广东省广州执信中学2024-—2025学年上学期9月限时训练九年级数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省广州执信中学2024-—2025学年上学期9月限时训练九年级数学试题（解析版）-A4，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 把题图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转对称图形的特征，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解题的关键．
根据旋转对称图形的特征可得答案．
【详解】解：由图形知，该图形是旋转对称图形，
则旋转，，都可以与自身重合，
旋转不能与自身重合．
故选：B．
2. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：A．
3. 如图，与关于点成中心对称，若点A的坐标为，则点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称的性质．根据中心对称的性质，为，的中点，即可求解．
【详解】解：与关于点成中心对称，点A的坐标为，
设，
依题意，，
解得：，
点的坐标为，
故选：C．
4. 若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（ ）
A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆外D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据题意得出，从而即可得出答案．
【详解】解：∵的直径为，所以半径为，点到圆心的距离为，
∴，
∴点与的位置关系为：点在圆上，
故选：B．
5. 如图，已知点，，将线段绕点M 逆时针旋转到，点A与是对应点，点B 与是对应点，则点M的坐标是（ ）
A. B. C. −1,1D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，旋转变换，根据“对应点连线的垂直平分线的交点为旋转中心”作图即可．
【详解】解：如图，连接、，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线，交点即为点M，旋转中心M即为所求．
由图可得点M的坐标是−1,1．
故选：C．
6. 如图，为的切线，A为切点，交于点C，点B在上，连接，．若的度数为，则的度数是（ ）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据圆周角定理得出，根据切线的性质得出，最后求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：

∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，故C正确．
故选：C．
7. 如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A. B. 4C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】作的半径于，连接、，如图，利用折叠的性质得垂直平分，则，于是可判断为等边三角形，所以，利用含30度的直角三角形三边的关系求出，然后利用垂径定理得到，从而得到的长．本题考查了相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．也考查了折叠的性质．
【详解】解：作的半径于，连接、，如图，
圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，
垂直平分，
，
而，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
故选：D．
8. 如图，是的内接三角形，．点是延长线上一点，且与相切于点，若的半径为1，则长为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，切线的性质，互补的性质，勾股定理是解题的关键．
如图所示，连接，根据圆周角定理可得，根据补角的性质可得，结合题意，与相切于点，可得，，运用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∵与相切于点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（ ）
A. 7B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算．
连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短．
【详解】解：连接．
∵是O的切线，
∴，
根据勾股定理知，
∵当时，线段最短，
又∵、，
∴，
∴，是的中线，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
10. 如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（ ）
A. ①④⑤B. ①③④C. ①③④⑤D. ①③⑤
【答案】C
【解析】
【分析】根据正三角形性质，得，；根据旋转的性质，得，，根据等边三角形的性质，可判断②，通过证明，即可判断①；根据勾股定理逆定理，得，结合等边三角形 ，可判断③；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性质，可计算得，从而判断④；绕点A逆时针旋转得到，根据等腰三角形、勾股定理及其逆定理的性质计算，可判断⑤，即可得到答案．
【详解】解：连接，如下图：
∵正
∴，
∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，
∴，
∴为等边三角形
∴，即②错误；
∵，
∴
和中

∴
∴，可以由绕点B逆时针旋转得到，即①正确；
∵，
∴
∴
∵为等边三角形
∴
∴，即③正确；
∵
∴
过点B做，交于点N
∵为等边三角形
∴
∴
∴
∴
∴四边形面积，即④正确；
∵正
∴绕点A逆时针旋转得到，如下图：
∵，，，
∴等边三角形
∴
过点A做，交于点G，如下图：
∵为等边三角形
∴
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴
∴，即⑤正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理和勾股定理求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：由题意，，
∵是的半径，弦于点D，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
12. 如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 __．
【答案】##28度
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，根据切线的性质得，求出的度数，再根据圆周角定理计算的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵切于点C，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 若点关于原点的对称的点Q的坐标为，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查原点对称，关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数，由此解答即可．
【详解】解：点关于原点的对称的点Q的坐标为，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：．
14. 在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是_____．
【答案】6或
【解析】
【分析】本题考查了三角形外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半是解题的关键．
根据题意分两种情况讨论，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径即可．
【详解】解：在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，
当5，12是直角三角形的两条直角边时，
根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为，
此三角形的外接圆的半径是；
当12是直角三角形的斜边时，
此三角形的外接圆的半径是；
综上所述，这个三角形的外接圆的半径是6或．
故答案是：6或．
15. 如图，是的直径，弦平分，连接，过点D作的切线交于点E，若，，则的长为______．

【答案】1
【解析】
【分析】过点O作于点F，证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，特殊角的函数值计算即可．
【详解】过点O作于点F，
∵弦平分，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，

