2023年广东省深圳市中考数学模拟试卷（一）-A4

这是一份2023年广东省深圳市中考数学模拟试卷（一）-A4，共40页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣23的绝对值是（ ）
A．23B．﹣23C．123D．-123
2．（3分）下面的几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）深圳2022年市地区生产总值约为32400亿元，32400用科学记数法表示为（ ）
A．3.24×1012B．32400×108C．3.24×104D．32.4×1011
4．（3分）某班进行演讲比赛，其中6人的成绩如下：9.4，9.0，9.6，9.6，9.3，9.5（单位：分），则下列说法不正确的是（ ）
A．这组数据的众数是9.6分
B．这组数据的方差是13300
C．这组数据的平均数是9.4分
D．这组数据的中位数是9.5分
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．（﹣a2）3＝a6
C．（3ab）2＝6a2b2D．（﹣2b）2•（﹣a）＝﹣4ab2
6．（3分）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
7．（3分）一元一次不等式组x+7＞1x-13≤4解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）下列命题中真命题是（ ）
A．平分弦的直径必垂直于弦
B．有一组邻边相等的四边形为菱形
C．（﹣4，3）关于x轴的对称点为（4，﹣3）
D．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
9．（3分）《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出10元，则多了6元；如果每人出8元，则少了8元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（ ）
A．10x-y=68x-y=8B．y-10x=6y-8x=8
C．10x-y=6y-8x=8D．y-10x=68x-y=8
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延长线于点E．连接AE交BD于点F，交CD于点G．FH⊥CD于点H，连接CF．有下列结论：①AF＝CF；②CF2＝EF•FG；③FG：EG＝4：5；④cs∠GFH=32114，则上述结论中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：a3﹣4a2+4a＝ ．
12．（3分）欢欢考试需要复习语文、数学和英语三科，现在需要安排科目顺序，从前到后的顺序恰好为“数学、英语、语文”的概率是 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为2，则BC的长为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y=kx(x＞0)的图象交BC于点D．若BC＝3BD，平行四边形OABC的面积为6，则k的值为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是BC上的一点，AC＝DC，AB⊥AE，且AE＝AB，连接DE交AC的延长线于点F，ACCF=32，则BDCD= ．
三、解答题
16．（5分）计算：（﹣1）2023+（π-12）0﹣|1-3|+2cs30°．
17．（7分）先化简，再求值：x+3x2-6x+9÷(1+6x-3)，其中x=3+3．
18．（8分）6月14日是“世界献血日”，某市组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：
（1）这次随机抽取的献血者人数为 人，m＝ ；
（2）本次抽取的样本中，A型部分所占的圆心角的度数是 °；
（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果估计这3000人中大约有多少人是A型血？
19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD，BE．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．
20．（8分）某公司根据市场需求代理甲，乙两种型号的电脑，每台甲型电脑比每台乙型电脑进价多600元，用5万元购进甲型电脑与用4.4万元购进乙型电脑的数量相等．
（1）求每台甲型、乙型平板的进价各是多少元？
（2）该公司计划购进甲、乙两种型号的电脑共80台进行试销，其中甲型电脑为m台，购买资金不超过39.16万元．并且甲型电脑不少于乙型电脑的3倍，试销时甲型电脑每台售价5500元，乙型电脑每台售价4800元，问该公司应如何购进甲、乙两种型号的电脑使得销售完后获得的利润W最大？
21．（9分）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： ；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为： ；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是 ．
（2）延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED交线段BC于点G，∠CDE的平分线DM交BC于点H．
（1）如图1，若α＝90°，则线段ED与BD的数量关系是 ，GDCD= ；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE．
①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
②求证：BEFH=33；
（3）如图3，若AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE，请直接写出BEFH的值（用含m的式子表示）．
2023年广东省深圳市中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣23的绝对值是（ ）
