广东省广州市白云区华南师范大学附属太和实验学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省广州市白云区华南师范大学附属太和实验学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A. y＝2xB. y＝﹣2x﹣1C. y＝x2+2D. y＝
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据二次函数的定义判定即可．
【详解】解：A、是一次函数，错误；
B、是一次函数，错误；
C、是二次函数，正确；
D、不是整式函数，错误；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．
2. 已知的半径是，则中最长的弦长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的基本性质．根据圆中最长的弦为直径，即可求解．
【详解】解：∵的半径是，
∴中最长的弦长直径是．
故选：D
3. 如图，将绕着点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A. B. 60°C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质，依据旋转的性质可求得 ，，求得的度数，再根据即可求解．
【详解】解：由旋转的性质可得 ，，，
∴，
∵，
∴．
故选：A.
4. 已知是半径为3的圆中的一条弦，则的长不可能是（ ）
A. 8B. 5C. 4D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆中最长的弦为直径求解．
【详解】解：由题意圆的半径为3，则该圆的直径为6， 因为圆中最长的弦为直径，
∴．
观察选项，的长不可能是8，只有选项A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解本题的关键．
5. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根，
∴，
解得：．
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
6. 在同一坐标系中，作y＝x2，，的图象，它们的共同特点是( )
A. 抛物线的开口方向向上
B. 都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大
C. 都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小
D. 都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点
【答案】D
【解析】
【分析】本题的三个抛物线解析式都符合y=ax2形式，可以从顶点坐标和对称轴找相同点．
【详解】解：因为y=ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点，
所以它们共同特点是：关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点．
故选D．
【点睛】要掌握y=ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点．
7. 设a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根，则a2+3a+b的值为（ ）
A. ﹣18B. 21C. ﹣20D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】根据根与系数的关系看得a+b＝﹣2，由a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根看得a2+2a＝20，进而可以得解．
【详解】解：∵a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根，
∴a2+2a＝20，
a+b＝﹣2，
∴a2+3a+b
＝a2+2a+a+b
＝20﹣2＝18
则a2+3a+b的值为18．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系式解此题的关键.
8. 如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，的长为（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，证明是等腰直角三角形，进而求出，则．
【详解】解：∵，
∴，
∵的直径垂直于弦，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，证明是等腰直角三角形，得到是解题的关键．
9. 点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别把点，代入抛物线解析式，再由，列出不等式，即可求解．
【详解】解：∵点，都在抛物线上，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴
解得：．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10. “整体思想”在数学计算中有着很广泛的应用，用这一思想方法可求得函数的最大值是（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】设，代入，化为顶点式根据二次函数的性质作答即可．
【详解】设，
则，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线．
当时，，
∴此时无解．
∵，
∴当时， 取得最大值5，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及“整体思想”的应用，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 如果二次函数的图象经过坐标原点，那么的值为________．
【答案】6
【解析】
【分析】把原点坐标代入二次函数解析式，计算即可．
【详解】解：把原点代入解析式，得，
解得：，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数图象上的点的坐标满足二次函数解析式是解题的关键．
12. 汽车刹车后行驶的距离(单位：)关于行驶的时间(单位：)的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进了______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s的值.
详解】解：根据二次函数解析式=-6(t²-2t+1-1)=-6(t-1) ²+6
可知，汽车的刹车时间为t=1s，
当t=1时，=12×1-6×1²=6(m)
故选：6
【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，理解透题意是解题的关键．
13. 若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝_____．
【答案】﹣1
【解析】
【分析】根据一元二次方程解的定义把x＝0代入方程求m，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
【详解】解：把x＝0代入方程得m2﹣1＝0，解得m＝±1，
而m﹣1≠0，
所以m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定义．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，，将点B绕点A顺时针旋转得到点C，则点C的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作轴于点D，过点B作轴于点E，可证明，可得，再由点B的坐标是，，可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作轴于点D，过点B作轴于点E，则，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B坐标是，
∴，
∵，
∴，
∴点C的坐标为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，根据题意得到是解题的关键．
15. 二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，则t的取值范围是_____．
【答案】﹣5≤t≤4．
【解析】
【分析】先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，再计算出自变量为1和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1≤x≤5时有公共点时t的范围即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝5时，y＝﹣x2+4x＝﹣25+20＝﹣5，
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1≤x≤5时有公共点时，﹣5≤t≤4，如图．
所以关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，t的取值范围为﹣5≤t≤4．
故答案为﹣5≤t≤4．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了数形结合的思想．
16. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论是___（写出你认为正确的所有结论序号）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据抛物线的开口，对称轴即可判断①，举例证明②不成立，根据对称轴即可判断③，根据当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∴2a＜0．
∵对称轴x=＞1，﹣b＜2a，
∴2a+b＞0．故选项①正确．
∵﹣b＜2a，
∴b＞﹣2a＞0＞a，
取符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x=1右侧”的特点的一函数，如，
令，得．
由得．
∴．
当时，a＞c，a＜c，a= c都有可能．故②选项错误．
∵﹣1＜m＜n＜1，﹣2＜m+n＜2，
∴抛物线对称轴为：x=＞1，＞2，m+n＜．故选项③正确．
当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，
∴3a+c＞﹣2b．
∴﹣3a﹣c＜2b．
∵a＜0，b＞0，c＜0，
∴3|a|+|c|=﹣3a﹣c＜2b=2|b|．故④选项正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，特殊元素法和反证法的应用是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤）
17. 解方程：2x2+x﹣15＝0．
【答案】或；
【解析】
【分析】利用十字相乘法把方程左边进行因式分解得到（2x5）（x+3）=0，进而解两个一元一次方程即可．
【详解】解：，
∴，
∴或，
∴或；
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中．
18. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，BE＝CD＝16，试求⊙O的半径．
【答案】10
【解析】
【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理列式计算．
【详解】解：连接OD，设OB＝OD＝R，则OE＝16﹣R，
∵直径AB⊥CD，CD＝16，
∴∠OED＝90°，DE＝CD＝8，
由勾股定理得：OD2＝OE2+DE2
则R2＝（16﹣R）2+82
解得：R＝10，
∴⊙O的半径为10．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
19. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
【答案】（1）m≤
（2）-1
【解析】
【分析】（1）利用判别式得到Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=2m-4，（x1-3）（x2-3）=m2-1变形得到x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
19题详解】
解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，
解得m≤；
【20题详解】
根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4，
∵（x1-3）（x2-3）=m2-1，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，
∴2m-4-3×1+9=m2-1，
∴m2-2m-3=0，
解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
故m的值是-1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1•x2=．也考查了根的判别式．
20. 一个菱形两条对角线长的和是，面积是．求菱形的周长．
【答案】菱形的周长是cm．
【解析】
【分析】设菱形的一条对角线长为xcm，则另一条对角线长为(10－x)cm，由菱形的性质可知：(10－x)＝12，然后根据勾股定理及菱形的性质可求解．
【详解】解：设菱形的一条对角线长为xcm，则另一条对角线长为(10－x)cm，由菱形的性质可知：
(10－x)＝12，整理，得x2－10x＋24＝0，
解得x1＝4，x2＝6．
当x＝4时，10－x＝6；当x＝6时，10－x＝4，
所以这个菱形的两条对角线长分别为6cm和4cm．
由菱形的性质和勾股定理得菱形的边长为＝(cm)，所以菱形的周长为cm．
答：菱形的周长是cm．
【点睛】本题主要考查菱形的性质及一元二次方程的应用，熟练掌握菱形的性质及一元二次方程的应用是解题的关键．
21. 二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象；
（3）当函数值y＜0时，对应的x的取值范围是 ．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）-3