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中考数学二轮复习压轴题培优训练专题2半角模型(2份,原卷版+解析版)
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模型1:正方形中的半角模型
模型2:等腰直角三角形中的半角模型
经典例题
【例1】.(2020·山西晋中·八年级阶段练习)如图所示:已知中,,在内部作分别交于点
[操作](1)将绕点逆时针旋转,使边与边重合,把旋转后点的对应点记作点,得到,请在图中画出;(不写出画法)
[探究](2)在作图的基础上,连接, 求证:
[拓展](3)写出线段和之间满足的数量关系,并简要说明理由.
【例2】(2022·全国·九年级专题练习)折一折:将正方形纸片ABCD折叠,使边AB、AD都落在对角线AC上,展开得折痕AE、AF,连接EF,如图1.
(1)∠EAF= °,写出图中两个等腰三角形: (不需要添加字母);
(2)转一转:将图1中的∠EAF绕点A旋转,使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q,连接PQ,如图2.线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 ;
(3)连接正方形对角线BD,若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N,如图3,则 ;
(4)剪一剪:将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开,如图4.求证:BM2+DN2=MN2.
【例3】(2022·江苏·八年级专题练习)问题情境
在等边△ABC的两边AB,AC上分别有两点M,N,点D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.
特例探究
如图1,当DM=DN时,
(1)∠MDB= 度;
(2)MN与BM,NC之间的数量关系为 ;
归纳证明
(3)如图2,当DM≠DN时,在NC的延长线上取点E,使CE=BM,连接DE,猜想MN与BM,NC之间的数量关系,并加以证明.
拓展应用
(4)△AMN的周长与△ABC的周长的比为 .
【例4】.(2020·全国·九年级专题练习)请阅读下列材料:
已知:如图(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系:
(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,直接写出你的猜想;
(2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图(2),其它条件不变,(1)中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明;
(3)已知:如图(3),等边三角形ABC中,点D、E在边AB上,且∠DCE=30°,请你找出一个条件,使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,并求出此时等腰三角形顶角的度数.
培优训练
一、解答题
1.(2022·陕西西安·七年级期末)问题背景:
如图1,在四边形ABCD中,,,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明,再证明,可得出结论,他的结论应是______.
实际应用:
如图2,在新修的小区中,有块四边形绿化ABCD,四周修有步行小径,且AB=AD,∠B+∠D=180°,在小径BC,CD上各修一凉亭E,F,在凉亭E与F之间有一池塘,不能直接到达,经测量得,BE=10米,DF=15米,试求两凉亭之间的距离EF.
2.(2022·河北邢台·九年级期末)学完旋转这一章,老师给同学们出了这样一道题:
“如图1,在正方形ABCD中,∠EAF=45°,求证:EF=BE+DF.”
小明同学的思路:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠ADC=90°.
把△ABE绕点A逆时针旋转到的位置,然后证明,从而可得.
,从而使问题得证.
(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题:
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,,直接写出EF,BE,DF之间的数量关系.
(2)【应用】如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,,求证:EF=BE+DF.
(3)【知识迁移】如图4,四边形ABPC是的内接四边形,BC是直径,AB=AC,请直接写出PB+PC与AP的关系.
3.(2021·重庆·九年级专题练习)将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合,正方形ABCD固定不动,然后将三角板绕着点A旋转,∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F,连接EF.
(1)在三角板旋转过程中,当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时,如图1所示,请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系;
(2)在三角板旋转过程中,当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时,如图2所示,请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系;
(3)若正方形的边长为4,在三角板旋转过程中,当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时,试求线段EF的长.
4.(2022·全国·八年级课时练习)综合与实践
(1)如图1,在正方形ABCD中,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=45°,则MN,AM,CN的数量关系为 .
(2)如图2,在四边形ABCD中,BC∥AD,AB=BC,∠A+∠C=180°,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=∠ABC,试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系?请写出猜想,并给予证明.
(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M、N分别在DA、CD的延长线上,若∠MBN=∠ABC,试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 .