A．23B．﹣23C．123D．-123
【考点】绝对值．
【答案】A
【分析】直接利用绝对值的定义得出答案．
【解答】解：﹣23的绝对值是：23．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握定义是解题关键．
2．（3分）下面的几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】简单几何体的三视图．
【答案】B
【分析】根据每个选项中的几何体的主视图的形状进行判断即可．
【解答】解：A．长方体的主视图是长方形，因此选项A不符合题意；
B．圆锥的主视图是三角形，因此选项B符合题意；
C．圆柱的主视图是长方形，因此选项C不符合题意；
D．三棱柱的主视图是长方形，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查简单几何体的主视图，掌握各种几何体的主视图的形状是正确判断的前提．
3．（3分）深圳2022年市地区生产总值约为32400亿元，32400用科学记数法表示为（ ）
A．3.24×1012B．32400×108C．3.24×104D．32.4×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【答案】C
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成a×10n的形式即可．
【解答】解：32400＝3.24×104．
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
4．（3分）某班进行演讲比赛，其中6人的成绩如下：9.4，9.0，9.6，9.6，9.3，9.5（单位：分），则下列说法不正确的是（ ）
A．这组数据的众数是9.6分
B．这组数据的方差是13300
C．这组数据的平均数是9.4分
D．这组数据的中位数是9.5分
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【答案】D
【分析】根据平均数、众数、中位数和方差的定义分别计算即可．
【解答】解：这组数据从大到小排列为9.6，9.6，9.5，9.4，9.3，9.0，9.6分出现次数最多，则这组数据的众数是9.6分，故A选项正确，不符合题意；
处于中间的两个数是9.5，9.4，则这组数据的中位数是9.45分，故D选项错误，符合题意；
这组数据的平均数为9.6×2+9.5+9.4+9.3+96=9.4，故C选项正确，不符合题意；
方差为16×[2×(9.6-9.4)2+(9.5-9.4)2+(9.4-9.4)2+(9.3-9.4)2+(9.0-9.4)2]=13300，故B选项正确，不符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数和方差的定义．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．（﹣a2）3＝a6
C．（3ab）2＝6a2b2D．（﹣2b）2•（﹣a）＝﹣4ab2
【考点】完全平方公式；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
【答案】D
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方、幂的乘方运算法则、完全平方公式分别计算得出答案．
【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2≠a2+b2，该选项不符合题意；
B、（﹣a2）3＝﹣a6≠a6，该选项不符合题意；
C、（3ab）2＝9a2b2≠6a2b2，该选项不符合题意；
D、（﹣2b）2⋅（﹣a）＝﹣4ab2，该选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查同底数幂的乘法运算以及积的乘方、幂的乘方、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（3分）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【答案】A
【分析】利用三角板的度数可得∠A＝30°，∠D＝45°，由平行线的性质定理可得∠1＝∠D＝45°，利用三角形外角的性质可得结果．
【解答】解：如图，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，
∴∠D＝180°﹣∠EFD﹣∠DEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠D＝45°，
∴∠AFD＝∠1﹣∠A＝45°﹣30°＝15°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质定理和外角的性质，求出∠A，∠D的度数是解本题的关键．
7．（3分）一元一次不等式组x+7＞1x-13≤4解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【答案】B
【分析】先解每个不等式的解集，再求两个不等式的解集的公共部分即可．
【解答】解：解不等式x+7＞1得：x＞﹣6，
解不等式x-13≤4得：x≤13，
∴不等式组的解集为﹣6＜x≤13，
在数轴上表示为：
，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
8．（3分）下列命题中真命题是（ ）
A．平分弦的直径必垂直于弦
B．有一组邻边相等的四边形为菱形
C．（﹣4，3）关于x轴的对称点为（4，﹣3）
D．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
【考点】命题与定理；关于x轴、y轴对称的点的坐标；全等三角形的判定；菱形的判定；垂径定理．
【答案】D
【分析】根据菱形的判定、垂径定理、轴对称和全等三角形的判定判断即可．
【解答】解：A、平分弦（非直径）的直径必垂直于弦，原命题是假命题，本选项不符合题意；
B、有一组邻边相等的平行四边形为菱形，原命题是假命题，本选项不符合题意；
C、（﹣4，3）关于x轴的对称点为（﹣4，﹣3），原命题是假命题，本选项不符合题意；
