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中考数学二轮复习压轴题培优训练专题17角平分线的四大模型(2份,原卷版+解析版)
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经典例题
【例1】(2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级阶段练习)四边形中,,连接.
(1)如图1,若平分,求证:.
(2)如图2,若,,求证:.
(3)如图3,在(2)的条件下,作于点,连接,若,,求的长度.
【例2】(2022·山西·交城县教学研究办公室八年级期中)综合与实践:
问题情境:已知是的平分线,P是射线上的一点,点C,D分别在射线,上,连接.
(1)初步探究:如图1,当,时,与的数量关系是 ;
(2)深入探究:如图2,点C,D分别在射线,上运动,且,当时,与在(1)中的数量关系还成立吗?请说明理由;
(3)拓展应用:如图3,如果点C在射线上运动,且,当时,点D落在了射线的反向延长线上,若点P到的距离为3,,求的长(直接写出答案).
【例3】(2021·全国·八年级专题练习)如图,已知B(-1,0),C(1,0),A为y轴正半轴上一点,点D为第二象限一动点,E在BD的延长线上,CD交AB于F,且∠BDC=∠BAC.
(1)求证:∠ABD=∠ACD;
(2)求证:AD平分∠CDE;
(3)若在点D运动的过程中,始终有DC=DA+DB,在此过程中,∠BAC的度数是否变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出∠BAC的度数.
【例4】(2021·贵州·九年级专题练习)【特例感知】
(1)如图(1),是的圆周角,BC为直径,BD平分交于点D,,,求点D到直线AB的距离.
【类比迁移】(2)如图(2),是的圆周角,BC为的弦,BD平分交于点D,过点D作,垂足为点E,探索线段AB,BE,BC之间的数量关系,并说明理由.
【问题解决】(3)如图(3),四边形ABCD为的内接四边形,,BD平分,,,求的内心与外心之间的距离.
培优训练
一、解答题
1.(2022·全国·八年级课时练习)已知:如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°,BC>BA.求证:点D在线段AC的垂直平分线上.
2.(2022·全国·八年级课时练习)如图,ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点B作BE⊥AD,交AD延长线于点E,F为AB的中点,连接CF,交AD于点G,连接BG.
(1)线段BE与线段AD有何数量关系?并说明理由;
(2)判断BEG的形状,并说明理由.
3.(2022·江苏·八年级专题练习)在△ABC中,AD为△ABC的角平分线,点E是直线BC上的动点.
(1)如图1,当点E在CB的延长线上时,连接AE,若∠E=48°,AE=AD=DC,则∠ABC的度数为 .
(2)如图2,AC>AB,点P在线段AD延长线上,比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系,并证明.
(3)连接AE,若∠DAE=90°,∠BAC=24°,且满足AB+AC=EC,请求出∠ACB的度数(要求:画图,写思路,求出度数).
4.(2022·全国·八年级课时练习)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的角平分线,交BC于点D,过D作DE⊥BA于点E,点F在AC上,且BD=DF.
(1)求证:AC=AE;
(2)若AB=7.4,AF=1.4,求线段BE的长.
5.(2022·江苏·八年级专题练习)如图1,在中,是边的中线,交延长线于点,.
(1)求证;
(2)如图2,平分交于点,交于点,若,,求的值.
6.(2022·全国·八年级课时练习)(1)如图1,射线OP平分∠MON,在射线OM,ON上分别截取线段OA,OB,使OA=OB,在射线OP上任取一点D,连接AD,BD.求证:AD=BD.
(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD平分∠ACB,求证:BC=AC+AD.
(3)如图3,在四边形ABDE中,AB=9,DE=1,BD=6,C为BD边中点,若AC平分∠BAE,EC平分∠AED,∠ACE=120°,求AE的值.
7.(2022·全国·八年级课时练习)已知:是的角平分线,且.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,,点E在上,连接并延长交于点,交CA的延长线于点,且,连接.
①求证:;
②若,且,求的长.
8.(2022·全国·八年级)如图1,在中,,分别是和的角平分线,和相交于点.
(1)求证:平分;
(2)如图2,过作于点,连接,若,,求证:;
(3)如图3,若,求证:.
