初中数学北师大版（2024）八年级下册第一章 三角形的证明3 线段的垂直平分线课时训练

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册第一章 三角形的证明3 线段的垂直平分线课时训练，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在△ABC的BC边上找一点P，使得PA+PC=BC．下面找法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是（ ）
A．15°B．20°C．30°D．25°
3．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC长为8cm，BE长为6cm，则EC的长为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
4．如图，直线DE是△ABC边AC的垂直平分线，且与AC相交于点E，与AB相交于点D，连接CD，已知BC=12cm，AB=16cm，则△BCD的周长为（ ）
A．28cmB．22cmC．20cmD．18cm
5．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=112°，则∠EAF为（ ）
A．38°B．42°C．44°D．48°
6．三角形内到三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点
7．如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于12BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连结CD，若AB=4，∠ACB=90°，则CD的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于12AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
9．如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE=2cm，△ABD的周长为11cm，则△ABC的周长为（ ）
A．13cmB．14cmC．15cmD．16cm
二、填空题
1．如图，D、E是△ABC的BC边上的两点，DM，EN分别垂直平分AB、AC，垂足分别为点M、N．若∠DAE=24°，则∠BAC的度数为_______．
2．在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠A=40°，则∠CDB=______．
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，斜边AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D，AE=8cm，则BC=______cm．
4．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为_______．
5．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是∠BAC的平分线，AD=4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．
三、解答题
1.如图，直线m表示一条公路，A，B表示两所大学，要在公路旁修建一个车站P，使车站到两所大学的距离相等．请用尺规在图上找出点P并说明理由．
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B=60°，∠C=26°．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
(2)记（1）中所作AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，连接AE．求∠DAE的度数．
3．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：
(1)BC=AD；
(2)点O在线段AB的垂直平分线上．
4．如图，AC=AB，DC=DB，AD与BC相交于O．
(1)求证：△ACD≌△ABD；
(2)求证：AD垂直平分BC．
5．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，BC=5．
(1)作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．
6.（1）如图，已知△ABC,P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E．使AE+EP=AC．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在上图中，如果AC=6cm,AP=3cm，则△APE的周长是_______cm．
7.已知，△CBD中，CB=CD，点E是△ABD的边AB上的点，且CE⊥BD于H．
(1)如图1，若DE∥BC，求证：BE=BC．
(2)如图2，DE与BC不平行，连接AC，交BD于点F．若DE恰好垂直平分AC，且AF=AE．请先找出图中所有与BE相等的线段（不需另填字母），再进行证明．
8.如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于点H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．
(1)如图1，当点M与点C重合时，求证：BN=CD；
(2)如图2，当点M在BC的延长线上时，BN、CE、CD之间具有怎样的数量关系？并说明理由．
9.如图，在等边△ABC中，D为BC边的中点，点E为线段AD上一点，连接CE，以CE为边构造等边△CEF（点B，E，F不共线），连接AF，BF．
(1)求证：BF垂直平分AC；
(2)如图2，作CE关于直线AC对称的线段CE'，连接E'F，猜想E'F与BC的位置关系并说明理由．
答案