D、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，真命题，本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．（3分）《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出10元，则多了6元；如果每人出8元，则少了8元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（ ）
A．10x-y=68x-y=8B．y-10x=6y-8x=8
C．10x-y=6y-8x=8D．y-10x=68x-y=8
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【答案】C
【分析】根据等量关系“每人出10元，则多了6元；每人出8元，则少了8元”列出方程组即可．
【解答】解：设x人参与组团，物价为y元，由题意可得，10x-y=6y-8x=8．
故选：C．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据物价得到等量关系是解决本题的关键．
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延长线于点E．连接AE交BD于点F，交CD于点G．FH⊥CD于点H，连接CF．有下列结论：①AF＝CF；②CF2＝EF•FG；③FG：EG＝4：5；④cs∠GFH=32114，则上述结论中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【答案】D
【分析】利用菱形的性质和全等三角形的判定证明①，证明△FCE∽△FGC，从而证明②，由含30°直角三角形的性质和相似三角形的性质分析求解，从而证明③和④．
【解答】解：在菱形ABCD中，AD＝DC，∠ADB＝∠CDB，
又∵DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAF＝∠DCF，AF＝CF，故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠FEC，
∴∠DCF＝∠FEC，
又∵∠CFG＝∠EFC，
∴∠CFG＝∠CFG，
∴FCEF=FGFC，即FC2＝EF•FG，故②正确；
在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴∠DBC=∠BDC=12∠ABC=12∠ADC=30°，
又∵DE⊥BC，
在Rt△DCF中，∠CDE＝30°，
∴CEDC=12，
在菱形ABCD中，CEAD=12，ADBE=23，
又∵AD∥BC，
∴△ADF∽△BEF，
∴AFEF=ADBE=23，
∴FCEF=23
由②已证FC2＝EF⋅FG，
设FC＝2k，EF＝3k，
∴FG=43k，EG=53k，
∴FG：EG＝4：5，故③正确；
由③已知DFBF=ADBE=23，
设DF＝2a，BF＝3a，
∴BD＝5a，
在Rt△BDE中，DE=12BD=52a，
在Rt△CDE中，CE=33DE=536a，CD=2CE=533a，
在Rt△DFH中，FH=12FD=a，DH=3FH=3a，
∴CH=233a，
在Rt△FCH中，FC=FH2+CH2=213a，
又由②③已证，FC2＝EF•FG，FG：EG＝4：5，
设FG＝4m，EG＝5m，则EF＝9m，
∴4m⋅9m=(213a)2，解得m=±2118a（负值舍去），
∴FG=2219a，
∴cs∠GFH=FHFG=a2219a=32114，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理以及解直角三角形，题目有一定难度，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：a3﹣4a2+4a＝ a（a﹣2）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】a（a﹣2）2．
【分析】观察原式a3﹣4a2+4a，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方式，利用完全平方公式继续分解可得．
【解答】解：a3﹣4a2+4a，
＝a（a2﹣4a+4），
＝a（a﹣2）2．
故答案为：a（a﹣2）2．
【点评】本题考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．要求灵活运用各种方法进行因式分解．
12．（3分）欢欢考试需要复习语文、数学和英语三科，现在需要安排科目顺序，从前到后的顺序恰好为“数学、英语、语文”的概率是 16 ．
【考点】列表法与树状图法．
【答案】16．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与顺序恰好为“数学、英语、语文”的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树形图
由树形图可知所有可能情况共6种，其中顺序恰好为“数学、英语、语文”的情况只有1种，
所以顺序恰好为“数学、英语、语文”的概率为16．
故答案为：16．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率等于所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为2，则BC的长为 2+22 ．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；等腰直角三角形．
【答案】2+22．
【分析】由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB，则CD＝DH＝2，进而求解．
【解答】解：过点D作DH⊥AB，则DH＝2，
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，
则CD＝DH＝2，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∴△DHB为等腰直角三角形，
∴BD=2HD＝22，
∴BC＝CD+BD＝2+22，
故答案为：2+22．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y=kx(x＞0)的图象交BC于点D．若BC＝3BD，平行四边形OABC的面积为6，则k的值为 365 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．
