2024-2025学年浙江省台州市山海协作体高二(上)期中联考数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年浙江省台州市山海协作体高二(上)期中联考数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
选择题部分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D. 不存在
【答案】C
【解析】因为直线方程为：，与轴平行，
所以直线倾斜角为，
故选：C
2. 在长方体中,若,即向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以向量在单位正交基底下的坐标为，
故选：A
3. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由已知双曲线的焦距，即，
所以，解得，
即双曲线方程为，
则其渐近线方程为，
故选：B.
4. 已知向量，是平面的两个不共线向量，非零向量是直线l的一个方向向量，则“，，三个向量共面”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，由于是不共线的向量，故可用作为基底表示出来，
即共面，所以“必要性”成立.
当共面时，直线l可能在平面内，故“充分性”不成立.
所以是必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆的方程，即为，圆心，
易知四边形PACB的外接圆的直径为PC，
PC的最小值为圆心C到直线的距离，即，
则四边形PACB的外接圆的半径为，
所以四边形PACB的外接圆的面积的最小值为.
故选：D
6. 椭圆的右焦点关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设点Q的坐标为，因为F关于直线的对称点Q，
所以，即，解得，
所以点Q坐标是，
因为点Q在椭圆上，所以，得，
又，即，所以
所以该椭圆的离心率是.
故选：C
7. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）．给出下列三个结论：
①曲线C关于直线对称；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；
③存在一个以原点为中心、边长为正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界）．
其中，正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
【答案】A
【解析】对于①，设点是曲线上任一点，
则有，
易得也成立，即点也在曲线上，故曲线C关于直线对称，①正确；
对于②，不妨设点为曲线上的任一点，
则，化简得，当且仅当时取等号，
于是即得，故可得曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2，故②正确；
对于③，联立，解得，
从而可得四个交点坐标分别为，
依题意满足条件的最小正方形是各边以为中点，边长为4的正方形（如图），
故不存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界），即③错误.
故选：A.
8. 如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，若，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点为的重心，则
B. 若，则四点不共面
C. 若三棱锥各条棱长均等于，则相对棱之间距离均等于
D. 若与平面交于点，且，则为定值
【答案】D
【解析】对于A，连接并延长，交于点，
由题意，可令作为空间向量的一组基底，
由
，故A错误；
对于B，由，
则，
故，因此可得四点共面，故B错误；
对于C，若三棱锥各条棱长均等于，如图，将三棱锥放到正方体中，
由三棱锥的棱长为，可得正方体的棱长为，
所以相对棱之间的距离即为正方体的棱长，等于，故C错误；
对于D，由，
连接．因为点共面，所以存在唯一的实数对，
使，即，
所以．
由空间向量基本定理，知，，，
所以，则为定值，故D正确．
故选：D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知直线l：，则下列选项正确的是（ ）
A. 当直线l与直线平行时，
B. 当直线l与直线垂直时，
C. 当实数k变化时，直线，恒过点
D. 原点到直线l的距离最大值为
【答案】AB
【解析】对于A，直线的斜率为，直线l与直线平行，
所以直线的斜率为，所以故选项A正确；
对于B，直线l与直线垂直时，则，
故选项B正确；
对于C，由，
则，
则，所以，所以直线过定点，
故选项C错误；
对于D，当且仅当原点到定点的距离为原点到直线l的距离时，
原点到直线l的距离最大，即，故选项D错误.
故选：AB.
10. 如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）

A. 三棱锥的体积为定值
B. 若为的中点，则直线平面
C. 若点运动到线段中点，则异面直线与所成角的正弦值是
D. 直线与平面所成角的正弦的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，在正四棱柱中，，且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以，为定值，A对；
对于B选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、A1,0,0、，
因为为的中点，则E0,0,1，则，，
所以，，所以，与不垂直，
故当为的中点时，直线与平面不垂直，B错；
对于C选项，，，
则，
，
所以，，C对；
对于D选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，此时，，
，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，故直线与平面所成角的正弦的最大值为，D对.
故选：ACD.
11. 已知点P是椭圆上的一点，O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若，且N是的中点，则
C. 若的面积为1，则点P在第一象限的坐标为
D. 若，则的最小值为1
【答案】ABC
【解析】对于A：易知，由椭圆方程可知：，
所以正确；
对于B：