一、选择题
D．．D．B．C．C．
二、填空题
1．102°． 2．80°．3．4． 4．15． 5．245．
三、解答题
1．解：如图所示，点P是AB的垂直平分线与直线m的交点．
作线段AB的中垂线．
∵MN垂直平分线段AB，
∴PA=PB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）．
2．（1）解：如图所示：EF即为线段AC的垂直平分线；
（2）∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C=26°，
∵∠B=60°，∠C=26°，
∴∠BAC=180°-26°-60°=94°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAC=12∠BAC=47°，
∴∠DAE=21°．
3．（1）证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C=∠D=90°，
∴在Rt△ACB和Rt△BDA中，AC=BDAB=BA，
∴Rt△ACB≌Rt△BDAHL，
∴BC=AD；
（2）证明：∵Rt△ACB≌Rt△BDA，
∴∠CAB=∠DBA，
∴OA=OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上．
4．（1）∵AC=AB，DC=DB，AD=AD，
∴△ACD≌△ABD(SSS)；
（2）∵△ACD≌△ABD，
∴∠CAO=∠BAO．
又∵AC=AB，AO=AO，
∴△CAO≌△BAO(SAS)，
∴∠COA=∠BOA=90°，CO=BO，
∴AD垂直平分BC．
5．（1）
如图所示，点D、H即为所求
（2）
∵DH垂直平分BC，
∴DC=DB，
∴∠B=∠DCB，
∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=∠ACB=90°，
∴∠A=∠DCA，
∴DC= DA，
∴△BCD的周长=DC+DB+BC=DA+DB+BC=AB+BC=8+5=13．
6．（1）作法：如图所示，
①连接PC（用虚线），
②作PC的垂直平分线交AC于E，
③标出点E即为所求，
（2）∵PE=CE，
∴AE+EP=AC，
∴△APE的周长＝AP+AE+PE=AP+AC=3+6=9．
7.（1）证明：∵CB=CD，CE⊥BD，
∴DH=BH，∠DCH=∠BCH，
∴CE垂直平分BD，
∴ED=EB，
∴∠DEH=∠BEH，
∵DE∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BE=BC．
（2）DE，CF，
理由：∵DE垂直平分AC，
∴AE=EC，DA=DC，
∴∠AED=∠CED，∠ACE=∠EAC
又∵CD=CB且CE⊥BD，
∴HB=HD，CE垂直平分DB，
∴CB=CD=DA，DE=BE，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠AED=∠CED=∠BEC，
又∵∠AED+∠CED+∠BEC=180°，
∴∠AED=∠CED=∠BEC=13×180°=60°；
∴∠ACE=∠EAC=∠EBD=∠EDB=30°，
在△ACE与△ABF中，
∠ACE=∠ABF∠CAE=∠BAFAE=AF，
∴△ABF≌△ACEAAS，
∴AC=AB，
又∵AE=AF，
∴AB-AE=AC-AF，
即BE=CF．
8.（1）证明：如图，连接DN，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵l⊥AO，
∴∠AHN=∠AHC=90°，
∴∠ANH=∠ACH，
∴AN=AC，
∴NH=CH，
∴DN=DC，
∴∠DNH=∠DCH，
∴∠AND=∠ACB，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AND=2∠B，
∵∠AND=∠B+∠BDN，
∴∠B=∠BDN，
∴DN=BN，
∴CD=BN；
（2）解：BN=CD+CE，理由如下：
如图，过点C作CF⊥AD交AB于点F，交AD于点G，连接DF，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵l⊥AO，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠ANH=∠AEH，
∴AN=AE，
同理∠AFC=∠ACF，
∴AF=AC，
∴FG=CG，FN=CE，
∴DF=DC，
∴∠DFC=∠DCF，
∴∠AFD=∠ACB，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AFD=2∠B，
∵∠AFD=∠B+∠BDF，
∴∠B=∠BDF，
∴DF=BF，
∴CD=BF，
∴BN=BF+FN=CD+CE．
9.（1）如图1，连接BE，
∵△ABC和△CEF都是等边三角形，
∴AB=BC=AC,CE=CF，∠BCA=∠FCE=60°，
∴∠BCA-∠ECA=∠FCE-∠ECA，
即∠BCE=∠ACF，
在△BCE和△ACF中，
CB=CA∠BCE=∠ACFCE=CF，
∴△BCE≌△ACFSAS，
∴EB=FA，
∵AB=AC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴EC=FA，
又∵EC=FC，
∴FA=FC，
∴点F在线段AC的垂直平分线上，
∵BA=BC，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴BF垂直平分AC，
（2）如图2，E'F∥BC，理由如下：
由CE关于直线AC对称的线段CE'可知：CE=CE',∠1=∠2，
∵△ABC，△CEF都是等边三角形，
∴CE=CF，∠BCA=∠FCE=60°，
∴CF=CE'，∠BCE'=∠BCA+∠2=60°+∠2，
∠3=∠ECF-∠1-∠2=60°-2∠2，
∴∠CE'F=∠CFE'，
∵∠CE'F+∠CFE'+∠3=180°，
∴∠CE'F=180°-∠32=180°-(60°-2∠2)2=60°+∠2，
又∵∠BCE'=60°+∠2，
∴∠CE'F=∠BCE'，
∴E'F∥BC．