2025河北省十县联考高三上学期11月期中考试数学含解析

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本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用复数的运算，得到，再利用复数的模长公式，即可求解.
【详解】因为，得到，即，所以，
得到，
故选：D.
2. 的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. 80D. 160
【答案】A
【解析】
【分析】求出二项式展开式通项公式，再由给定幂指数求解即得.
【详解】二项式展开式的通项为，
由，得，所以的展开式中的系数为.
故选：A
3. 若命题“，”为假命题，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】转化为“，”为真命题，再利用判别式即可得到答案.
【详解】由题意得命题“，”为真命题，
则对恒成立，则对恒成立，
则，解得.
故选：A.
4. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用向量的坐标运算得到，再利用向量垂直的坐标表示，得到，即可求解.
【详解】因为，，得到，
又，所以，解得，
故选：B.
5. 某企业五个部门年第三季度的营业收入占比和净利润占比统计如下表所示：
若该企业本季度的总营业利润率为（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），则（ ）
A. 各部门营业收入占比的极差为
B. 各部门营业收入占比的第百分位数为
C. 第二部门本季度的营业利润为正
D. 第三部门本季度的营业利润率大约为
【答案】D
【解析】
【分析】根据表格中的数据计算极差、百分位数、营业利润率，逐项判断即可.
【详解】对于A选项，各部门营业收入占比的极差为，A错；
对于B选项，各部门营业收入占比由小到大依次为、、、、，
且，所以，各部门营业收入占比的第百分位数为，B错；
对于C选项，第二部门本季度的营业利润率，
故第二部门本季度的营业利润为负，C错；
对于D选项，第三部门本季度的营业利润率为，D对.
故选：D.
6. 已知圆，点，点在圆上运动，线段的中垂线与交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件得到，从而点的轨迹是以为焦点，且长轴长为，焦距为的椭圆，即可求解.
【详解】如图，易知，所以，
由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点，且长轴长为，焦距为的椭圆，
而焦点在上，长轴长为，焦距为的椭圆的标准方程为，
又点轨迹的中心为，所以的轨迹方程为，
故选：C.
7. 已知四边形的外接圆半径为，若，四边形的周长记为，则当取最大值时，四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】利用余弦定理和基本不等式可确定当且时，取得最大值；
根据此时为四边形外接圆直径和解三角形的知识，可求得此时四边形的面积.
【详解】在中，，
（当且仅当时取等号），
；
，，
在中，，
（当且仅当时取等号），
；
；
当取得最大值时，且，
为弦的垂直平分线，为四边形外接圆的直径，
，，
又此时，
，，
当取得最大值时，四边形的面积.
故选：A.
8. 当时，，则正数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用同构思想，得到，构造函数，利用的单调性得到在区间上恒成立，再构造函数，求出在区间上的最大值，即可求解.
【详解】因为，由，得到，即，
令，则，因为，所以在区间上恒成立，
即在区间上单调递增，又，
所以，可得，即在区间上恒成立，
令，则，由，得到，由，得到，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，得到，
故选D.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用“同构”思想，将条件变形成，构造函数，利用的单调性，将问题转化成在区间上恒成立，再构造函数，求出在区间上的最大值，即可求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，利用面面平行的性质，即可判断；选项B，在正方体中，通过取特例，即可求解；选项C，根据条件，即可判断；选项D，利用面面垂直的性质，得到，即可判断.
【详解】对于选项A，因为，，由面面平行的性质可知，所以选项A正确，
对于选项B，如图，在正方体中，取平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线，
显然满足，，，但不平行，所以选项B错误，
对于选项C，因为，，，显然有，所以选项C正确，
对于选项D，因为，，，，则，
又，则，所以选项D正确，
故选：ACD.
10. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，的导函数为，则（ ）
A. 的图象关于原点对称
B. 函数的最小正周期为
C. 区间上单调递减
D. 在区间内的所有零点之和为
【答案】BC
【解析】
【分析】确定的解析式，借助三角函数性质逐个判断即可.