∴；
∵，过点D作切线交于点E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质是解题的关键．
16. 如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】把BD绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，利用等量代换可得，从而证得，可得，即的最小值为的值，再根据等腰三角形的性质可得，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图，把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为的值，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案：．
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，根据旋转的性质构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 如图，，是的两条弦，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等，据此求解即可．
【详解】，
，
，
．
18. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将绕坐标原点O逆时针旋转，画出对应的图形，直接写出点A的对应点的坐标．
【答案】画图见解析，
【解析】
【分析】本题考查作图旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质作图即可，由图可得答案．
【详解】如图所示，即为所求．
∴．
19. 如图，是的外接圆，是的直径，点B为圆外一点，且．求证：是的切线．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边对等角，三角形内角和定理，先由直径所对的圆周角是直角推出，再由等边对等角得到，结合已知条件证明，即可证明是的切线．
【详解】证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
20. 如图，在平面内，绕点A逆时针旋转后得，，连接．求证：．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，由旋转的性质得，，求出，然后根据即可证明．
【详解】证明：∵由旋转可得，
∴．，
∵旋转角为，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
在和中，，
∴．
21. 如图，在中，．
（1）作的平分线交边于点O，再以点O为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见详解 （2）与相切，理由见详解
【解析】
【分析】(1)首先利用角平分线的作法得出，进而以点O为圆心，为半径作即可；
(2)利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可．
此题考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出是解题关键.
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：相切；过O点作于D点；
平分，
，即，
与直线相切．
22. 在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，．
（1）判断和的大小关系，并说明理由；
（2）求证：；
（3）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1），理由见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，再利用为等边三角形得到，则可得到；
（2）通过证明得到；
（3）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，于是得到，再与（2）的证明方法一样证明得到，于是，加上，从而可判断四边形是平行四边形．
【小问1详解】
解：，
理由如下：
以点为中心，把逆时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，
，
；
【小问2详解】
证明：在和中，
，
，
；
【小问3详解】
证明：以点为中心，把顺时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
由（1）可知：
，
由（2）可知：，
又，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
23. 如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于．
（1）求证：；
（2）连接，若的半径为2，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识，作出合理的辅助线并熟练运用圆周角定理、三角形中位线定理是解题的关键．
（1）根据圆周角定理求出，结合对顶角相等及三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据“等角对等边”即可得证；
（2）连接，，，，结合圆周角定理、三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出为的中点，为的中点，根据三角形中位线的判定与性质求．根据圆周角定理求出，进而推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：，
，
平分，
，
又，
，
又，
，
，
，
∵，
∴，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接，，，，
，，
，
，
又，
为的中点．
由（1）知，，
为的中点，
是的中位线，
．
，
，
是等腰直角三角形，
．
，
，
．
24. 问题发现：
（1）如图，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则：
①的度数是______；
②线段，，之间的数量关系是______．
拓展探究：
（2）如图，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请写出的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）如图，在中，，，，若点满足，，请直接写出线段的长度．
【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）或
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，四点共圆．
（1）①证明，根据全等三角形性质解答；
②由可得，即可得到；
（2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可；
（3）如图，作于，连接AD，根据勾股定理得到，推出点，，，四点共圆，根据圆周角定理得到，求得是等腰直角三角形，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）①∵在中，，，
，
，即，
在和中，
，
∴，
，，
故答案为：；
②，
；
故答案为： ；
（2），
理由如下：
由得，，
，，
，
，
在中，，又，
；
（3）或
如图，作于，连接AD，
在中，，，，
，
，，
，，
，
点，，，四点共圆，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
或．
25. 如图，为直径，P为延长线上一点，过点P作切线，切点为C，，垂足为D，连接和．

（1）如图1，求证：平分；
（2）在上取点E，使得；
①如图2，E为下方上一点，连接，若，求半径；
②如图3，E为上一点，且，若半径为2，则的长为______．
【答案】（1）见解析 （2）①3；②
【解析】
【分析】（1）连接，一方面由为直径，得；另一方面由切线性质得，从而；由及，得，从而，结论成立；
（2）①延长交于点G，由已知可得，由角平分线性质定理得，从而可证明，得；再证明，得，则由求得直径，进而求得半径；
②连接，由得；由①知；由，可得，则；设，则；由平角可求得，从而求得，进而得，由勾股定理即可求得．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
为直径，
；
与相切，
，
；
，，
，，
，
，
平分；
【小问2详解】
解：①如图，延长交于点G，
由（1）知，平分，
；
，
，
，
即；
，
，
，
即；
平分，，
，
，
；
；
，
，
；
，
，
，
故半径为3；

②如图，连接，
，
；
由①知；
，，
，
；
设，
则；
，
即，
；
在中，，则，
；
在中，由勾股定理得．

故答案为：．