广东省清远市连南县民族中学2024-2025学年上学期月考九年级数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省清远市连南县民族中学2024-2025学年上学期月考九年级数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题10小题，每小题1分，共40分）在每小题列出的四个选项中，只有一个确的
1. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相垂直平分
B. 矩形的对角线相等
C. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
D. 对角线相等的菱形是正方形
【答案】A
【解析】
【分析】不正确的命题是假命题，根据定义依次判断即可.
【详解】A. 平行四边形的对角线互相平分，故是假命题；
B. 矩形的对角线相等，故是真命题；
C. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，故是真命题；
D. 对角线相等的菱形是正方形，故是真命题，
故选：A.
【点睛】此题考查假命题的定义，正确理解平行四边形的性质是解题的关键.
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 两条对角线垂直的四边形是菱形B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形
C. 两条对角线相等的四边形是矩形D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定和性质，根据其判定方法进行判定即可求解．
【详解】解：A、两条对角线垂直的平行四边形是菱形，故原选项错误，不符合题意；
B、对角线垂直，平分且相等的四边形是正方形，故原选项错误，不符合题意；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意；
D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项正确，符合题意；
故选：D ．
3. 已知菱形的边长为，较短的一条对角线的长为，则该菱形较长的一条对角线的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的性质，求得OA=1，AC⊥BD，然后由勾股定理求得OB的长，继而求得答案．
【详解】解：如图，
四边形是菱形，
，，
，
；
故选．
【点睛】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．
4. 如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若BE=3，AF=5，则矩形ABCD的周长为（ ）
A. 24B. 16C. 12D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和矩形的性质、线段垂直平分线的性质，可以证明△AOF≌△COE，从而可以得到BC和AB的长，即可得到矩形ABCD的周长．
【详解】解：连接AE，
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOF=∠COE=90°，AO=CO，AE=CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°，AD=BC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，
∴DE=BF，
∵BE=3，AF=5，
∴CE=5，
∴AE=5，BC=BE+CE=8，
∴AB==4，
∴矩形ABCD的周长为2（4+8）=24．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（ )

A. 5B. 5C. 5D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得△AOB是等边三角形，可得BD的长度，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：因为在矩形ABCD中，AO＝AC＝BD＝BO，
又因为∠AOB＝60°，
所以△AOB是等边三角形，
所以AO＝AB＝5，
所以BD＝2AO＝10，
所以AD2＝BD2﹣AB2＝102﹣52＝75，
所以AD＝5．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
6. 用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）.
A. 一组邻边相等的四边形是菱形B. 四边都相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【答案】B
【解析】
【详解】解：由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：B．
7. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）
A. B. 4C. 7D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半．根据菱形性质得出，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵H为边中点，
∴．
故选：A．
8. 如图，在菱形ABCD中， 边AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连结DF，若∠BAD=80°，则∠CDF的度数为( )
A. 80°B. 70°C. 65°D. 60°
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的四条边都相等可得AB=AD,对边平行可得AB∥CD,再根据两直线平行,同旁内角互补求出∠ADC,根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAF=∠DAF,根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AF=BF,根据等边对等角可得∠BAF=∠ABF,再利用“边角边”证明△ABF和△ADF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ADF=∠ABF,然后根据∠CDF=∠ADC-∠ADF代入数据计算即可得解.
【详解】如图,连接FB
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AB∥CD,
∴∠ADC=180°-∠BAD=180°-80°=100°,
在菱形ABCD中,∠BAF=∠DAF=∠BAD=×80°=40°,
∵EF垂直平分AB,
∴AF=BF,
∴∠BAF=∠ABF=40°,
在△ABF和△ADF中,
∴△ABF≌△ADF（SAS）,
∴∠ADF=∠ABF=40°,
∴∠CDF=∠ADC-∠ADF,
=100°-40°,
=60°.
故选D.
【点睛】本题考查了菱形的性质,线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,等边对等角的性质,熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键.
9. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】解：，
，
，
，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
10. 已知正方形中，O为的中点，点P在线段上，E为直线上一点，且．下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数是（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】过P作于F，交于G，连接；证明，则可判定①正确；证明，得，从而；设，则，，从而可判定②正确；设，则，，由勾股定理，，由此可判定③正确；由，则易判断④正确．
【详解】解：如图，过P作于F，交于G，连接；
四边形是正方形，
，，
，
四边形矩形，
；
；
，
；
，，
，
，
，
；
故①正确；
，
，
；
，
；
设，则，
，，，
，，
，
由勾股定理得：，
；
故②正确；
设，则，，
由勾股定理，，
；
故③正确；
，
，
即；
故④正确．
综上，四个结论全正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，本题有一定的综合性，构造适当的辅助线是关键．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11. 如图，在菱形中，对角线，，则这个菱形的周长为______．
【答案】40
【解析】
【分析】由四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相平分且垂直，即可得OA＝AC＝×12＝6，OB＝BD＝×16＝8，AC⊥BD，又由勾股定理，即可求得答案．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，
∴OA＝AC＝×12＝6，OB＝BD＝×16＝8，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD
∴∠AOB＝90°
∴AB＝ ．
∴此菱形边长为10，
∴周长为40．
故答案为：40．
【点睛】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握菱形的对角线互相平分且垂直的应用是解此题的关键．
12. 如图，已知矩形的长和宽分别为4和3，、，，依次是矩形各边的中点，则四边形的周长等于______.
