浙江省杭州市西湖区保俶塔教育集团2024—2025学年上学期七年级期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市西湖区保俶塔教育集团2024—2025学年上学期七年级期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了结果是，下列实数中，属于有理数的是，下列各式中，正确的是，下列说法错误的是，下列计算正确的是，设为正整数，且，则的值为，如果表示实数，那么的值等内容，欢迎下载使用。
一.选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出每小题中一个最符合题意的）
1．（3分）结果是
A．1B．2C．D．
2．（3分）2023杭州亚运会举办期间，接待游客约22700000人次，数据22700000用科学记数法可表示为
A．B．C．D．
3．（3分）下列实数中，属于有理数的是
A．
B．
C．（每相邻的两个0之间依次增加一个
D．
4．（3分）下列各式中，正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）下列说法错误的是
A．近似数0.350精确到0.001
B．35600精确到千位是3.6万
C．近似数302.51精确到十分位
D．近似数2.20是由数四舍五入得到的，那么数的取值是
6．（3分）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
7．（3分）设为正整数，且，则的值为
A．5B．6C．7D．8
8．（3分）如果表示实数，那么的值
A．不可能是负数B．可能是零或者负数
C．必定是零D．必定是正数
9．（3分）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．
则数轴上点所对应的数为
A．3B．C．D．
10．（3分）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是
①小长方形的较长边为；
②阴影的较短边和阴影的较短边之和为；
③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值；
④当时，阴影和阴影的面积和为定值．
A．①③B．②④C．①③④D．①④
二.填空题（每小题3分，共18分.）
11．（3分）的倒数是 ．
12．（3分）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为 ．
13．（3分）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为 ．
14．（3分）若代数式是关于的六次三项式，的值是 ．
15．（3分）如图，数轴上点，对应的数分别是1，2，以为边在数轴上方作正方形，连接，以为圆心，的长为半径画圆弧交数轴于点（点在点的左侧），则点在数轴上对应的数为 ．
16．（3分）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数减去原两位数后的结果与9的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的差为，与9的商为，所以．根据以上定义，请计算： ；若“互异数” 的个位数字是，十位数字是，则 （用含、的代数式表示）．
三.解答题（共8小题，共72分.）
17．（6分）请把实数，近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）．
18．（6分）计算：
（1）；
（2）．
19．（8分）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
20．（8分）一个正数的平方根是与，求和这个正数．
21．（10分）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻4．个台阶上数的和都相等．
（1）求第5个台阶上的数的值；
（2）求从下到上前31个台阶上数的和；
（3）请直接写出：用含为正整数）的式子表示数“”所在的台阶数．
22．（10分）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：
已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）
根据上述数据，解答下列问题：
（1）小刚家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度；
（2）小刚家一月份应交纳电费 元；
（3）若小刚家七月份用电量为度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示）．
23．（12分）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体，则．请尝试解决：
（1）把看成一个整体，合并 ；
（2）已知，求的值；
（3）已知，，求代数式的值．
24．（12分）已知：如图数轴上有、、三点，点和点间距20个单位长度且点、表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒．
（1）点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）；
（2）当 秒时，、两点之间相距10个单位长度？
（3）若点、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
2024-2025学年浙江省杭州市西湖区保俶塔教育集团七年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出每小题中一个最符合题意的）
1．（3分）结果是
A．1B．2C．D．
【考点】：有理数的减法
【分析】表示1与的和，即减去一个数等于加上这个数的相反数．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查了有理数的减法计算法则．有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．
2．（3分）2023杭州亚运会举办期间，接待游客约22700000人次，数据22700000用科学记数法可表示为
A．B．C．D．
【答案】．
【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3．（3分）下列实数中，属于有理数的是
A．
B．
C．（每相邻的两个0之间依次增加一个
D．
【答案】
【考点】实数
【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，进行判断即可．
【解答】解：，，（每相邻的两个0之间依次增加一个，中，只有是有理数，
故选：．
【点评】本题考查无理数和有理数，掌握其定义是解决此题的关键．
4．（3分）下列各式中，正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】平方根；立方根；二次根式的性质与化简
【分析】根据平方根与立方根的定义进行解题即可．
【解答】解：．，选项说法不正确，不符合题意；
．，选项说法正确，符合题意；
．，选项说法不正确，不符合题意；
．，选项说法不正确，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查的是立方根、平方根和二次根式的性质与化简，掌握相应的运算法则是关键．
5．（3分）下列说法错误的是
A．近似数0.350精确到0.001
B．35600精确到千位是3.6万
C．近似数302.51精确到十分位
D．近似数2.20是由数四舍五入得到的，那么数的取值是
【考点】：近似数和有效数字
【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．
