2023-2024学年山东省淄博市高青县九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023-2024学年山东省淄博市高青县九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）
1. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】从上面可看到从左往右二列小正方形的个数为：1，2，左面的小正方形在上面．
故选：A．
2. 函数的图象经过点，则k的值为（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】D
【解析】函数的图象经过点，
，
故选：D．
3. 如图，在中，，，，则的长度为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】过A作于D，
在中，，，
，
，
在中，，
∴，
∵，
，
．
故选：C．
4. 二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵二次函数是顶点式，
∴顶点坐标为
故选：D．
5. 如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则＝（ ）
A. B. C. D. 无法求得
【答案】C
【解析】设每个小正方形的边长为a，作于点D，由图可得：，，
∴，
∴，
故选：C．
6. 已知一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当时，x的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】∵一次函数与反比例函数相交于，
∴由图可知，当或时，，
故选：B．
7. 已知二次函数的图象过点A，B，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴关于对称轴的对称点是，
∵，
∴，
故选：B．
8. 如图所示，CD是一个平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D．若AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，由题意得：，，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
又，
，
，
，
，
故选：A．
9. 如图1,在中,，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，设的面积为；如图2，在中，，在轴上，且，点在反比例函数的图象上，设的面积为，则的值为（ ）
A B. 5C. D.
【答案】A
【解析】∵图1在中，，
∴设点代入得：，
解得：，
∴；
∵如图2，在中，，在轴上，且，点在反比例函数的图象上，
∴点A在线段的中垂线上，
∴设点，则点，设点，
∴，
∴，
∴，
故选：A.
10. 如图，抛物线的顶点为P，将抛物线向右平移3个单位后得到新的抛物线，其顶点记为M，设两条抛物线交于点C，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图过C作y轴的平行线，交PM于点H，交x轴于点D，
由题意可得，平移后抛物线的解析式为：，
∵P、M分别为两个抛物线的顶点，
∴，，，
∵两条抛物线交于点C，
∴由，可得，
∴，,
∵//y轴，
∴，即CH为的高，
∴.
故选：C.
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11. 已知二次函数的图象开口向下，则m的值是______．
【答案】
【解析】根据题意得：
解得：，
故答案为．
12. 如图，若反比例函数的图像经过点A，轴于B，且的面积为3，则k的值为______．
【答案】
【解析】设，
则，，
∵的面积为3，
∴，解得，
∴，
故答案为：．
13. 一个几何体，它从正面和上面看到的形状图如图所示，则这个几何体最少有___________个小立方块．
【答案】12
【解析】根据题意得：这样的几何体它最少需要的个数分布，如图所示：
故搭建这样的几何体，最少要12个小立方块．
故答案：12．
14. 如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长），如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场的长为，当______时，养鸡场的面积最大．
【答案】30
【解析】设养鸡场的长为，则宽为，设养鸡场的面积为，
根据题意可得，
，抛物线开口向下，
当时，有最大值，即当时，养鸡场的面积最大，故答案为：30．
15. 如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，则立柱的高为________米（结果精确到米）．


【答案】19.2米
【解析】如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G，
则四边形为矩形，
∴米，．
∴．∴．
中，，（米）．
∴（米）．
中，，∴（米）．
∴（米）．
故答案为：19.2米．

三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程．）
16. 计算：
（1）．
（2）
解：（1）原式
；
（2）原式
．
17. 新定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y=-x2+2x+3的“图象数”为[-1，2，3]
（1）二次函数y=x2-x-1的“图象数”为 ．
（2）若图象数”是[m，m+1，m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
解：（1）二次函数y=x2-x-1的“图象数”为[，−1，−1]；
故答案为[，−1，−1]；
（2）二次函数的解析式为y＝mx2＋（m＋1）x＋m＋1，
根据题意得：△＝（m＋1）2−4m（m＋1）＝0，
解得：m1＝−1，m2＝．
18. 如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度米，坡面的倾斜角，距点8米处有一建筑物，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新坡面的倾斜角为．

（1）求新坡面的长度；
（2）试求新坡面底部点到建筑物的距离．
解：（1）∵ 米,
∴,
∴(米),
∵,
∴米，
答：新坡面的长度为米；
（2）在中，
米，
∴米，
答：新坡面底部点到建筑物的距离米．
19. 如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．

（1）根据数据，求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式及a的值；
（2）现想将另一长、宽、高分别为,,,且与长方体A相同重量的长方体按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上.若该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
解：（1）由表格可得，
∵，
∴与成反比关系，
∴，
当时，
，
解得：；
（2）当时，
，
，
∴这样摆放不安全；
20. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，某市市长亲自在网络平台上进行直播销售板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元．设板栗公司销售该板栗的日获利为（元）．
（1）请求出日获利与销售单价之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
解：（1）根据题意可得，
化简得：，
答：日获利与销售单价之间的函数关系式为；
（2），
∵，对称轴为，
∴当时，由最大值为元，
∴当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大为元．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式的解集．
解：（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得：,∴反比例函数的表达式为．
∵在反比例函数的图象上，
∴，解得，（舍去）．∴点A的坐标为．
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得，解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）∵点C为直线与y轴的交点，
∴把代入函数，得
∴点C的坐标为,∴，∴
．
（3）由图象可得，不等式的解集是或．

22. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为.

（1）求雕塑高；
（2）求落水点、之间的距离；
（3）若需要在上点处竖立一尊高3米的雕塑，且，那么雕塑顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明.
解：（1）由题意可知，点在图像上，
当时，
∴,故：雕塑高．
（2）当时，
解得
∴点坐标为,∴m,∴m
故、点之间的距离为m．
（3）令，则
∴顶部F不会碰到水柱．
23. 直线y＝x＋b与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，并与双曲线 （x＜0）交于点A（－1，n）．

（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）连接OA，求∠OAB的正弦值；（提示：过O点作OM垂直AC）
（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线y=x+b与x轴交于点C（4，0），
∴把点C（4，0）代入y=x+b得：b=-4，
∴直线的解析式是：y=x-4；
∵直线也过A点，
∴把A点代入y=x-4得到：n="-5"
∴A（-1，-5），
把将A点代入（x＜0）得：m=5，
∴双曲线的解析式是：；
（2）过点O作OM⊥AC于点M，

∵B点经过y轴，
∴x=0，∴0-4=y，
∴y=-4，
∴B（0，-4），
AO=，
∵OC=OB=4，
∴△OCB是等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴在△OMB中 sin45°=，
∴OM=2，
∴在△AOM中，sin∠OAB=；
（3）存在；
过点A作AN⊥y轴，垂足为点N，

则AN=1，BN=1，
则AB=，
∵OB=OC=4，
∴BC=，
∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠OBA=∠BCD=135°，
∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，
∴，
∴或，
∴CD=2或CD=16，
∴点D的坐标是（6，0）或（20，0）．
科学计算器按键顺序
计算结果（已取近似值）



桌面所受压强
受力面积
2
1
a