【答案】365．
【分析】过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，可得CN＝2MN，设OC＝a，CN＝2b，则MN＝b，根据平行四边形OABC的面积为6表示出BM的长度，根据BC＝3BD求出ND的长，进而表示出A，D两点的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义即可求出．
【解答】解：过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，
∴DN∥BM，
∴CNMN=CDBD，
∵BC＝3BD，
∴CNMN=CDBD=2，即CN＝2MN，
设OC＝a，CN＝2b，则MN＝b，
∵平行四边形OABC的面积为6，
∴BM=6a，
∵DN∥BM，
∴△CDN∽△CBM，
∴DNBM=CDCB，
∵BC＝3BD，
∴CDCB=23，
∴ND=23BM=4a，
∴A，D点坐标分别为(6a，3b)，(4a，a+2b)，
∴6a•3b=4a（{a+2b}），
∴b=25a，
∴k=6a•3b=6a•3×25a=365，
故答案为：365．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和反比例函数的几何意义，相似三角形的性质和判定，利用数形结合思想是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是BC上的一点，AC＝DC，AB⊥AE，且AE＝AB，连接DE交AC的延长线于点F，ACCF=32，则BDCD= 43 ．
【考点】等腰直角三角形．
【答案】43．
【分析】在DC上截取CG＝CF，连接AG，设AC＝3x，CF＝2x，先证明△ACG≌△DCF（SAS），再证明△EAF≌△ABG（AAS），从而推出BD＝4x，即可求解．
【解答】解：在DC上截取CG＝CF，连接AG，
∵ACCF=32，
设AC＝3x，CF＝2x，
∵AC＝DC，
∴CD＝3x，
∵CG＝CF，
∴CG＝2x，
∵∠ACB＝90°，
在Rt△ACG和Rt△DCF中，
AC=CD∠ACD=∠DCFCG=CF，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴∠CAG＝∠CDF，
∵∠AGB＝∠CAG+90°，∠EFA＝90°+∠CDF，
∴∠AGB＝∠EFA，
∵AB⊥AE，
∴∠EAB＝90°，
∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠CAD＝45°，
∴∠EAF+∠BAD＝45°，
∵∠ADC＝45°＝∠ABC+∠BAD，
∴∠EAF＝∠ABC，
在△EAF和△ABG中，
∠EAF=∠ABC∠EFA=∠AGBAE=AB，
∴△EAF≌△ABG（AAS），
∴BG＝AF＝5x，
∵GD＝3x﹣2x＝x，
∴BD＝4x，
∴BDCD=43；
方法二：过点A作GP∥CB，过点E作EH⊥AF交于点H，过点E作EG⊥GP交于点G，过点B作BP⊥GP交于点P，
∵ACCF=32，
设AC＝3x，CF＝2x，
∵AC＝DC，
∴CD＝2x，
∵AE⊥AB，
∴∠EAB＝90°，
∴∠GAE+∠PAB＝90°，
∵∠GAE+∠GEA＝90°，
∴∠PAB＝∠GEA，
∵AB＝AE，
∴△AEG≌△BAP（AAS），
∴BP＝AG，
∵AC＝BP＝2x，
∴AG＝EH＝2x，
∵∠DCF＝∠H＝90°，CF＝BH，∠CFD＝∠EFH，
∴△DCF≌△EHF（ASA），
∴FH＝CF＝2x，
∴GE＝AP＝7x，
∴BC＝7x，
∴BD＝4x，
∴BDCD=43；
故答案为43．
【点评】本题考查等腰直角三角形，通过截长线段构造全等三角形，利用全等三角形的性质进行边角转化是解题的关键．
三、解答题
16．（5分）计算：（﹣1）2023+（π-12）0﹣|1-3|+2cs30°．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【答案】1．
【分析】利用有理数的乘方、零指数幂法则、绝对值的意义以及特殊角的三角函数值进行化简即可得到结果．
【解答】解：(-1)2023+(π-12)0-|1-3|+2cs30°
=-1+1-3+1+2×32
=-3+1+3
＝1．
【点评】本题考查有理数的乘方，零指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
17．（7分）先化简，再求值：x+3x2-6x+9÷(1+6x-3)，其中x=3+3．
【考点】分式的化简求值．
【答案】1x-3，33．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：x+3x2-6x+9÷(1+6x-3)
=x+3(x-3)2÷(x-3x-3+6x-3)
=x+3(x-3)2÷x+3x-3
=x+3(x-3)2⋅x-3x+3
=1x-3，
当x=3+3时，原式=13+3-3=13=33．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．（8分）6月14日是“世界献血日”，某市组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：
（1）这次随机抽取的献血者人数为 50 人，m＝ 20 ；
（2）本次抽取的样本中，A型部分所占的圆心角的度数是 86.4 °；
（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果估计这3000人中大约有多少人是A型血？
【考点】扇形统计图；用样本估计总体；统计表．
【答案】（1）50，20；
（2）86.4；
（3）估计这3000人中大约有720人是A型血．
【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；
（2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；
（3）用样本中A型的人数除以50得到血型是A型的百分比，然后用3000乘以此百分比可估计这3000人中是A型血的人数．
