2024-2025学年浙江省嘉兴市六校高一(上)期中联考数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年浙江省嘉兴市六校高一(上)期中联考数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，.
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
3. 设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由命题p为真命题，得，解得，
显然，所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知幂函数的图象过点，则等于（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】D
【解析】因为幂函数的图象过点，所以，即，
则，解得.
故选：D.
5. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 9
【答案】A
【解析】，，，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为5.
故选：A.
6. 若函数有且只有一个零点，则实数的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】由题函数定义域为R，关于原点对称，
又由于
故为上的偶函数，
由于只有一个零点，因此，故，解得.
故选：D.
7. 甲、乙、丙、丁四位同学猜测校运会长跑比赛中最终获得冠军的运动员.
甲说：“冠军是李亮或张正”；
乙说：“冠军是林帅或张正”；
丙说：“林帅和李亮都不是冠军”；
丁说：“陈奇是冠军”．
结果出来后，只有两个人的推断是正确的，则冠军是（ ）
A. 林帅B. 李亮C. 陈奇D. 张正
【答案】C
【解析】对A，若林帅获得冠军，则乙正确，甲、丙、丁都错误，故A错误；
对B，若李亮获得冠军，则甲正确，乙、丙、丁错误，故B错误；
对C，若陈奇获得冠军，则丙、丁正确，甲、乙错误，故C正确；
对D，若张正获得冠军，则甲、乙、丙正确，丁错误，故D错误.
故选：C.
8. 已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ）
A. 恒大于0B. 恒小于0
C. 等于0D. 无法判断
【答案】B
【解析】由题可知：函数是幂函数，
则或，
又对任意的且，满足，
所以函数为(0，+∞)的增函数，故，
所以，又，
所以为单调递增的奇函数，
由，则，所以，
则.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于选项A：由不等式的基本性质“若，则”可知，选项A正确；
对于选项B：可取，则有，此时，
所以选项B错误；
对于选项C：因为函数在上单调增加，且，所以，故选项C正确；
对于选项D：因为，所以，又因为，所以，
所以选项D正确.
故选：ACD.
10. 在棱长为的正方体中，点、分别在线段和上（含端点），则下列命题正确的是（ ）
A. 长的最小值为
B. 三棱锥的体积为定值
C. 有且仅有一条直线与垂直
D. 当点、为线段中点时，则为等腰三角形
【答案】ABD
【解析】对于A，由点所在线段分别在两个平行平面、上，
且为异面直线，其间距最小值为异面直线的距离，即两个平面间的距离，
即长的最小值为，A对；
对于B，由，其中表示到平面的距离，显然为定值，
而的中，底与边上的高均为定值，由此可知面积为定值，
综合上述，四面体的体积为定值，B对；
对于C，点在平面上的射影的轨迹为线段，
平面，平面，
所以，则的一个充要条件，
当射影位于线段上的任意位置时，过作的垂线，所得垂足记为，
则，
根据以上垂直关系可知，，、平面，
所以平面，平面，
从而.于是这样的直线不唯一，C错；
对于D，以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示空间直角坐标系，
当、分别为、的中点时，则、、，
所以，，同理可得，，
此时，为等腰三角形，D对.
故选：ABD.
11. 已知函数，若，恒成立，则（ ）
A. 函数是奇函数B. 函数是增函数
C. ，是真命题D. m可以为0
【答案】ABC
【解析】函数的定义域为R，
对于A，，，
函数是奇函数，A正确；
对于B，函数R上单调递增，则函数在R上单调递减，
而在R上单调递增，
因此函数在R上单调递增，函数是增函数，B正确；
对于C，，
，因此，
，是真命题，C正确；
对于D，由选项C知，，解得，D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数在上是减函数，则的值为___________．
【答案】
【解析】是幂函数，所以，解得或，
当时，，在上递减，符合题意；
当时，，在上递增，不符合题意，舍去.
综上所述，的值为.
13. 计算：________．
【答案】1
【解析】
.
14. 如图，已知棱长为的正方体，顶点在平面内，其余顶点都在平面同侧，且顶点到平面的距离分别为，则等于_______．
【答案】
【解析】设，显然是的中点，
因为平面，到的距离为4，
所以到的距离分别为2，而到的距离为2，
因此，即，设平面，
所以，因为四边形是正方形，所以，
又平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，因此有平面，而，
所以平面平面，平面平面，，
所以，在平面的射影，与共线，
显然，如图所示：
由，
，
由（负值舍去），
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）判断是否为集合中的元素，并说明理由；
（2）若全集，求，．
解：（1）不是集合中的元素，理由如下：
由可得，解得或，
所以，或，因此，.
（2）且，
所以，或，
又因，故.
16. 设奇函数，（为自然对数的底数，）.
（1）求的定义域和；
（2），求函数的值域.
【答案】（1），定义域为
解：（1）因为，
令，可得，可知的定义域为；
因为是奇函数，则，解得，
可得，则，
即，可知是奇函数.
综上所述：.
（2）由（1）可知，
令，则，
因为在上单调递减，
当时，；当时，；可知，即，
且在定义域内为增函数，则，所以的值域为.
17. 已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.
解：（1），即，即，
当时，原不等式解得；
当时，原不等式无解；
当时，原不等式解得；
综上所述：当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
（2），即，即，
，，
由题意可知只需即可，
令，
则
当且仅当即时，等号成立.
，
18. 已知是定义在上的函数，且，.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的奇偶性，并用定义证明；
（3）求函数在上的值域.
解：（1）因为，，所以，得，
所以.
（2）的定义域为，关于原点对称，
又，所以为奇函数.
（3）设，
则
.
因为，所以，
所以，即，
所以在上单调递增.
又，
所以函数在上的值域为.
19. 对于正整数，如果个整数满足，
且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.
（1）写出整数4的所有“正整数分拆”；
（2）对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值；
（3）对所有的正整数，证明:；并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)
解：（1）整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.
（2）当为偶数时，时，最大为；
当为奇数时，时，最大为；
综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.
（3）当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；
当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，
则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，
故.
综上所述：.
当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；
当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，
故；
当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.
综上所述：使成立的为：或.