清单08 抛物线及其性质（清单 导图 考点 题型 变式 ）学案-2024-2025学年高二数学上学期期末考点（苏教版2019）

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【清单01】抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．
【清单02】抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
【方法技巧与总结】
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．
（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）
（1）焦点为，准线为
（2）焦点为，准线为
如，即，焦点为，准线方程为
7、参数方程
的参数方程为（参数）
8、切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程为，为切点
切点弦方程为，点在抛物线外
与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
9、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
11、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
考点题型一：抛物线的定义与方程
【典例1-1】（2024·高二·黑龙江·期中）若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2024·高二·河南驻马店·期中）已知动点满足，则动点P轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线
【变式1-1】（2024·高二·重庆·期中）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-2】（2024·高二·吉林四平·期中）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2024·高二·广西梧州·期中）准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-4】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
考点题型二：抛物线的轨迹方程
【典例2-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2024·高二·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】（2024·高二·甘肃兰州·期末）若动点在上移动，则点与点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】（2024·高三·西藏林芝·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ．
【变式2-3】（2024·高二·上海宝山·期末）动点在曲线上移动，则点和定点连线的中点的轨迹方程是 .
【变式2-4】（2024·高二·陕西宝鸡·期末）如图，已知点A(6,4)，AB⊥x轴于点B，E点是线段OA上任意一点，EC⊥AB于点C，ED⊥x轴于点D，OC与ED相交于点F，求点F的轨迹方程.
考点题型三：与抛物线有关的距离和最值问题
【典例3-1】（2024·高二·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ．
【典例3-2】（2024·高二·河北保定·期末）已知，，是抛物线C：上的一点，则周长的最小值为 ．
【变式3-1】（2024·高二·湖北武汉·期末）已知点是抛物线上一动点，则的最小值为 ．
【变式3-2】（2024·高二·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 ．
【变式3-3】（2024·高二·黑龙江·期末）已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，点为抛物线E：上的任意一点，在轴上的射影为，则的最小值为 .
【变式3-4】（2024·高二·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ．
考点题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题
【典例4-1】（2024·高二·贵州遵义·期中）已知抛物线的焦点为F，已知第一象限的点A在抛物线上，连接AF并延长交抛物线于另一点B，且，则的面积是 .
【典例4-2】（2024·高二·上海·期中）如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为 .
【变式4-1】（2024·高二·广东广州·期末）已知抛物线C：（）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知，，若的面积是面积的2倍，则抛物线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024·高二·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）.
【变式4-3】（2024·高二·广东广州·期末）设为抛物线的焦点，为该抛物线上不同的三点，且为坐标原点，若、、的面积分别为、、，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
考点题型五：焦半径问题
【典例5-1】（2024·高二·山东临沂·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【典例5-2】（2024·高二·云南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2024·高二·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式5-2】（2024·高二·河南·期中）已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（2024·高二·湖南·期中）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．8D．12
【变式5-4】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线上的点到原点的距离为，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若，则（ ）
A．B．C．D．
考点题型六：抛物线的性质
【典例6-1】（多选题）（2024·高二·河北唐山·期末）已知抛物线过点，则（ ）
A．拋物线的标准方程可能为
B．挞物线的标准方程可能为
C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条
【典例6-2】（多选题）（2024·高二·山西晋城·期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．点F的坐标为
C．直线AQ与抛物线相切D．
【变式6-1】（多选题）（2024·高二·重庆·期末）已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．线段的中点到x轴的距离为2
【变式6-2】（多选题）（2024·高二·安徽滁州·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．点到直线的距离是4
B．若的方程是，则的面积为3
C．若的中点到直线的距离为3，则
D．若点在直线上，则
【变式6-3】（多选题）（2024·高二·浙江宁波·期中）已知抛物线，焦点为，准线为，弦过点，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点的坐标为
B．准线的方程为
C．若Px0,y0，则
D．弦的长度
考点题型七：直线与抛物线的位置关系
【典例7-1】（2024·高二·北京·期中）已知抛物线的焦点F在直线x-y-1=0上．
（I）求抛物线C的方程；
（II）设直线l经过点A（-2，-1），且与抛物线C有且只有一个公共点，求直线l的方程．
【典例7-2】（2024·高二·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到轴的距离之差等于1，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设点在上，证明：直线与相切．
【变式7-1】（2024·高二·浙江绍兴·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点 的直线与抛物线只有一个公共点.
(1)求抛物线的方程；
(2)求直线的方程.
【变式7-2】（2024·高二·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程.
【变式7-3】（2024·高二·江西·期中）已知直线与抛物线交于，两点，且线段的中点的横坐标为1.
(1)试确定的值；
(2)若直线与椭圆有公共点，且抛物线的准线与此椭圆的一个交点是，求的取值范围.
图形
标准
方程
顶点
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径