【解答】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%＝50（人），
所以m=1050×100＝20；
故答案为：50，20；
（2）O型献血的人数为46%×50＝23（人），
A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23＝12（人），
360°×1250=86.4°，
故答案为：86.4；
（3）3000×1250=720（人），
答：估计这3000人中大约有720人是A型血．
【点评】本题考查了用样本估计总体、统计表、扇形统计图，解决本题的关键是综合运用以上知识．
19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD，BE．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．
【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心．
【答案】（1）见解析；
（2）6．
【分析】（1）依据三角形内心的性质可得∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，由圆周角定理的推论可得∠CAD＝∠CBD＝∠BAD．从而可证∠BED＝∠DBE，根据等角对等边即可得结论；
（2）由∠D＝∠D，∠DBF＝∠CAD＝∠BAD，即可判定△ABD∽△BFD，所以BDFD=ADBD，设EF＝x，可化为4+x4=7+x4+x，解得x＝2，从而可求DB的长．
【解答】（1）证明：∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
又∵∠CAD与∠CBD所对弧为DC，
∴∠CAD＝∠CBD＝∠BAD．
∵∠BED＝∠ABE+∠BAD，∠DBE＝∠CBE+∠CBD，
∴∠BED＝∠DBE，
故DB＝DE．
（2）解：∵∠D＝∠D，∠DBF＝∠CAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△BFD，
∴BDFD=ADBD①，
∵DF＝4，AE＝3，设EF＝x，
由（1）可得DB＝DE＝4+x，
则①式化为4+x4=7+x4+x，
解得：x1＝2，x2＝﹣6（不符题意，舍去），
则DB＝4+x＝4+2＝6．
【点评】本题考查了三角形内心的性质、圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质，证明△ABD∽△BFD是解题的关键．
20．（8分）某公司根据市场需求代理甲，乙两种型号的电脑，每台甲型电脑比每台乙型电脑进价多600元，用5万元购进甲型电脑与用4.4万元购进乙型电脑的数量相等．
（1）求每台甲型、乙型平板的进价各是多少元？
（2）该公司计划购进甲、乙两种型号的电脑共80台进行试销，其中甲型电脑为m台，购买资金不超过39.16万元．并且甲型电脑不少于乙型电脑的3倍，试销时甲型电脑每台售价5500元，乙型电脑每台售价4800元，问该公司应如何购进甲、乙两种型号的电脑使得销售完后获得的利润W最大？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【答案】（1）每台甲型电脑的进价为5000元，每台乙型电脑的进价为4400元；（2）购进66台甲型平板，14台乙型平板时利润W取得最大，最大利润为38600元．
【分析】（1）设每台乙型电脑的进价为x元，则每台甲型电脑的进价为（x+600）元，利用“用5万元购进甲型电脑与用4.4万元购进乙型电脑的数量相等”构建分式方程，解之即可得到答案；
（2）由题意：购买资金不超过39.16万元，并且甲型电脑不少于乙型电脑的3倍，列出一元一次不等式组，解得60≤m≤66，然后由一次函数的性质即可得出W的最大值．
【解答】解：（1）设每台乙型电脑的进价为x元，则每台甲型电脑的进价为（x+600）元，
依题意得：50000x+600=44000x，
解得：x＝4400，
经检验，x＝4400是原方程的解，且符合题意，
4400+600＝5000（元）．
答：每台甲型电脑的进价为5000元，每台乙型电脑的进价为4400元；
（2）设利润是W元，购进m台甲型电脑，则购进（80﹣m）台乙型电脑，
依题意得：W＝（5500﹣5000）m+（4800﹣4400）（80﹣m）＝100m+32000，
5000m+4400(80-m)≤391600m≥3(80-m)，
解得：60≤m≤66，
由W＝100m+32000，
∵k＝100＞0，
∴W随m值的增大而增大，
∴当m＝66时，利润W取得最大值，
最大值Wmax＝100×66+32000＝38600（元）．
答：购进66台甲型平板，14台乙型平板时利润W取得最大，最大利润为38600元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
21．（9分）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： 函数图象关于y轴对称 ；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为： x＝﹣2或x＝0或x＝2 ；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是 ﹣1＜a＜0 ．
（2）延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜a＜0．
（2）见解答，自变量x的取值范围是0＜x＜4且x≠2．
【分析】（1）根据图象即可求得；
（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象，根据图象即可得到结论．
【解答】解：（1）观察探究：
①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．
故答案为函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜a＜0．
（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象，
当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围是0＜x＜4且x≠2．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED交线段BC于点G，∠CDE的平分线DM交BC于点H．