【详解】由已知条件可知：，易知其为偶函数，
其图象关于y轴对称，故A错误；
由于的最小正周期为，
而的图象可由的图象，把轴下方图象翻折上去，
轴上方图象不变，故函数的最小正周期为，B正确；
，所以，
由，可得：，
由于余弦函数在上单调递减，在单调递增，
由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，C正确；
由，令，，
得到：，，
分别令可得对应零点为，
所以在区间内的所有零点之和为，D错误；
故选：BC
11. 已知抛物线的焦点为，点在上，过点的直线与交于两点，与以为圆心，为半径的圆交于两点（点在第一象限内），则（ ）
A. B. 的最小值为1
C. （为原点）的最大值为D. 的最小值不可能为6
【答案】AC
【解析】
【分析】选项A，将点代入，即可求解；选项B，分斜率存在和不存在两种情况，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理即可求解；选项C，结合选项B中的结论，利用正切函数的倍角公式得到关于的表达式，从而得解；选项D，利用选项B中结果，可得，即可求解.
【详解】对于选项A，因为点在上，所以，得到，所以，故选项A正确，
对于选项B，易知直线斜率不为，设，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
由，消得到，
由韦达定理得，
又，
当直线的斜率不存在时，，
所以，故选项B错误，
对于选项C，当直线的斜率不存在时，，
此时，
当直线的斜率存在时，设，
则，
又
，
由选项B知，，
所以，
易知，时，，时，，
又的两根为或，
可得，
所以，所以选项C正确，
对于选项D，，
由选项B知，当直线的斜率存在时，，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时斜率存在，所以选项D错误，
故选：AC.
【点睛】关键点点晴，本题的关键在选项C，设，再分直线斜率存在和不存在两种情况，斜率不存在时，可求得，当斜率存在时，利用选项B中结果，将表示成，再利用，得到，即可求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列的前项和为，且，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，即可求解.
【详解】因为，
当时，，
当时，，满足，
所以，
得到，
所以，
故答案为：.
13. 已知，均为锐角，，，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出，，再利用两角差的余弦公式和二倍角公式即可.
【详解】因为，均锐角，则，,
因为，，则，
，
,
，
则.
故答案为：．
14. 已知全集，集合是的非空子集，且，定义为中的一对“子群”关系，则满足这种“子群”关系的共有____________个．
【答案】
【解析】
【分析】利用组合求出符合条件的集合的个数，再求出相应集合的非空真子集个数，利用分步计算原理，即可求解.
【详解】因为，集合是的非空子集，，
若中有个元素，此时符合条件的集合有个，又中有个元素时，集合的非空真子集个数有个，
若若中有个元素，此时符合条件的集合有个，又中有个元素时，集合的非空真子集个数有个，
若中有个元素，此时符合条件的集合有个，又中有个元素时，集合的非空真子集个数有个，
若中有个元素，此时符合条件的集合有个，又中有个元素时，集合的非空真子集个数有个，
所以满足条件的共有，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列的前n项和为，且．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件可得，，故可证明数列为等比数列.
（2）表示数列的通项公式，利用错位相减法可得结果.
【小问1详解】
∵，
∴当时，，
两式相减得，，整理得，即，
令得，，，，
∴是以为首项，公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得，，，
∴.
，
，
两式相减得，
，
∴.
16. 如图，在平面五边形中，，，，，将沿翻折，使点到达点的位置，得到如图所示的四棱锥，且，为的中点．
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）推导出平面，可得出，利用等腰三角形三线合一可得出，利用线面垂直的判定定理可证得平面，再利用线面垂直的性质可证得；
（2）推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
翻折前，在平面五边形中，，，，，
则，
翻折后，在四棱锥，且，，
所以，，则，所以，，
又因为，，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，
因为，，则四边形为平行四边形，则，
所以，，
因为为的中点，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，故.
【小问2详解】
因为，且，所以，，则，
因为平面，，则平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0、、、，
设平面的法向量为m=x1,y1,z1，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为n=x2,y2,z2，，，
则，取，可得，
所以，，
因为，平面与平面夹角的余弦值为.
17. 已知函数．
（1）当时，曲线在点（）处的切线记为．
①求的方程；
②设的交点构成，试判断的形状（锐角、钝角或直角三角形）并加以证明．
（2）讨论的极值．
【答案】（1）①；②为钝角三角形，证明见解析；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据条件，得到，①利用导数的几何意义，即可求解；②利用导数的几何意义，求出（）的方程，再求出三个顶点的坐标，进而可得，即可求解；
（2）对求导，得到，再分三种情况，利用极值的定义，即可求解.
【小问1详解】
当时，，则，
①因为，，所以的方程为.