由椭圆的定义，，所以，又分别为的中点，
由中位线性质可知，正确；
对于C：设，，
由三角形面积可知：，解得：，
代入椭圆方程，
解得：，故C正确；
D选项，因为，所以在椭圆内部，

又，所以，
所以，当在线段上取等号，结合图象显然等号不成立，故错误；
故选：ABC
非选择题部分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则，解得.
故答案为：
13. 已知，，且，，，则______．
【答案】
【解析】因为，
所以，由，
所以，得，且，
所以，即，
得，所以.
故答案为：
14. 设为坐标原点，，若上存在点，使得，则的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】设点，由，可知，
整理可得点的轨迹方程为，
即与存在交点，
易知，圆心距为，
因此，解得．
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知，．
（1）若直线l过点，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程；
（2）在y轴上存在一点P，使得的值最小，求出点P的坐标．
解：（1）当直线l过线段AB中点时，则线段AB的中点C的坐标为，
∵直线l过点，且点A，B到l的距离相等，
∴直线l的方程为，
当直线l与线段AB平行时，则，
得直线l的方程为：，即，
∴综上所知：所求的直线l的方程为和；
（2）点关于y轴对称的点为，则，
当且仅当，P，B三点共线时，的最小值为5.
由两点式可知，直线的方程为，
化简，得，当时，，
所以点P的坐标为.
16. 已知圆：过点，直线：和：均平分圆．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆相交于点，且，求直线的一般式方程．
解：（1）由点在圆上，则①，
又直线和均平分圆，则直线和均过圆心，
联立方程组，解得，
所以直线和的交点坐标为2,1，即圆心的坐标为2,1，
由圆：可知，圆心的坐标为，
则，解得，
将代入①，得，
所以圆的方程为：，即，
故圆C的标准方程为：.
（2）由题可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，即，
取弦的中点为，则，
由，且为等腰三角形，则，
又，则圆心到直线l的距离为，
由点到直线的距离公式可知：，解得，，
所以直线方程为，即直线的一般式方程为：，.
17. 动点与定点的距离和它到定直线：的距离的比是，动点的轨迹记为曲线．
（1）求动点的轨迹；
（2）已知直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值．
解：（1）设是点到直线的距离，则动点的轨迹就是点的集合，
由此得，
两边平方，并化简，得，即，
即点M的轨迹是焦点在轴上，实轴长为2、虚轴长为的双曲线；
（2）设曲线与直线的交点分别为Ax1,y1，Bx2,y2，
则，得，
∴，
∴，
∴线段的中点坐标为，
又∵线段的中点在圆上，
∴，解得.

18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，为中点，点在上，且．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？
解：（1）∵，，
∴，
∴，即
又∵，且，且两直线在平面内，
∴平面.
（2）∵平面平面，平面平面
，平面，
∴平面,又因为面，
∴.
由（1）已证，且已知，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，，
∴，，，
∵E为PD的中点，∴
又∵，∴
设平面FAE的法向量为，则，
令，则，，∴
由（1）可知，平面，
∴平面的法向量为,
∴
∴平面与平面夹角的余弦值为．
（3）线段上存在点，使得平面，
设，则
由（2）可知，平面的法向量，
则，
解得
∴当是中点时，则平面.
19. 已知椭圆C：，若点，，，中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点P，Q．
（ⅰ）证明：点B在以PQ为直径的圆内；
（ⅱ）求四边形面积的最大值．
解：（1）由椭圆对称性可知，，两点在椭圆上，
则，有一点在椭圆上，
设点在椭圆上，
则，方程组无解，所以点在椭圆上
代入，可得，，即椭圆方程为.
（2）（ⅰ）易知，，由椭圆对称性可知，不妨设，，，
，
根据题意可知直线AM，BM斜率均存在，且，，
所以直线AM的方程为，BM的方程为，
联立直线AM和椭圆方程，消去y可得，
由韦达定理可得，解得，则；
联立直线BM和椭圆方程，消去y可得，
由韦达定理可得，解得，则；
则，
，
所以，
即可知为钝角，以点B在以PQ为直径的圆内；
（ⅱ）由（i）四边形APBQ面积为
，
设，，则，当且仅当时等号成立，
由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以，可得，
所以时，四边形的面积最大为6，此时点M的坐标为，
由对称性可知，即当点M的坐标为或时，四边形的面积最大，最大值为6．