广东省江门市鹤山市第一中学2024-2025学年高二上学期第二阶段考试（12月）数学试题

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一、单选题（每小题5分，共8小题40分）
1.为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（ ）
A．8 B．9 C．8.5 D．9.5
2.若直线是圆的一条对称轴，则m的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
3.下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
4.已知椭圆eq \f(x2,11－m)＋eq \f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m＝( )
A．5 B．6 C．9 D．10
5.若样本的平均值是5，方差是3，样本的平均值是9，标准差是b，则（ ）
A．B．C．D．
6.若点关于平面和轴对称的点分别为，，则（ ）
A. B. C. 1D. 9
7.孪生素数（素数是只有1和自身因数的正整数）猜想是希尔伯特在1900年正式提出的23个问题之一，具体为：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数，在不超过20的素数中随机选取2个不同的数，其中能够构成孪生素数的概率是（ ）
A．B．C．D．
8如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
多选题（每小题6分，共3小题18分）
9下列命题不正确的是（ ）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0
B．“a−b=a+b”是“a,b共线”的充要条件
C．若a,b共线，则a与b所在直线平行
D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面
10.伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛郑一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果，设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（ ）．
A. 若，则与不互斥B. 若，则与不相互独立
C. 若，则与相互独立D. 若，则与互斥
11.如图，正方形边长为2，为边的中点，把和分别沿，折起.使得，两点重合为一点.下列四个命题正确的是（ ）
A. 平面 B. 直线与直线所成角为
C. 二面角的大小为 D. 点到平面的距离为
填空题（每小题5分，共3小题15分）
12.已知a=1,1,2，b=2，a−b=2，则a⋅b= .
13.已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则到平面的距离为______________．
14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，过作的垂线交轴于点，若，记椭圆的离心率为，则______.
四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共5小题77分）
15已知向量，，．
（1）当时，若向量与垂直，求实数和的值；
（2）若向量与向量，共面，求实数的值．
16已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程：
（2）若直线与圆的交点为两点，求.
17.溺水､校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲､乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.
（1）求甲队总得分为1分的概率；
（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
18.椭圆的中心是原点，焦点为，短轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）如果过点的直线与椭圆相交于点两点，且，求直线的方程.
19. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由.