②为钝角三角形，证明如下:
由①知的方程为，
又，，
所以的方程为，即，
又，，
所以的方程为，即，
由，得到，所以，
由，得到，所以，
由，得到，所以，
得到，
，
则，
注意到，
所以，得到，
又B∈0,π，所以，即为钝角三角形.
【小问2详解】
因为，则，
当时，，由，得到，当时，，时，，
此时是的极小值点，极小值为，无极大值，
当时，由，得到或，又，
若，当时，，时，，
此时，是的极大值点，极大值为，
是的极小值点，极小值为，
若，当时，，时，，
此时，是的极大值点，极大值为，
是的极小值点，极小值为.
综上，当时，极小值为，无极大值，
当时，极大值为，极小值为.
18. 某商场将年度消费总金额不低于万的会员称为尊享会员，超过万不足万的会员称为星级会员．该商场从以上两种会员中随机抽取男、女会员各名进行调研统计，其中抽到男性尊享会员名，女性尊享会员名．
（1）完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断是否可以认为会员类型与性别有关？
（2）该商场在今年店庆时将举办尊享与星级会员消费返利活动，该活动以抽奖的形式进行，参与抽奖的会员从放有个红球和个白球（每个球除颜色不同外，其余完全相同）的抽奖箱中抽奖．抽奖规则：①每次抽奖时，每名会员从抽奖箱中随机摸出个球，若摸出的个球颜色相同即为中奖，若颜色不同即为不中奖；②每名会员只能选一种抽奖方案进行抽奖．抽奖方案如下：
方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖；
方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球不放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖．
会员甲欲参加本次抽奖活动，请从中奖次数的期望与方差的角度分析，会员甲选择哪种方案较好？
附：，其中．
【答案】（1）列联表答案见解析，有
（2）方案一，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）设会员甲按照方案一、方案二抽奖的中奖次数分别为、，分别计算出、、、，比较与、与的大小关系，可得结论.
【小问1详解】
根据题中信息得到如下列联表：
由表格中的数据可得，
所以，依据小概率值的独立性检验，可以认为会员类型与性别有关.
【小问2详解】
设会员甲按照方案一、方案二抽奖的中奖次数分别为、，
对于方案一，则随机变量的可能取值有、、，
会员甲每次中奖的概率为，则，
所以，，，
对于方案二，则随机变量的可能取值有、、，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，，
，
所以，会员甲选择方案一较好.
19. 已知双曲线C上的所有点构成集合，若坐标平面内一点，则称直线为双曲线C关于点N的“关联直线”．
（1）试证明为定值（O为原点，直线，l斜率均存在）；
（2）判断双曲线C关于点N的“关联直线”与双曲线C的公共点个数，并说明理由；
（3）若双曲线C的左、右焦点分别为，，离心率为，关联直线l与坐标轴不平行，分别过点，作关联直线l的垂线，垂足分别为H，Q，求面积的最大值．
【答案】（1），证明见详解；
（2）关联直线与只有一个公共点，理由见详解；
（3）
【解析】
【分析】（1）直接代入公式计算即可；
（2）直接证明计算量较大，可用反证法证明双曲线与“关联直线”只有一个交点；
（3）结合点到直线的距离公式，求出三角形的面积表达式，利用基本不等式确定最大值.
【小问1详解】
由题意：，，则.
证明完成.
【小问2详解】
当时，关联直线为或，此时直线斜率不存在，
与双曲线相切于点或者，与双曲线只有一个公共点.
当时，假设关联直线与双曲线还有另外一个交点，
将和分别代入双曲线并做差得：，
当时，化简得到，得到，
结合小问1的结论，即，可得.
当时，与矛盾，此情况不成立；
当时，，斜率不存在，，
直线不满足题目中关联直线的条件.
综上，题目中给出的关联直线和双曲线只能有一个交点，证明完成.
【小问3详解】
由已知可得双曲线，，可做出示意图
双曲线方程为，设点，关联直线方程为，
所在直线方程为：，所在直线方程为：，
两直线均与垂直，可知的长度即为两平行直线和的距离，则，
三角形的高为原点到的距离：，
三角形面积：，
点在双曲线上，，
，当且仅当时，取得最大值.
即面积的最大值为.
第一部门
第二部门
第三部门
第四部门
第五部门
营业收入占比
净利润占比
会员类型
会员性别
合计
男性会员
女性会员
尊享会员
星级会员
合计
会员类型
会员性别
合计
男性会员
女性会员
尊享会员
星级会员
合计