广东省东莞市石排中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省东莞市石排中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 二次根式有意义的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数为非负数，即可解答．
【详解】解：有意义，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题的关键．
2. 下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
B、此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
C、此组数据不能作为直角三角形三边长，故本选项不符合题意；
D、此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
3. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线相等B. 对角线互相平分C. 对角线平分一组对角D. 对角线互相垂直
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质一一判断即可．
【详解】解：A、只有正方形和矩形的对角线相等，菱形和平行四边形的对角线不一定相等，不符合题意；
B、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，符合题意；
C、只有菱形和正方形的对角线平分一组对角，矩形和平行四边形的对角线不一定平分一组对角，不符合题意；
D、只有菱形和正方形的对角线互相垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定互相垂直，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质，解决本题的关键是结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质进行分析．
4. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象过点B. y值随着x值的增大而增大
C. 函数的图象经过第三象限D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数性质对每一项进行判断分析即可得出结果．
【详解】解：A、将时，代入函数解析式得，故图象不经过点，说法错误，不符合题意；
B、因为函数，所以随的增大而减小，说法错误，不符合题意；
C、因为函数解析式与轴的交点，与轴的交点，所以可得它的图象不经过第三象限，说法错误，不符合题意；
D、当时，，又由随的增大而减小可知，当时，，说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟记函数的性质是解题的关键．
5. 若是方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
6. 用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方（二次项系数为1），整理化简即得答案．
【详解】解：方程即为，
在方程的两边都加上，得，
即．
故选：A．
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的的方法和步骤是解此题的关键．
7. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据抛物线的对称轴是直线即可确定．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线．
故选：B．
8. 一个群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息420条，则可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用发信息的总数=群里好友的人数×（群里好友的人数），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ）
A. 1cmB. 2cmC. (－1)cmD. (2－1)cm
【答案】D
【解析】
【分析】先求出BD，再根据平移性质求得=1cm，然后由求解即可．
【详解】解：由题意，BD=cm，
由平移性质得=1cm，
∴点D，之间的距离为==（）cm，
故选：D．
【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．
10. 函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据的顶点坐标为判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断 则 从而可得答案．
【详解】解：由的顶点坐标为
故A，B不符合题意；
由C，D中二次函数的图象可得：

函数y＝ax－a过一，二，四象限，
故C符合题意，D不符合题意，
故选C
【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 将化为最简二次根式的结果为__________；
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了化简二次根式，正确计算是解题的关键．
12. 写出一个经过二、四象限的正比例函数为_________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据经过二、四象限的正比例函数的比例系数即可得．
【详解】解：∵这个正比例函数的图象经过二、四象限，
这个正比例函数的比例系数，
∴写出一个经过二、四象限的正比例函数为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数的图象特征是解题关键．
13. 方程的根是____________．
【答案】1和2
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
或，
，
所以方程的根是1和2，
故答案为：1和2．
14. 将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线是解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”写出即可．
【详解】解：抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线是解析式为，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点．，在点从移动到（点不动）的过程中，则线段______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质及三角形中位线定理．因为点不动，所以不变，根据中位线定理，可得的长．
【详解】解：连接
分别是中点
为的中位线，
是矩形
，
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16. （1）计算：．
（2）解一元二次方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，解一元二次方程：
（1）先进行乘法运算，再合并同类二次根式即可；
（2）因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）
∴．
17. 如图，同学们用直尺和三角板画平行线，将一块三角板的一边贴着直尺推移到的位置．连接，证明得到的四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定，根据平移的性质，得到，即可得证。
【详解】证明：∵将一块三角板的一边贴着直尺推移到的位置，
∴
∴四边形是平行四边形．
18. 如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）填空：________，________，________；
（2）是直角吗？请说明理由．
【答案】（1），，，
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记定理的含义是解本题的关键；
（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明即可．
【小问1详解】
解：∵每个小正方形的边长为1，
∴，，；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∴．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计：
八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12；
九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6．
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝______，b＝______；
（2）A同学说：“我平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生：
（3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好?请给出一条理由．
【答案】（1）8，9 （2）八
（3）我认为九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；
（2）根据中位数的定义即可求出答案；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【小问1详解】
解：把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：5，6，6，7，8，8，8，9，11，12，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为；
九年级10名学生每周锻炼9小时的最多有4人，所以众数，
故答案为：8，9；
【小问2详解】
解：A同学平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是八年级的学生；
故答案为：八；
【小问3详解】
解：我认为九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好
理由：因为八、九年级的平均数相等，九年级每周锻炼时间小于八年级每周锻炼时间的方差，所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好
20. 已知：关于的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）的值为．
【解析】
【分析】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解；
（）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可；
此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∵，
∴，整理得，
解得：，，
由（）得：，
∴，
∴的值为．
21. “阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地年种植“阳光玫瑰”亩，到年“阳光玫瑰”的种植面积达到亩．
（1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率；
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利元，则售价应降低多少元?
