的面积为9D．最小值为
【典例7-2】（多选题）（2024·高二·重庆渝中·期中）椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，其中是椭圆的上顶点，为面积是的正三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为8
B．椭圆的离心率为
C．的长为
D．的面积为
【变式7-1】（多选题）（2024·高二·江苏泰州·期中）设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（ ）
A．，B．离心率为
C．的面积为12D．的外接圆面积为
【变式7-2】（多选题）（2024·高二·广东江门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的焦点坐标为
B．当时，椭圆C的离心率为
C．当时，的周长为6
D．若椭圆C的离心率为，则的面积的最大值是
【变式7-3】（多选题）（2024·高二·浙江温州·期中）已知点椭圆上一点，椭圆的焦点是，则下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长是9B．椭圆焦距是
C．存在使得D．三角形的面积的最大值是
考点题型8：利用第一定义求解轨迹
【典例8-1】（2024·高二·河南信阳·期末）圆与的位置关系为 ；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为 ．
【典例8-2】（2024·高二·上海·期末）已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为 ．
【变式8-1】（2024·高二·浙江宁波·期末）已知点，动点P满足直线与的斜率之积为，则点P的轨迹方程 ．
【变式8-2】（2024·高二·山东青岛·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
【变式8-3】（2024·高二·安徽·期中）已知定直线，点分别是上的动点，且，则的中点的轨迹方程为 .
【变式8-4】（2024·高二·湖北·期中）设圆：，为圆内一点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 .
【变式8-5】（2024·高二·河北石家庄·期中）平面内动点Px,y满足方程，则动点的轨迹方程为 .
考点题型9：直线与椭圆的位置关系
【典例9-1】（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）已知椭圆，直线.
(1)求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点；
(2)直线与椭圆交于两点，且，求的值.
【典例9-2】（2024·高二·福建莆田·期中）已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数.
【变式9-1】（2024·高二·陕西汉中·期中）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值.
【变式9-2】（2024·高二·重庆·期中）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值．
【变式9-3】（2024·高二·甘肃白银·期末）已知椭圆及直线．
(1)若直线与椭圆没有公共点，求实数的取值范围；
(2)为椭圆上一动点，若点到直线距离的最大值为，求直线的方程．
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
长轴长，短轴长
长轴长，短轴长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距
离心率
准线方程
点和椭圆
的关系
切线方程
（为切点）
（为切点）
对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得
切点弦所在的直线方程
焦点三角形面积
①，（为短轴的端点）
②
③
焦点三角形中一般要用到的关系是
焦半径
左焦半径：
又焦半径：
上焦半径：
下焦半径：
焦半径最大值，最小值
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式
设直线与椭圆的两个交点为，，，
则弦长
（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）