【解答】解：、0.350是精确到0.001的近似数，所以选项的说法正确，不符合题意；
、35600精确到千位是3.6万，所以选项的说法正确，不符合题意；
、近似数302.51精确到百分位，所以选项的说法错误，符合题意；
、近似数2.20是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围是，所以选项的说法正确，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
6．（3分）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【考点】合并同类项
【分析】根据合并同类项的法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式，故错误；
（C）原式，故错误；
（D）与不是同类项，故错误；
故选：．
【点评】本题考查合并同类项的法则，注意同类项才能进行合并同类项，本题属于基础题型．
7．（3分）设为正整数，且，则的值为
A．5B．6C．7D．8
【答案】
【考点】估算无理数的大小
【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
8．（3分）如果表示实数，那么的值
A．不可能是负数B．可能是零或者负数
C．必定是零D．必定是正数
【答案】
【考点】绝对值；实数
【分析】利用绝对值的性质解题．
【解答】解：若，则；
若，则；
若，则，；
为非负数；
故选：．
【点评】本题考查绝对值的非负性，属于基础题．
9．（3分）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．
则数轴上点所对应的数为
A．3B．C．D．
【答案】
【考点】数轴
【分析】根据刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变求解．
【解答】解：，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了数轴，刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变是解题的关键．
10．（3分）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是
①小长方形的较长边为；
②阴影的较短边和阴影的较短边之和为；
③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值；
④当时，阴影和阴影的面积和为定值．
A．①③B．②④C．①③④D．①④
【答案】
【考点】列代数式；整式的加减
【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；
②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影，的较短边长，将其相加可得出阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；
③由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长之和为，结合为定值可得出说法③正确；
④由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影和阴影的面积之和为，代入可得出说法④正确．
【解答】解：①大长方形的长为，小长方形的宽为，
小长方形的长为，说法①正确；
②大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为，
阴影的较短边为，阴影的较短边为，
阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；
③阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为，
阴影的周长为，阴影的周长为，
阴影和阴影的周长之和为，
若为定值，则阴影和阴影的周长之和为定值，说法③正确；
④阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为，
阴影的面积为，阴影的面积为，
阴影和阴影的面积之和为，
当时，，说法④正确．
综上所述，正确的说法有①③④．
故选：．
【点评】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．
二.填空题（每小题3分，共18分.）
11．（3分）的倒数是 ．
【考点】倒数
【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，，即可解答．
【解答】解：根据倒数的定义得：
，因此倒数是．
故答案为：
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
12．（3分）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为 ．
【考点】正数和负数；数学常识
【分析】根据正数与负数的意义可得算式，计算可求解．
【解答】解：由题意得，
故答案为．
【点评】本题主要考查正数与负数，理解题意是解题的关键．
13．（3分）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为 5 ．
【答案】5．
【考点】立方根
【分析】根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可．
【解答】解：由题意可得每个方块的体积为，
则其边长为．
故答案为：5．
【点评】本题考查了立方根，掌握已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．
14．（3分）若代数式是关于的六次三项式，的值是 ．
【答案】．
【考点】多项式；绝对值
【分析】根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数．
【解答】解：多项式是关于的六次三项式，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查多项式的项数，次数的求解．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中未知数的次数总和的最大值即为多项式的次数．
15．（3分）如图，数轴上点，对应的数分别是1，2，以为边在数轴上方作正方形，连接，以为圆心，的长为半径画圆弧交数轴于点（点在点的左侧），则点在数轴上对应的数为 ．
【答案】．
【考点】实数与数轴
【分析】如图，数轴上点，对应的数分别是1，2，以为边在数轴上方作正方形，连接，以为圆心，的长为半径画圆弧交数轴于点（点在点的左侧），则点在数轴上对应的数
【解答】解：由图得，，
四边形为正方形，
，
，
点表示的数为1，
点对应的数为．
故答案为：．
【点评】本题考查了数轴与实数的关系，掌握数轴上表示的数的大小关系及正方形的性质是解题关键．
16．（3分）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数减去原两位数后的结果与9的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的差为，与9的商为，所以．根据以上定义，请计算： ；若“互异数” 的个位数字是，十位数字是，则 （用含、的代数式表示）．
【考点】列代数式；整式的加减
【分析】按照示例所给的步骤，即可求出以及的值．
【解答】解：，对调个位数字与十位数字得到新两位数15，新两位数与原两位数的差为，与9的商为，所以；
，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的差为，与9的商为，所以．
故答案为：；．