【答案】10
【解析】
【分析】直接利用矩形的性质结合勾股定理得出EF，FG，EH，HG的长即可得出答案．
【详解】∵矩形ABCD的长和宽分别为4和3，E、F、G、H依次是矩形ABCD各边的中点，
∴AE＝BE＝CG＝DG＝1.5，AH＝DH＝BF＝FC＝2，
∴EH＝EF＝HG＝GF＝，
∴四边形EFGH的周长等于4×2.5=10
故答案为10．
【点睛】此题主要考查了中点四边形以及勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．
13. 如图，P是正方形ABCD内一点，且PA＝PD，PB＝PC．若∠PBC＝60°，则∠PAD＝_____．

【答案】15°
【解析】
【分析】先根据已知求得∠ABP＝30°，再证明AB＝BC＝BP，进而求出∠PAB的度数，然后求得∠PAD的度数即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠DAB＝∠CBA＝90°，
∵PB＝PC，∠PBC＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠APB＝∠PBA＝60°，PA＝PB＝AB，
∴∠DAP＝∠CBP＝30°，
∵PA＝PD，
∴∠PDA＝＝75°．
∴∠PAD＝15°，
故答案：15°．
【点睛】本题是对正方形知识的综合考查，熟练掌握正方形的性质是解决本题的关键.
14. 如图，已知四边形ABCD是正方形，顶点A、B在坐标轴上，OA＝2，OB＝1，则点D的坐标是_____．
【答案】（2，3）
【解析】
【分析】作DE垂直于y轴于点E，通过一线三直角模型证明△DAE≌△ABO从而求解．
【详解】作DE垂直于y轴于点E，
∵∠DAB＝90°，DE⊥y轴，
∴∠DAE+∠EDA＝90°，∠DAE+∠BAO＝90°，
又∵∠AOB＝90°，AD＝AB，
∴△DAE≌△ABO（AAS），
∴AE＝BO＝1，DE＝AO＝2，
∴OE＝AO+AE＝3，
即点D的坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点睛】本题考查坐标系与图形的全等，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
15. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，连接，其中，则的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由全等三角形的性质及正方形的判定与性得到相关线段长，在等腰中，利用勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼接而成，
，
，即中间四边形正方形，
，
，
，
在等腰中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查“赵爽弦图”相关问题，涉及全等性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼接而成，数形结合，借助正方形的判定与性质求解是解决问题的关键．
16. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【详解】解：∵，且，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
如图，连接AD，则，
∴当时，的值最小，此时，ΔABC的面积，
∴，
∴的最小值为；
故答案为．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，本题属于中考常考题型．
三、解答题（本大题4小题，17，18每小题8分，19，20每小题10分，共36分）
17. 如图，在菱形中，点E，F分别是边的中点．求证：．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：四边形是菱形，
．
点E，F分别是边的中点，
，
．
在和中，
，
．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=6，求BC的长.
【答案】
【解析】
【分析】根据等边三角形性质求出OA=OB=AB=6，根据平行四边形的性质求出OA=OC，OB=OD，得出AC=BD=12，证出四边形ABCD是矩形，得出∠ABC=90°，由勾股定理求出BC即可．
【详解】∵△ABO是等边三角形，
∴OA=OB=AB=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴OA=OC=OB=OD，
∴AC=BD=12，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
由勾股定理得：BC=
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．
19. 如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析 （2）120
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，利用全等三角形的判定和性质得出，，依据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形的菱形）即可证明；
（2）连接AC，交BD于点H，利用菱形的性质及勾股定理可得，再根据菱形的面积公式求解即可得．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD是菱形；
【小问2详解】
解： 如图所示：连接AC，交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴平行四边形ABCD的面积为：．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质及其面积公式，勾股定理等，理解题意，熟练掌握各个性质定理是解题关键．
20. 问题解决：如图，在矩形中，点分别在边上，，于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由．
（3）如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）是等腰三角形，理由见解析；
（3）．
【解析】
【分析】（）证明，得到，即可求证；
（）证明可得，进而得，即可求解；
（）延长到点，使，连接，作，可证，得到，，进而得是等边三角形，得到，即得，再利用勾股定理求出，进而即可求出的长；
本题考查了矩形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形正方形；
【小问2详解】
解：是等腰三角形．
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形；
【小问3详解】
解：延长到点，使，连接，作，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．