2024-2025学年江苏省连云港市灌南高中协作体高一(上)12月联考数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年江苏省连云港市灌南高中协作体高一(上)12月联考数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了单选题.，多选题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
一、单选题.
1. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】先求出集合，得到，则.
故选：C.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，解得或．
故选：D．
3. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【答案】A
【解析】根据全称命题的否定可知，，的否定为，.
故选：A.
4. 下列函数中，既是偶函数又在区间0，+∞上单调递减的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于，是偶函数，且在0，+∞上单调递减，故正确；
对于B，是偶函数，且在区间0，+∞上是单调递增，故错误；
对于C，是奇函数，不满足题意，故错误；
对于D，的图象不关于轴对称，不是偶函数，故错误.
故选：A.
5. 已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，由在上单调递减，，
得，所以.
故选：C.
6. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】是上的减函数，，解得：，
实数的取值范围为.
故选：D.
7. 设奇函数的定义域为，对任意的、，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对任意的、，且，都有不等式，
不妨设，则，
令，则，即函数在0，+∞上为增函数，
因为函数为R上的奇函数，即f-x=-fx，
则，所以函数为偶函数，
所以函数在0，+∞上单调递增，在上单调递减，
因为，则，
当时，即当时，
由可得，
则，解得；
当时，即当时，
由可得，
则，解得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：D.
8. 若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】不等式可化为，
当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；
当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；
当时，原不等式等价于，其解集为，
其解集中恰有3个整数解，所以，解得；
当时，原不等式等价于，
其解集为，不满足题意；
当时，原不等式等价于，其解集为，
其解集中恰有3个整数解，所以，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
二、多选题.
9. 下列几个命题中正确的是（ ）
A. 函数的最小值为4
B. 集合，，满足条件的集合的个数为7个
C. 已知，，且，则的最小值为
D. 一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为
【答案】CD
【解析】函数，令，
由对勾函数的性质可知，在单调递增，
∴当时，取最小值5，
∴函数的最小值为5，故A错误；
集合，，满足条件的集合有：
，
共8个，故B错误；
已知，，且，则，且，
∴
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为，故C正确；
一元二次不等式的解集为，
则2，3是方程的两根，且，
∴，得，
∴不等式可化为，即，
即，解得，
则不等式的解集为，故D正确.
故选：CD.
10. 设，为正数，且且，则（ ）
A. 的最小值是2B. 的最大值是
C. 的最大值是D. 的最大值是
【答案】ACD
【解析】由，所以，
对A，，当且仅当，即时等号成立，
故A正确；
对B，由可得，
当且仅当下时取等号，令，则，解得，
即，，当且仅当时取等号，故B错误；
对C，由，令，
则，解得，即，当且仅当时等号成立，
故C正确；
对D，由可得，
所以，令，由B知，
则由可知当时，，故当时，有最大值，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ）
A. B.
C. D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】作出的图象如下：令，则，
故，，A错误，BC正确，
令，则或
，结合图象可知，D正确.
故选：BCD.
三、填空题.
12. 已知函数的定义域为______.
【答案】
【解析】由题意得，即，
即，解得，∴函数的定义域为.
13. 已知，，用含a、b的式子表示____________．
【答案】
【解析】因为，
.
由，可得，将其代入中，
得到.
对进行化简，所以，.
因为.
把代入可得：.
14. 已知函数，若关于x的方程恰有两个不同的实数根，则a的值是__________.
【答案】或
【解析】因为，
作出函数的图象，如图所示：
由此可知函数在和上单调递减，在上单调递增，
且，，
又因为关于方程恰有两个不同的实数根，
结合图象可得或.
四、解答题.
15. （1）已知，求的值；
（2）计算的值．
解：（1）由，得，则，两边平方得，
所以.
（2）
.
16. 已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）判断的单调性并证明；
（3）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）由于是R上的奇函数，
，即，所以，，
又，所以，解得，
经检验符合题意.
（2）在R上单调递增，证明如下：
由于，可得，
设
则，
由于，故
因此，
，
故在R上单调递增.
（3）由于为奇函数，故由可得，
又在R上单调递增，因此对任意实数恒成立，
故，
由于对勾函数在单调递减，故当取最小值，
因此，故
17. 某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本）
（1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；
（3）若该企业当年不亏本，求年产量（万台）的取值范围．
解：（1）当时，销售收入为亿元（每台售价万元，万台），
总成本为固定研发成本亿元加上其他成本亿元.
根据利润=销售收入-总成本，
可.
当时，销售收入为亿元，总成本为亿元.
则.
所以.
（2）当时，，图象开口向下，对称轴为.
但，所以在这个区间上函数单调递增，所以亿元.
当时，根据基本不等式，有.
所以亿元，当且仅当，即取等号.
因为，所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元.
（3）当时，，即，解得
结合，知道此时满足题意.
当时，，即，
即，令，对称轴，
当时，单调递减，且时，.
则当，恒成立，即恒成立.
综上所得，该企业当年不亏本，则年产量（万台）的取值范围为.
18. 已知函数，.
（1）当时，若，求的最大值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，使得成立，求的取值范围.
解：（1）当，
令，即，
由，则.
（2）易知，对称轴为，
若，即时，在上单调递增，则；
若，即时，在上单调递减，则；
若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则；综上.
（3）由在上恒成立，
令，由对勾函数的性质知t在时单调递减，上单调递增，
易得，
则，
分离参数得在上恒成立，即，
令，，
由对勾函数的性质知在上单调递增，即，所以，
即的取值范围.
19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若定义在上函数的图象关于点对称，且当时，.
（1）求的值；
（2）设函数.
（ⅰ）函数的图像关于点对称，求m的值.
（ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a取值范围.
解：（1）因为定义在上函数的图象关于点对称，
所以为奇函数，
∴，得，
则令，得.
（2）（ⅰ）因为函数的图象关于点对称，
所以为奇函数，所以
为奇函数，
所以，解得.
（ⅱ）先证明在上单调递增，
设任意的，且，
则
，
由可知，，，
所以，即在上单调递增；
∴在区间上的值域为，记在区间上的值域为，
对任意，总存在，使得成立知，
由的图象关于点对称，所以只需
①当时，在上单调递增，由对称性知，
在上单调递增，∴在上单调递增，
只需即可，得，∴满足题意；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
由对称性知，上单调递增，在上单调递减，
∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
∴或，
当时，，，
即，，
∴满足题意；
③当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，
∴在上单调递减，
只需即可，得，∴满足题意.
综上所述，的取值范围为.