（1）如图1，若α＝90°，则线段ED与BD的数量关系是 ED＝BD ，GDCD= 33 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE．
①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
②求证：BEFH=33；
（3）如图3，若AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE，请直接写出BEFH的值（用含m的式子表示）．
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）ED＝BD；33．
（2）①四边形CDEF是正方形，理由见解答部分；②证明过程详见解答部分．
（3）BEFH=3-m2．
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以得到AC＝CD＝BD，根据旋转的性质可以得到CD＝DE，则DE＝BD；又在Rt△CGD中，含30°的直角三角形边之间的关系可得结论；
（2）①由∠CFD＝∠EDM＝∠CDM，得CF＝CD＝ED，又CF∥DE，则四边形CDEF是菱形，又∠CDE＝90°，可得结论：菱形CDEF是正方形．
②由题意可得，∠EGB＝∠FCH，∠EBG＝∠CFD，则△BEG∽△FHC，又DG＝BG，CD＝CF，所以BEFH=BGFC=GDCD=33．
（3）过点D作DN⊥BC于点N，由tan∠NDG＝tan（α﹣60°）=NGDN=m，得NG＝m，所以BG=3-m，又△BEG∽△FHC，DG＝BG，CD＝CF，所以BEFH=BGFC=GDCD=3-m2．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴AD＝CD＝BD，
∵∠A＝60°，
∴∠B＝30°，△ACD是等边三角形，
∴∠DCB＝30°，
∵∠CDE＝α＝90°，
∴tan∠CGD＝tan60°=CDDG=3，
∴GDCD=33．
∵线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，
∴ED＝CD＝BD，
故答案为：ED＝BD；33．
（2）①四边形CDEF是正方形，理由如下，
∵DM平分∠CDE，∠CDE＝90°，
∴∠CDM＝∠EDM＝45°，
∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠EDM＝45°，
∴∠CFD＝∠EDM＝∠CDM，
∴CF＝CD＝ED，
∴四边形CDEF是菱形，
∵∠CDE＝90°，
∴菱形CDEF是正方形．
②由（1）可知，∠ADC＝60°，∠CGD＝60°，BD＝DE，
∴∠BDE＝30°，∠EGB＝60°，
∴∠DBE＝∠DEB＝75°，
∴∠EBG＝45°，
∵∠GDB＝180°﹣∠ADE＝30°，∠ABC＝30°，
∴∠GDB＝∠ABC，
∴DG＝BG，
由①知∠CFD＝∠CDF＝45°，∠DCF＝90°，
∴∠FCH＝60°，
∴∠EGB＝∠FCH，∠EBG＝∠CFD，
∴△BEG∽△FHC，
∴BEFH=BGFC，
∵DG＝BG，CD＝CF，
∴BEFH=BGFC=GDCD=33．
（3）如图3，过点D作DN⊥BC于点N，
∴AC∥DN，
∴∠ACD＝∠CDN，
∵△ACD是等边三角形，AC＝2，
∴FC＝CD＝AC＝2，∠CDN＝∠ACD＝60°，
∴∠NDG＝α﹣60°，DN＝1，
∴tan∠NDG＝tan（α﹣60°）=NGDN=m，
∴NG＝m，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，
∴AB＝4，BC＝23，
∴BN＝CN=3，
∴BG=3-m，
∵∠ADC＝60°，∠CDG＝α，
∴∠BDE＝120°﹣α，
∴∠BEG＝30°+α2，
∴∠EBG=α2，
∴∠BGE＝150°﹣α，
∵DM平分∠CDE，∠CDE＝α，
∴∠CDM＝∠EDM=α2，
∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠EDM=α2，∠DCF+∠CDE＝180°，
∴∠DCF＝180°﹣α，
∴∠FCG＝150°﹣α，
∴∠EGB＝∠FCG，∠EBG＝∠CFD，
∴△BEG∽△FHC，
∴BEFH=BGFC=3-m2．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30°的直角三角形的边角关系，正方形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和等内容，得到△BEG∽△FHC是解题关键．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
3．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
6．单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
7．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
8．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
9．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
10．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
11．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
12．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
13．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
14．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
15．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
16．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
17．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
18．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x的增大而增大；x=-b2a时，y取得最小值4ac-b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-b2a时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x的增大而减小；x=-b2a时，y取得最大值4ac-b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|-b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac-b24a|个单位得到的．
19．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=-b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
20．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
21．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
22．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
23．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
24．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
25．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
26．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
27．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
28．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
29．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
30．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
31．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
32．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
33．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
34．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
35．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
36．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
37．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
38．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
39．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=12； cs30°=32；tan30°=33；
sin45°=22；cs45°=22；tan45°＝1；
sin60°=32；cs60°=12； tan60°=3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
40．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，csA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
41．简单几何体的三视图
（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（2）常见的几何体的三视图：
圆柱的三视图：
42．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
43．统计表
统计表可以将大量数据的分类结果清晰，一目了然地表达出来．
统计调查所得的原始资料，经过整理，得到说明社会现象及其发展过程的数据，把这些数据按一定的顺序排列在表格中，就形成“统计表”．统计表是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格． 统计表是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式．
44．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
45．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
46．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
47．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
48．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
49．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
血型
A
B
AB
O
人数

10
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血型
A
B
AB
O
人数
12
10
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