9.(2022·湖南·宁远县至善学校八年级阶段练习)在平面直角坐标系中,点A的坐标是,点B的坐标且a,b满足.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)如图(1),点C为x轴负半轴一动点,,于D,交y轴于点E,求证:平分.
(3)如图(2),点F为的中点,点G为x正半轴点右侧的一动点,过点F作的垂线,交y轴的负半轴于点H,那么当点G的位置不断变化时,的值是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变化,请求出相应结果.
10.(2022·全国·八年级课时练习)已知:如图,AC∥BD,AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD,点E在CD上.用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系,并证明.
11.(2022·全国·八年级课时练习)已知点C是∠MAN平分线上一点,∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B,D两点,且∠ABC+∠ADC=180°.过点C作CE⊥AB,垂足为E.
(1)如图1,当点E在线段AB上时,求证:BC=DC;
(2)如图2,当点E在线段AB的延长线上时,探究线段AB、AD与BE之间的等量关系;
(3)如图3,在(2)的条件下,若∠MAN=60°,连接BD,作∠ABD的平分线BF交AD于点F,交AC于点O,连接DO并延长交AB于点G.若BG=1,DF=2,求线段DB的长.
12.(2022·全国·八年级)在平面直角坐标系中,点,,点C为x轴正半轴上一动点,过点A作交y轴于点E.
(1)如图,若点C的坐标为(3,0),试求点E的坐标;
(2)如图,若点C在x轴正半轴上运动,且,其它条件不变,连接DO,求证:OD平分
(3)若点C在x轴正半轴上运动,当时,试探索线段AD、OC、DC的数量关系,并证明.
13.(2022·全国·八年级)如图1,点是直线上一点,点是直线上一点,且MN//PQ.和的平分线交于点.
(1)求证:;
(2)过点作直线交于点(不与点重合),交于点E,
①若点在点的右侧,如图2,求证:;
②若点在点的左侧,则线段、、有何数量关系?直接写出结论,不说理由.
14.(2018·湖北武汉·八年级期中)在平面直角坐标中,等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠CAB=90°,A(0,a),B(b,0).
(1)如图1,若+(a-2)2=0,求△ABO的面积;
(2)如图2,AC与x轴交于D点,BC与y轴交于E点,连接DE,AD=CD,求证:∠ADB=∠CDE;
(3)如图3,在(1)的条件下,若以P(0,-6)为直角顶点,PC为腰作等腰Rt△PQC,连接BQ,求证:AP∥BQ.
15.(2018·辽宁·沈阳市第一四三中学八年级期末)阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:
如图一,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E:
(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.
(2)如图二,△ABC中,∠A=120°,AB=AC,BD平分∠ABC,猜想线段AD与DC的数量关系,并证明你的猜想.
(3)如图三,△ABC中,∠A=100°,AB=AC,BD平分∠ABC,猜想线段AD与BD、BC的数量关系,并证明你的猜想.
16.(2019·全国·九年级专题练习)已知:中,为的中点,平分于,连结,若,求的长.
17.(2022·全国·八年级课时练习)在中,BE,CD为的角平分线,BE,CD交于点F.
(1)求证:;
(2)已知.
①如图1,若,,求CE的长;
②如图2,若,求的大小.
18.(2022·广东·金辉学校九年级阶段练习)已知:如图,在中,,动点从点出发,沿着的方向运动一周,以为圆心,为半径作圆.
(1)若分别与相切.
①利用直尺和圆规作(不写作法,保留作图痕迹);
②求出此时的值;
(2)当时,设在运动的过程中与三条边的公共点个数为,那么的最小值是___________,最大值是___________.
19.(2022·四川·石室中学八年级期中)如图,在中,已知是边上的高,过点B作于点E,交于点F,且,,.
(1)求的值;
(2)求证:;
(3)如图2,在(2)的条件下,在的延长线上取一点G,使,请猜想与的数量关系,并说明理由.
20.(2022·江苏徐州·八年级期中)如图,在中,,,,动点从点出发沿射线以的速度运动,设运动时间为.
(1)直接写出______;
(2)当平分时,求的值;
(3)当为等腰三角形时,求的值.
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