5.(2022·江苏·八年级课时练习)(1)如图①,在四边形中,,,,分别是边,上的点,且.请直接写出线段,,之间的数量关系:__________;
(2)如图②,在四边形中,,,,分别是边,上的点,且,(1)中的结论是否仍然成立?请写出证明过程;
(3)在四边形中,,,,分别是边,所在直线上的点,且.请画出图形(除图②外),并直接写出线段,,之间的数量关系.
6.(2021·辽宁·沈阳市南昌中学(含:西校区、光荣中学)九年级阶段练习)如图,菱形ABCD与菱形EBGF的顶点B重合,顶点F在射线AC上运动,且,对角线AC、BD相交于点O.
(1)如图1.当点F与点O重合时,直接写出的值为 ;
(2)当顶点F运动到如图2的位置时,连接CG,,且,试探究CG与DF的数量关系,说明理由,并直接写出直线CG与DF所夹锐角的度数;
(3)如图3,取点P为AD的中点,若B、E、P三点共线,且当CF=2时,请直接写出BP的长.
7.(2022·江苏·八年级课时练习)如图,,,,,.
(1)求的度数;
(2)以E为圆心,以长为半径作弧;以F为圆心,以长为半径作弧,两弧交于点G,试探索的形状?是锐角三形,直角三角形还是钝角三角形?请说明理由.
8.(2021·河南平顶山·九年级期中)(1)阅读理解
如图1,在正方形ABCD中,若E,F分别是CD,BC边上的点,∠EAF=45°,则我们常常会想到:把ADE绕点A顺时针旋转90°,得到ABG.易证AEF≌ ,得出线段BF,DE,EF之间的关系为 ;
(2)类比探究
如图2,在等边ABC中,D,E为BC边上的点,∠DAE=30°,BD=1,EC=2.求线段DE的长;
(3)拓展应用
如图3,在ABC中,AB=AC=,∠BAC=150°,点D,E在BC边上,∠DAE=75°,若DE是等腰ADE的腰,请直接写出线段BD的长.
9.(2022·全国·八年级专题练习)已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E、F.
(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),试猜想AE,CF,EF之间存在怎样的数量关系?请将三条线段分别填入后面横线中: + = .(不需证明)
(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如图2)时,上述(1)中结论是否成立?请说明理由.
(3)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如图3)时,上述(1)中结论是否成立?若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不需证明.
10.(2022·江苏·八年级课时练习)如图,在正方形ABCD中,点P在直线BC上,作射线AP,将射线AP绕点A逆时针旋转45°,得到射线AQ,交直线CD于点Q,过点B作BE⊥AP于点E,交AQ于点F,连接DF.
(1)依题意补全图形;
(2)用等式表示线段BE,EF,DF之间的数量关系,并证明.
11.(2022·全国·八年级课时练习)(1)如图,在正方形中,、分别是,上的点,且.直接写出、、之间的数量关系;
(2)如图,在四边形中,,,、分别是,上的点,且,求证:;
(3)如图,在四边形中,,,延长到点,延长到点,使得,则结论是否仍然成立?若成立,请证明;不成立,请写出它们的数量关系并证明.
12.(2021·辽宁沈阳·一模)(1)思维探究:
如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,且∠EAF=45°,连接EF,则三条线段EF,BE,DF满足的等量关系式是 ;小明的思路是:将△ADF绕点A顺时针方向旋转90°至△ABG的位置,并说明点G,B,E在同一条直线上,然后证明△AEF≌ 即可得证结论;(只需填空,无需证明)
(2)思维延伸:
如图2,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E均在边BC上,点D在点E的左侧,且∠DAE=45°,猜想三条线段BD,DE,EC应满足的等量关系,并说明理由;
(3)思维拓广:
如图3,在△ABC中,∠BAC=60°,AB=AC=5,点D,E均在直线BC上,点D在点E的左侧,且∠DAE=30°,当BD=1时,请直接写出线段CE的长.
13.(2021·河南安阳·八年级期中)已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.
(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:____;
(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;
(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)
14.(2020·四川成都·八年级期末)已知,,分别在边,上取点,,使,过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点.点,分别是射线,上动点,连接,,.
