广东省肇庆市华赋实验学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省肇庆市华赋实验学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4，共14页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数 学 试 卷
一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正 确的，请把正确的答案写在答题卡．
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程概念，根据一元二次方程的定义，必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：．是一元二次方程，该选项正确，符合题意；
． 是二元二次方程，该选项错误，不符合题意；
． 不是一元二次方程，该选项错误，不符合题意；
． 不是一元二次方程，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
2. 函数 的一次项系数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义：一般地，把形如，（，，均为常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，称为一次项系数，为常数项，即可．
【详解】解：函数的一次项系数为：．
故选：B．
3. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 轴
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据二次函数的图象与性质即可直接得出答案．
【详解】解：根据二次函数的图象与性质可知：
抛物线的对称轴是直线，即轴，
故选：．
4. 下列四个点中，在抛物线上的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题可将四个选项中的坐标代入抛物线方程中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．
【详解】解：A．把代入得，故点不在抛物线上．
B．把代入得，故点不在抛物线上．
C．把代入得，故点在抛物线上，
D．把代入得，故点不在抛物线上．
故选：C．
5. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：，
，
配方得，即，
只有选项A符合题意；
故选：A．
6. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【详解】，
方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
7. 若是关于x的一元二次方程的解，则( )
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】把代入方程，得到，整体代入求值即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得：且，
即k的取值范围是且．
故选：D
9. 若菱形的一条对角线长为12，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（ ）
A. 20B. 24C. 28D. 20或28
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形三边关系的应用，以及因式分解法解一元二次方程，先用因式分解法解一元二次方程，得出菱形的边长，再利用三角形三边关系的应用得出菱形的适合边长，最后根据菱形的周长计算即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
或，
解得或，
分两种情况：
当时，
∵，
∴不能构成三角形；
当时，
∵，
∴能构成三角形，
综上所述：该菱形的边长为7，
∴菱形的周长为：，
故选：C．
10. 某工厂2022年全年某产品的产量为234万吨，预计2024年全年该产品的产量为345万吨，设2022年至2024年该产品的年平均增长率为x，根据题意列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
根据工厂2022年全年某产品的产量为234万吨，预计2024年全年该产品的产量为345万吨，列方程即可．
【详解】解：根据题意，得，
故选A．
二、填空题（本大题 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11. 函数的自变量x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：根据题意得，
解得：x>1，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题关键．
12. 方程的根是__________ ．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，由，得到或，即可求解，掌握解一元二方程的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴或，
∴，，
故答案为：，．
13. 当________ 时，二次函数
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，且，即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，且，
∴，
故答案为：．
14. 把抛物线，向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据题意直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，在原式上加1即可得新函数解析式即可．
【详解】解：∵向上平移1个单位长度，
∴所得的抛物线的解析式为．
故答案为：．
15. 已知一元二次方程的两根分别为m、n，则________．
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则
直接根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程可化为，
这个方程的两根分别为m，n，
∴，，
，
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分．
16. 解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是解一元二次方程在，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）利用直接开方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
或，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
，，，
，
，
解得：，．
17. 若关于 x 一元二次方程有一个解是 0 ，求的值和方程的另一个根．