【点评】本题考查了有理数以及整式的运算，理解示例的解题过程是解题的关键．
三.解答题（共8小题，共72分.）
17．（6分）请把实数，近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）．
【答案】数轴见解析；．
【考点】立方根；实数大小比较；实数与数轴
【分析】根据实数与数轴上的点一一对应，以及实数的大小关系将所给的4个实数表示在数轴上，再根据数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数比较大小即可．
【解答】解：所给的四个实数在数轴上表示如下：
由四个实数数轴上表示的位置可知：．
【点评】本题考查实数与数轴，实数大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
18．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）18；（2）5．
【考点】实数的运算
【分析】（1）先算乘方、开方，再算乘法，最后加减；
（2）先算乘方，再利用乘法的分配律，最后加减．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则、运算律是解决本题的关键．
19．（8分）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）；（2），．
【考点】整式的加减—化简求值
【分析】（1）根据整式的加减化简求值的方法进行计算；
（2）对代数式进行化简，再分别代入计算．
【解答】解：（1）
；
（2）
，
当时，
原式
．
【点评】此题考查了整式的加减化简求值，掌握整式的加减化简求值的方法是关键．
20．（8分）一个正数的平方根是与，求和这个正数．
【考点】21：平方根
【分析】首先根据正数有两个平方根，它们互为相反数可得，解方程可得，然后再求出这个正数即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
，，
则这个正数为9．
【点评】此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
21．（10分）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻4．个台阶上数的和都相等．
（1）求第5个台阶上的数的值；
（2）求从下到上前31个台阶上数的和；
（3）请直接写出：用含为正整数）的式子表示数“”所在的台阶数．
【答案】（1）第5个台阶上的数是；（2）从下到上前31个台阶上数的和为15；（3）为正整数）．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】（1）根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得；
（2）根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得；
（3）由循环规律即可知数“”所在的台阶数为．
【解答】解：（1）前4个台阶上数的和是：；
由题意得，
解得：，
则第5个台阶上的数是；
（2）由题意知台阶上的数字是每4个一循环，
，
．
．
即从下到上前31个台阶上数的和为15．
（3）数“”所在的台阶数为为正整数）．
【点评】本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键是根据相邻四个台阶上数的和都相等得出台阶上的数字是每4个一循环．
22．（10分）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：
已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）
根据上述数据，解答下列问题：
（1）小刚家用电量最多的是 五 月份，实际用电量为 度；
（2）小刚家一月份应交纳电费 元；
（3）若小刚家七月份用电量为度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示）．
【考点】正数和负数；列代数式
【分析】（1）根据表格中的数据可以解答本题；
（2）根据表格中的数据和题意，可以计算出小刚家一月份应交纳电费；
（3）根据表格中的数据，可以用分类讨论的方法用相应的代数式表示出小刚家七月份应交纳的电费．
【解答】解：（1）由表格可知，
五月份用电量最多，实际用电量为：（度，
故答案为：五，236；
（2）小刚家一月份用电：（度，
小刚家一月份应交纳电费：（元，
故答案为：85；
（3）当时，电费为元；
当时，电费为元；
当时，电费为
元．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
23．（12分）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体，则．请尝试解决：
（1）把看成一个整体，合并 ；
（2）已知，求的值；
（3）已知，，求代数式的值．
【考点】整式的加减—化简求值
【分析】（1）把看成一个整体，合并即可得到结果；
（2）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值；
（3）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）
；
故答案为：；
（2），
原式
；
（3），，
原式
．
【点评】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．（12分）已知：如图数轴上有、、三点，点和点间距20个单位长度且点、表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒．
（1）点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）；
（2）当 秒时，、两点之间相距10个单位长度？
（3）若点、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【考点】有理数；数轴；列代数式
【分析】（1）设点表示的数为，则点表示的数为，由数轴可知，求出，根据算出点表示的数，再由点的运动速度和时间求出点表示的数即可；
（2）分点在点左边和点在点右边两种情况列方程求解进行解答即可；
（3）根据题意先将点、点和点表示的数算出来，再算出、、并代入中，合并同类项，由存在性问题的解法列方程求解即可解答．
【解答】解：（1）设点表示的数为，则点表示的数为，
点和点间距20个单位长度，
，
解得，
点表示的有理数是；点表示的有理数是10，
，
点表示的有理数是，
动点从点出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒，
点表示的数是，
故答案为：，30，；
（2）当点在点左边时，，
、两点之间相距10个单位长度，
，解得，
当点在点右边时，，
、两点之间相距10个单位长度，
，解得，
当或15秒时，、两点之间相距10个单位长度，
（3）存在常数，使得为一个定值，
理由如下：
由题意可知，点表示的数为；点表示的数为；点表示的数为，
；；，
，
要使得为一个定值，
，解得，
，
，这个定值为．
【点评】本题考查的是数轴的知识、一元一次方程的应用，掌握相反数的概念、灵活运用数形结合思想和分情况讨论思想是解题的关键．
居民每月用电量
单价（元度）
不超过50度的部分
0.5
超过50度但不超过200度的部分
0.6
超过200度的部分
0.8
一月份
二月份
三月份
四月份
五月份
六月份
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D．
B
B
C
B
C
A
C
C
居民每月用电量
单价（元度）
不超过50度的部分
0.5
超过50度但不超过200度的部分
0.6
超过200度的部分
0.8
一月份
二月份
三月份
四月份
五月份
六月份