2023-2024学年山东省枣庄市台儿庄区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023-2024学年山东省枣庄市台儿庄区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共36分．
1. 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A. 黄金分割数B. 平均数C. 众数D. 中位数
【答案】A
【解析】0.618为黄金分割比，所以优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数；
故选A．
2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
移项得，
两边同时加上，即
∴，
故选：C．
3. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵中，，
∴，
∵
∴，
故选：A．
4. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】由题意得，，且，
解得，，且.
故选：D．
5. 某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】列表如下，
共有12种等可能结果，其中符合题意的有6种，
∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是，故选：A．
6. 如图，在菱形中，，则的长为（ ）

A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】连接与交于O．

∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，且，
∴是等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7. 下列命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形
④四边相等的四边形是菱形
A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④
【答案】B
【解析】①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误；
③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；
④四边相等的四边形是菱形，正确．
故选：B．
8. 小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地上的投影不可能是（ ）
A. 线段B. 一个点
C. 等边三角形D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】当等边三角形木框与阳光平行时，投影如图：
当等边三角形木框与阳光垂直时，投影如图：
当等边三角形木框与阳光有一定角度时，投影如图：
投影不可能是B.
故选B.
9. 如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∵∴，故选：C．
10. 如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在正方形中：，
∴，
∵O为正方形对角线的中点，∴，
∵为等边三角形, O为的中点，
∴，，∴,
∴,
故选：B．
11. 如图1，一个2×2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至少还需再放这样的正方体（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】由题意画出草图，如图，

平台上至还需再放这样的正方体2个，
故选：B．
12. 如图，矩形中，，，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作的垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为多少（ ）
A. B. C. 5D. 7
【答案】B
【解析】如图，连接、，
∵，，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
∴四边形为矩形．
∴．
∴要求的最小值就是要求的最小值．
∵点P从B点沿着往D点移动，
∴当时，取最小值．
在中，
∵，，，
∴．
∵，
∴．
∴的长度最小为：．
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题填对得4分，共24分，只要求填最后结果．
13. 若，则________．
【答案】
【解析】
，
；
故答案为：．
14. 已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______．
【答案】
【解析】∵一元二次方程，即，的两根为与，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 有数学4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是______．
【答案】
【解析】三位数有6个，是5的倍数的三位数是：465，645；
三位数是5的倍数的概率为：；
故答案为：．
16. 如图，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点．若，则 度.
【答案】
【解析】∵矩形纸片沿折叠，∴
∵，∴
∵，∴
17. 如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是____．
【答案】3
【解析】在和中，
解得
故答案为：3．
18. 如图，四边形是边长为4的正方形，是等边三角形，则阴影部分的面积为___________．

【答案】
【解析】如图所示，作于点，于点，

∵四边形是边长为4的正方形，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共7道大题，满分60分）
19. 解方程
（1）
（2）
解：（1）
整理，得
∵，，，
∴，
方程有两个不相等的实数根，
，
∴，
（2）
，
∴，
∴．
20. 扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览．
（1）甲选择景点的概率为________；
（2）请用画树状图或列表方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率．
解：（1）共有个景点可供选择，且选择每种景点是随机的，
甲选择景点的概率为．
（2）解：根据题意，
列表如下：
由表格可知，共有种等可能结果，其中甲、乙至少有一人选择景点共有种等可能的结果，甲、乙至少有一人选择景点的概率为．
21. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．

（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．
解：（1）如图，为所作．
（2）如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）．
22. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．

（1）求证：；
（2）连接，若，求证：四边形是矩形．
解：（1）∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴；
（2），
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
23. 列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
解：设这种水果每千克降价元，
则每千克的利润为：元，销售量为：千克，
整理得，
或，
要尽可能让顾客得到实惠，
即售价为（元）
答：这种水果的销售价为每千克29元．
24. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P从点B出发以1cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以2cm/s的速度向点A移动，其中一个点到终点另一个点也随之停止．设它们的运动时间为t．
（1）根据题意知：CQ＝ ，CP＝ ；（用含t的代数式表示）；
（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
解：（1）经过t秒后， ；
（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若，则 ，
即 ，解得：s，
②若，则，
即，解得：s，
由动点P从点B出发以1cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以2cm/s的速度向点A移动，其中一个点到终点另一个点也随之停止，
可求出t的取值范围应该为 ，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件，
故△CPQ与△CBA相似，运动的时间为或秒．
25. 定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，
①若AB=CD=1，AB//CD，求对角线BD的长；
②若AC⊥BD，求证：AD=CD；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形．求AE的长．
解：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，∴S四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，
∴BD=AC=．
（2）如图1中，连接AC、BD．
∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．
（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．
若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE=AB=5．
②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF=AB=5，∵DE∥BF，∴BF=PB=1：2，∴DE=2.5，∴AE=9﹣2.5=6.5，
综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．
女
女
女
男
女
女，女
女，女
女，男
女
女，女
女，女
女，男
女
女，女
女，女
女，男
男
男，女
男，女
男，女