【答案】，方程的另一个根是．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即把0代入方程求解可得m的值，把m的值代入一元二次方程中，求出x的值，即可得出答案，能求出m的值是解此题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程有一个解是 0 ，
∴将代入方程得：，
解得：，，
当时，方程为：，
当时，方程为：，不是一元二次方程，
∴，
∴原方程为：，
解得：，，
∴方程的另一个根是．
18. 已知二次函数，当时，，时，．
（1）求a，c的值．
（2）当时，求函数y的值．
【答案】（1）
（2）21
【解析】
【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值；
（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）将代入解析式，求出函数y的值即可．
小问1详解】
解：由题意，得：，解得：，
∴；
【小问2详解】
由（1）知：，
∴，
∴当时，．
四、解答题（二）：本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分．
19. 如图，把校园的小圆形草地的半径增加得到大圆形草地，草地的面积是原来的2倍．求小圆形草地的半径．

【答案】
【解析】
【分析】设小圆形草地的半径为，根据小圆面积大圆的面积列方程即可．
【详解】解：设小圆形草地的半径为，
，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：小圆形草地的半径为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据小圆面积大圆的面积列出方程是解题的关键．
20. 已知二次函数，解答下列问题：
（1）根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．
（2）判断点是否在这个函数图象上，说明理由．
（3）求当时对应的函数图象上的点的坐标．
【答案】（1）见解析；
（2）点不在这个函数图像上；
（3）和．
【解析】
【分析】（1）根据对称性可直接画出图象；
（2）代入横坐标或纵坐标都可判断；
（3）代入即可求出坐标．
【小问1详解】
如图所示，
【小问2详解】
当时，
，
∴点不在这个函数图象上；
【小问3详解】
当时，
，
∴，
∴时，对应的函数图象上的点的坐标为：和．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是运用好数形结合的思想．
21. 某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为（元），日销售量为（件）．
（1）与的函数关系式为________；
（2）要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？
【答案】（1）
（2）40
【解析】
【分析】（1）由题意易得日销售量与销售单价成反比，得到，即可解得
（2）根据一次函数的性质即可求解
【小问1详解】
根据题意得，，
故与的函数关系式为
【小问2详解】
，
解得：，（舍去），
故答案为：40元
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键
五、解答题（三）：本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分．
22. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；
（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由）
【答案】（1）见解析；（2）29；（3）他的说法不正确
【解析】
【分析】（1）设中间的数为a，则另外4个数分别为（a−7），（a−1），（a＋1），（a＋7），利用（a−1）（a＋1）−（a−7）（a＋7）＝48可证出结论；
（2）设这5个数中最大数为x，则最小数为（x−14），根据两数之积为435，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14），根据两数之积为120，可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确．
【详解】（1）证明：设中间的数为，
∴
．
（2）解：设这五个数中最大数为，
由题意，得，
解方程，得，（不合题意，舍去）．
答：这5个数中最大的数是29．
（3）他的说法不正确．
解：设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14），
依题意，得：y（y−14）＝120，
解得：y1＝20，y2＝−6（不合题意，舍去）．
∵20在第一列，
∴不符合题意，
∴小明的说法不正确．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及菱形的性质，以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23. 【综合与实践】某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
【探究发现】
【猜想结论】
如果，那么存在（当且仅当时，等号成立）．
【证明结论】（补全横线上的说理过程）
因为，
所以①当且仅当，即时，
，所以；
②当，即时，______．
综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）．
【应用结论】
（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为米，求为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？
【答案】【证明结论】见解析；【应用结论】（1）当时，函数的值最小，最小值是2；（2）当时，函数的值最小，最小值是7；【拓展应用】（3）米，米
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式、算术平方根、利用平方根解方程、解分式方程等知识点，熟练掌握完全平方公式和算术平方根是解题关键，规律的总结和应用，能够结合实际问题熟练应用规律是解决本题的关键．
证明结论：根据题目中思路解答即可；
应用结论：（1）根据题目中给的结论将函数式进行变式，即可求出最小值；
（2）先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，求出最值；
（3）由题意得：篱笆的总长度为米，先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，求出最值，可求出钢丝网的最短长度．
【详解】解：证明结论：，所以．
应用结论：
（1）根据结论可知，
所以函数的最小值为2，
此时，
解得：x=1或（舍去），
所以，当时，函数的值最小，最小值是2．
（2）根据结论可知，
所以函数的最小值为7，
此时，，解得，或4（舍去），
所以当时，函数的值最小，最小值是7．
（3）由题意得：篱笆的总长度为米．
因，
所以蓠笆总长度最短为米，
此时，，
所以，