2024-2025学年山东省潍坊市高一(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省潍坊市高一(上)期中考试数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以.
故选：D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】命题“，”的否定是“，”.
故选：B.
3. 已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由函数的定义可知，要使应关系能构成从A到B的函数，
须满足：对集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应，
对于A选项，当时，，故不能构成函数；
对于B选项，当时，，故不能构成函数；
对于C选项，当时，，故不能构成函数；
对于D选项，集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应，故能构成函数.
故选：D．
4. 已知函数在区间上的图象是连续不断的，设：，：在区间中至少有一个零点，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由“函数在区间上的图象是连续不断的，且”，
根据零点存在定理，可得在区间上至少存在一个零点，所以能推出，
反之，当在区间中至少有一个零点时，比如，
在上有一个零点，但是，所以不能推出，
故是的充分不必要条件.
故选：A.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为的定义域为，所以，
所以函数为奇函数，故AB错误；
又因为时，所以D错误.
故选：C.
6. 某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半， 即时，，
则再经过6年，，.
故选：D.
7. 已知正实数，满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】A
【解析】正实数，满足，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是.
故选：A.
8. 已知函数，记，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，，
因为，所以，
因为，所以，
因为当时，在上单调递减，，
所以.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知实数，，，则（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】对于A，时，满足，此时，A选项错误；
对于B，时，有，又，所以，B选项正确；
对于C，且，则，即，C选项正确；
对于D，，则，所以，D选项错误.
故选：BC.
10. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对，成立，则称为上的“类近稳函数”，则（ ）
A. 可为上的2类近稳函数
B. 可为上的3类近稳函数
C. 若为上的类近稳函数，则
D. 若为上的2类近稳函数，则，，有
【答案】ACD
【解析】对于A，因为的定义域为，
，
所以可为上的2类近稳函数，故正确；
对于B，因为的定义域为，，
又因为只有才成立，
不满足3类近稳函数的定义，故错误；
对于C，因为，
又因为，，所以，所以，
所以，所以，故正确；
对于D，因为为上的2类近稳函数，
则，，有，
又因为，所以，故正确.
故选：ACD.
11. 已知函数若方程有四个实数根，，，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由方程可得：或，
作出函数的图象，
可知：解得：，
由于当，，此时最高点的坐标为，
根据题意，则有另外三个实数根，，，且，如图，
此时，故B正确；
而当，时，，所以由图可得：，故A正确；
根据二次函数对称性可知，
所以，故C错误；
当时，由可得，
当时，由可得，，所以有，
令，求导得：
因为当时，，所以在上单调递增，即，
根据以上结论可知：，故D正确.
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______.
【答案】7
【解析】因为，则.
13. 写出同时满足下面两个条件的一个函数解析式______.
①；②在上单调递减.
【答案】（答案不唯一）
【解析】不妨取，则，
条件①满足；
函数在上单调递减，条件②满足.
14. 已知，且，，为三个连续的正整数，则的最小值为______.
【答案】
【解析】令，
所以，
所以，
所以，
当且仅当时，.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，或.
（1）求，；
（2）若集合，且是的充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）由，解得，所以，
所以或，
因为，所以.
（2）若是的充分条件，则，
所以，即所以，
所以的取值范围为.
16. 已知是定义域为的奇函数，当时，，且.
（1）当时，求的解析式；
（2）判断在区间上的单调性，并证明.
解：（1）由是定义在上的奇函数，且，可得，
当时，，所以，解得，
所以当时，，
当时，，，
因为是定义在上奇函数，所以，
所以当时，.
（2）在区间上单调递增，
证明如下：任取，且，
则
，
因为，且，
所以，，，
故，所以在区间单调递增.
17. 某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的利润.
（1）求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式；
（2）建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润.
解：（1）根据题意得：
当时，，
当时，，
所以
（2）当时，，
在内单调递增，所以当时，的最大值为450，
当时，，
因为，当且仅当，
即时，等号成立，
所以，
因为，所以当时，的最大值为640，
所以建造70个生态农场获得的利润最大，最大利润为640万元.
18. 已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数，的值；
（2）若，解关于的不等式；
（3）若，对于，成立，求的最大值.
解：（1）因为不等式的解集为x1≤x≤2，
所以1和2是方程的两个根，
所以，所以，.
（2）若，不等式可化为，
即，
当时，解得，
当时，解得或，
当时，解得或，
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（3）因为，，成立，
即，对成立，
所以对成立，
即对成立，
所以即
所以，即，
所以的最大值为.
19. 已知函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可将其推广为：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）已知函数的定义域为，且图象关于点中心对称，求的值；
（2）已知函数的图象关于点中心对称.
（ⅰ）求实数、的值；
（ⅱ）设函数，其中，若正数、满足，且不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）因为函数的图象关于点中心对称，
所以为奇函数，所以，
令，则有，故；令，则有，
所以.
（2）（ⅰ）由题意可得为奇函数，
所以，
则，
所以，有，
所以恒成立，
所以，解得或，
因为，所以，.
（ⅱ）因为，
所以，
所以，
因为，
，
两式相加得，即，
又由，
故，
又，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的取值范围为.