山东省聊城市水城慧德学校2024-2025学年高二上学期十二月月考数学试卷

这是一份山东省聊城市水城慧德学校2024-2025学年高二上学期十二月月考数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知直线,则直线l的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．已知直线与圆交于A,B两点,且,则( )
A.4B.-4C.2D.-2
3．已知椭圆上存在两点M、N关于直线对称.若椭圆离心率为,则的中点坐标为( )
A.B.C.D.
4．设是正三棱锥,是的重心,G是上的一点,且,若,则( )
A.B.C.D.1
5．已知抛物线的焦点为F,准线为l,且l过点,M在抛物线C上,若点,则的最小值为( )
A.2B.3C.4D.5
6．已知点,,动点P满足条件.则动点P的轨迹方程为( )
A.B.
C.D.
7．曲线与曲线（）的( )
A.短轴长相等B.长轴长相等C.焦距相等D.离心率相等
8．如图,已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”,其中.“果圆”与轴的交点分别为,,与y轴的交点分别为,,点P为半椭圆上一点（不与重合）,若存在.,则半椭圆的离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．向量,,若,则( )
A.B.
C.D.
10．已知直线l经过点,且被两条平行直线和截得的线段长为5,则直线l的方程为( )
A.B.C.D.
11．已知F为椭圆的左焦点，直线，与椭圆C交于A、B两点，，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则( )
A.的最小值为2
B.的面积的最大值为
C.直线的斜率为
D.为直角
三、填空题
12．已知圆,过圆C外一点P作C的两条切线,切点分别为A,B,若,则__________.
13．已知点在抛物线上，F为抛物线的焦点，直线与准线相交于点B，则线段的长度为________.
四、双空题
14．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，且，则______________.
五、解答题
15．(1)已知空间向量,,求;
(2)已知,,若,求实数的值
16．如图所示，C，D分别为半圆锥的底面半圆弧上的两个三等分点，O为中点，E为母线的中点.
（1）证明：平面；
（2）若为等边三角形，求平面与平面的夹角的余弦值.
17．如图,在四棱锥中,平面,,,,,M为棱的中点
(1)证明：平面;
(2)求平面和平面夹角的余弦值;
18．如图,在五棱锥中,,,,,,.
（1）证明:平面.
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
19．如图,直四棱柱中底面为平行四边形,,,P是棱的中点.
（1）证明:平面;
（2）求二面角的余弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：直线l的斜率,
由于,所以,的倾斜角为.
故选：A.
2．答案：D
解析：由题意可得圆M的圆心为,半径,
则圆心M到直线l的距离.因为,
所以,即,解得.
故选：D.
3．答案：C
解析：设点、,线段的中点为,则,
由题意,椭圆的离心率为,可得,
因为M、N关于直线对称,且直线的斜率为1,
则,
将点M、N的坐标代入椭圆方程可得,
上述两个等式作差可得,
可得,即,即,
即,①
又因为点在直线上,则,②
联立①②可得,故线段的中点为.
故选：C
4．答案：C
解析：如下图所示,连接并延长交于点D,则点D为的中点,
为的重心,可得,
而,
,
所以,,
所以,,因此,.
故选：C.
5．答案：D
解析：由题可得,准线l的方程为.
由抛物线的定义可知,,
.
故选：D.
6．答案：A
解析：,由,
结合双曲线定义可知动点P的轨迹为以,为焦点的双曲线右支,
在双曲线中,,可得,,
所以,
动点P的轨迹方程为.
故选：A.
7．答案：C
解析：A选项,明显短轴不相等,一个,,故错误;B选项,一个
另一个为,故错误.D选项,离心率,结合前面提到了a不相等,故错误;曲线的焦半径满足,而焦半径满足
,故两曲线的焦半径相等,故焦距相等,C正确.
8．答案：D
解析：（解法1）设,,
因为,,所以,.
,所以.
因为,所以.
因为,所以,即,解得.
（解法2）设,,
因为,,所以,,
所以.
因为,所以.
因为存在.,所以在上有解.
因为,且,
所以在上有解,
即在上有解.
因为,所以,即解得.
9．答案：BC
解析：因为,所以,由题意可得,
所以,,,则.
故选：BC.
10．答案：BC
解析：若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为,
此时与、的交点分别为,,
截得的线段的长,符合题意,
若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为,
解得,
解得,
由,得,解得,
即所求的直线方程为,
综上可知,所求直线l的方程为或,
故选:BC.
11．答案：BCD
解析：设椭圆C的右焦点，
由椭圆对称性知线段，互相平分于点O，
则四边形为平行四边形，如图，则，
有
，
当且仅当，即时取“=”，A不正确；
设，，则，
当且仅当，即时取“=”，
即，因，垂足为E，
则，B正确；
因，有，由椭圆对称性可得，而，
则直线的斜率，C正确；
设，由及得，，
即，
直线，的斜率，有，
而，
于是得，有，所以为直角，D正确.
故选：BCD.
12．答案：1
解析：由圆可得圆心坐标为,半径,
由、为圆C切线,故,
又故,
又,故为等边三角形,故.
故答案为：1.
13．答案：
解析：由点在抛物线上,可得,
即,又,
所以直线AF的方程为,
与准线方程联立可得,
所以
14．答案：-14;6
解析：已知直线的一个方向向量为,直线的一个方向
向量为,且,
则,
即,
解得,
故.
故答案为:-14;6.
15．答案：(1)
(2)2.
解析：(1),所以
(2) ,,,, ,
即,解得.
16．答案：（1）详见解析；
（2）
解析：（1）设的中点为F，连接，，，，，
在中，为三角形的中位线，所以，，
因为C，D分别为半圆弧上的两个三等分点，
为等边三角形，，
所以，，
易得四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面；
（2）解法一：
过D作的垂线，则垂足M为的中点，过M作的垂线，设垂足为N，连接，
因为平面平面，
平面平面，，所以平面，，
又因为，，所以平面，，
则为平面与平面的夹角，
设底面半径为R，则，
，，
在中，，即，
所以，即平面与平面的夹角的余弦值为.
解法二：
作的中点Q，连接，以O为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设底面半圆的半径为2，
则，，，，，，
由图形可知平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以是平面的一个法向量，
，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)取中点N,连接,.
在中,M,N分别为,的中点,则,,
因为,,则,,
可知四边形为平行四边形,则,
且平面,平面,所以平面.
(2)因为平面,,平面,
则,,且,
以D为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,如图所示,
取的中点E,连接,
因为,,则,.
又因为,所以四边形为矩形,
且,可知四边形是以边长为2的正方形,
则,,,,,,
可得,,,
设平面的法向量为,所以,
令,则,,所以平面的一个法向量为,
易知为平面的一个法向量,
所以,
所以平面和平面夹角的余弦值为.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:因为,,,,
所以,,
则,,
因为,平面,平面,所以平面.
（2）根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系.
,,,
则,.
易得平面的一个法向量为,
设平面的法向量为,
则,
可取.
设平面与平面的夹角为,
则,
即平面与平面的夹角的余弦值为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接,因为,,,
所以,又,
所以,
所以,
所以,又,所以,
因为,,所以,所以,
又四棱柱为直四棱柱,所以平面,平面,
所以,又,平面,
所以平面,
又平面,所以,
又,,平面,
所以平面;
（2）由（1）可知、、两两互相垂直,如图建立空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,
则,
取,则,,
;
由（1）得平面的法向量,
设二面角为,显然二面角为锐二面角,
所以,所以二面角的余弦值为.