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用：（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为，根据该基地年及年“阳光玫瑰”的种植面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【小问1详解】
设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为，
依题意，得：，
解得：或（舍）
答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为．
【小问2详解】
设售价应降低元，则每天可售出千克，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：或
要尽量减少库存，
答：售价应降低元．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 综合与实践：数学兴趣小组在学完第十八章《平行四边形》之后，对八年级下册的数学活动—折纸，产生了浓厚的兴趣．附：新人教版八年级下册数学教材第64页的数学活动1．其内容如下图：
发现问题：
（1）折痕______（填“是”或“不是”）线段的垂直平分线；图中是什么特殊三角形？__________；__________°；
（2）小组同学继续折叠纸片，使点落在边上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，如图②，则______°；
拓展延伸：
（3）如图③，折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，连接交于点，连接，．判断四边形的形状并说明理由；
解决问题：
（4）如图④，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段长度的取值范围是________．
【答案】
（1）是，等边三角形，
（2）
（3）四边形是菱形，理由见解析
（4）
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质和等腰三角形三线合一可知垂直平分，由折叠的性质可知垂直平分线段，得到，进而得到，即可得到的特点，利用等边三角形性质，等腰三角形性质，再结合折叠的性质可知，，进而求得．
（2）由折叠的性质可知，即可解题；
（3）由折叠的性质可知，，证明，得到，由菱形的判定可证四边形是菱形；
（4）根据题意分以下两种情况当时，最长，当时，最短分别讨论，设，则，结合勾股定理即可得出线段长度的取值范围．
【详解】（1）解：由折叠的性质可知，，，
垂直平分，
即折痕是线段垂直平分线；
由折叠的性质可知，，，
即垂直平分线段，
，
，
即图中是等边三角形；
是等边三角形，
，
由折叠的性质可知，，
即，
，
；
故答案为：是，等边三角形，．
（2）解：∵折叠纸片，使点落在边上的点处，
，
，
故答案为：；
（3）解：四边形是菱形，理由见解析，
折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，
垂直平分，
，，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（4）由题可得：当时，最长，最长值为，如下图：
当时，最短，如下图：
设，则，
在中，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，折叠的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
23. 如图，抛物线与x轴交于，两点，直线l：与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求点C的坐标和直线l的解析式；
（2）点P是y轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标；
（3）点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，的面积最大?求出此时Q点坐标和的最大面积．
【答案】（1），直线l的解析式为；
（2）点P坐标为；
（3），的面积最大值为．
【解析】
【分析】（1）由点横坐标可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线l函数表达式；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小，据此求解即可；
（3）过作轴交于，用表示出和的坐标，从而可表示出的长，表示出的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时的．
【小问1详解】
解：把代入抛物线解析式可得，
，
把、坐标代入直线l：可得，，
解得，
直线l解析式为；
【小问2详解】
解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小，
设直线的解析式为，
把、坐标代入可得，，
解得，
直线解析式为；
令，则，
点P坐标为；
【小问3详解】
解：过作轴交于，
设，则，
，
，
，
当时，的面积最大，最大值为．
此时．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积及方程思想等知识．在（3）中用表示出的面积是解题的关键．
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
8
a
8
4.89
九年级
8
8.5
b
1.8