2024-2025学年福建省三明市四校联考高一(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年福建省三明市四校联考高一(上)期中考试数学试卷(解析版)，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则1与集合的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，这也意味着，从而只有选项A正确.
故选：A.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】命题“，”的否定是“，”.
故选：B.
3. 下列表示同一函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】A
【解析】A：定义域均为，且，所以是同一函数；
B：定义域为，定义域为，定义域不同，
所以不是同一函数；
C：中，解得，所以定义域为，
中，解得或，定义域为，
由上可知，定义域不同，所以不是同一函数；
D：的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数.
故选：A.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为，
即，所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，解得，所以定义域为.
故选：D.
6. 已知函数，若，则的取值范围是 （ ）
A. ，B. ，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得成立，
所以将原不等式转化为：或，从而得或．
故选：D．
7. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为，，
所以，函数为奇函数，排除BD选项；
当时，，则，，
所以，函数在上为增函数，排除C选项.
故选：A.
8. 已知函数若，则函数零点个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】作出与的图象如下，
由图可知，与的图象有个交点，
则函数的零点个数是.
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则函数的最小值为3
B. 若，则的最小值为4
C. 若，，，则的最大值为1
D. 若，满足，则的最大值为
【答案】AC
【解析】对于A：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为，故正确；
对于B：因，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故错误；
对于C：因为，所以，
所以，所以，解得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，故正确；
对于D：因为，所以，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，
故错误.
故选：AC.
10. 下列大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于A：因为且在上单调递增，所以，故正确；
对于B：因为在上单调递增，在上单调递增，
所以，故正确；
对于C：因为，且在上单调递增，
由于，所以，故正确；
对于D：因为在上单调递增，在上单调递增，
所以，故错误.
故选：ABC.
11. 已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且．当时，．则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 为上的增函数D. 为奇函数
【答案】BD
【解析】对于A：令，则，令，
则，
令，则，故错误；
对于B：由A选项的计算可知，故正确；
对于C：，则，
则，
因为，所以，又时，，
所以，所以，
所以为上减函数，故错误；
对于D：令，则，则，
所以，所以，
且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______.
【答案】2
【解析】函数是幂函数，
∴，解得或，
当时，函数的图象不关于轴对称，舍去；
当时，函数的图象关于轴对称；
∴实数．
13. 已知函数且，则的值为______．
【答案】
【解析】令，定义域为且关于原点对称，
因为，所以为奇函数，
所以，所以，
代入，可得.
14. 若，，，，使则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】原问题等价于函数的值域是函数值域的子集．
在上，二次函数的值域是，
单调递增的一次函数的值域是，
则，
则且，解得．
四、解答题：本题共7小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
.
（2）原式
.
16. 设全集，集合，．
（1）求，；
（2）若集合，，求实数的取值范围．
解：（1）因为，所以，
因为且在上单调递增，所以，
所以，
所以，且，
所以.
（2）因为，所以，
当时，显然不满足，所以；
因为，所以，解得，
所以的取值范围是.
17. 已知函数，且.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）若，求函数在区间上的最大值
解：（1）函数为奇函数，证明如下：
由题得，解得，
故函数的定义域为，关于原点对称；
，
所以函数为奇函数.
（2）由，函数为增函数，所以：
函数为增函数，函数为减函数（同增异减），
所以函数为增函数，函数在区间上单调递增，
最大值为.
18. 已知函数为奇函数，．
（1）求的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为为奇函数，
所以，
所以，所以，
所以.
（2），，
则，
因为，所以，
所以，所以，
所以在上单调递增.
（3）因为是上的奇函数，
所以，
因为在上单调递增，所以恒成立，
所以恒成立，所以；
因为，当时取等号，所以，
所以.
19. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义：若满足，则称为的次不动点．
（1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由
（2）已知函数，若是的次不动点，求实数的值：
（3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．
解：（1）依题意，设为f(x)的不动点，即，
于是得，解得或，
所以 是“不动点” 函数，不动点是2和.
（2）因是“次不动点”函数，依题意有，即，
显然，解得，
所以实数的值是.
（3）设分别是函数在上的不动点和次不动点，
且唯一，
由得：，即，整理得：，
令，显然函数在上单调递增，则，，则，
由得：，即，整理得：，
令，显然函数在上单调递增，，，则，
综上得：，
所以实数的取值范围.