(1)求证:;
(2)如图,当点,分别在线段,上,且时,请求出线段,,之间的等量关系式;
(3)如图,当点,分别在,的延长线上,且时,延长交于点,延长交于点.请猜想线段,,之间的等量关系,并证明你的结论.
15.(2020·江西育华学校八年级阶段练习)问题背景:如图1,在四边形中,,,,,,绕B点旋转,它的两边分别交、于E、F.探究图中线段之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是:延长到G,使,连接,先证明,再证明,可得出结论,他的结论就是______________;
探究延伸:如图2,在四边形中,,,,绕B点旋转,它的两边分别交、于E、F.上述结论是否仍然成立?并说明理由.
实际应用:如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进,同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进,1.2小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处,且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.
16.(2022·全国·八年级课时练习)如图,是边长为2的等边三角形,是顶角为120°的等腰三角形,以点为顶点作,点、分别在、上.
(1)如图①,当时,则的周长为______;
(2)如图②,求证:.
17.(2022·全国·八年级课时练习)如图,在四边形中,,,分别是,上的点,连接,,.
(1)如图①,,,.求证:;
(2)如图②,,当周长最小时,求的度数;
(3)如图③,若四边形为正方形,点、分别在边、上,且,若,,请求出线段的长度.
18.(2022·江苏·八年级课时练习)(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=100°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=50°.探究图中线段EF,BE,FD之间的数量关系.
小明同学探究的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论是 (直接写结论,不需证明);
(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且2∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由;
(3)如图3,四边形ABCD是边长为7的正方形,∠EBF=45°,直接写出△DEF的周长.
19.(2022·全国·八年级课时练习)如图,正方形ABCD中,E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°,连接EF,这种模型属于“半角模型”中的一类,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的分析思路.例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系.这可以证明结论“EF=BE+DF”,请补充辅助线的作法,并写出证明过程.
(1)延长CB到点G,使BG= ,连接AG;
(2)证明:EF=BE+DF
20.(2021·全国·九年级专题练习)如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2,AC,BD相交于点O.
(1)求边AB的长;
(2)求∠BAC的度数;
(3)如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板60°角的两边分别与边BC,CD相交于点E,F,连接EF.判断△AEF是哪一种特殊三角形,并说明理由.
21.(2020·重庆江津·八年级期中)(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,∠ECG=45°,求证EG=BE+GD.
(2)请用(1)的经验和知识完成此题:如图2,在四边形ABCD中,AG//BC(BC>AG),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一点,且∠ECG=45°,BE=4,求EG的长?
22.(2022·江苏·八年级专题练习)(2020•锦州模拟)问题情境:已知,在等边△ABC中,∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O,点M、N分别在直线AC,AB上,且∠MON=60°,猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系.
方法感悟:小芳的思考过程是在CM上取一点,构造全等三角形,从而解决问题;
小丽的思考过程是在AB取一点,构造全等三角形,从而解决问题;
问题解决:(1)如图1,M、N分别在边AC,AB上时,探索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明;
(2)如图2,M在边AC上,点N在BA的延长线上时,请你在图2中补全图形,标出相应字母,探索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明.
23.(2022·河南开封·八年级期末)(2019秋•东台市期末)在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.
(1)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是 ;此时 ;
(2)如图2,点M、N在边AB、AC上,且当DM≠DN时,猜想( I)问的两个结论还成立吗?若成立请直接写出你的结论;若不成立请说明理由.
(3)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,探索BM、NC、MN之间的数量关系如何?并给出证明.
24.(2022·全国·八年级课时练习)如图①,四边形ABCD为正方形,点E,F分别在AB与BC上,且∠EDF=45°,易证:AE+CF=EF(不用证明).
(1)如图②,在四边形ABCD中,∠ADC=120°,DA=DC,∠DAB=∠BCD=90°,点E,F分别在AB与BC上,且∠EDF=60°.猜想AE,CF与EF之间的数量关系,并证明你的猜想;
(2)如图③,在四边形ABCD中,∠ADC=2α,DA=DC,∠DAB与∠BCD互补,点E,F分别在AB与BC上,且∠EDF=α,请直接写出AE,CF与EF之间的数量关系,不用证明.
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