（寒假）沪教版数学九年级重难点讲练测第02讲 垂径定理（2份，原卷版+解析版）

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考点一：垂径定理
考点二：垂径定理的应用
【基础知识】
一．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
二．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
【考点剖析】
一．垂径定理（共16小题）
1．（2021春•徐汇区月考）过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为 cm．
【分析】圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点M且与这条直径垂直的弦，由勾股定理和垂径定理求解即可．
【解答】解：如图，∵AB＝6cm，CD＝4cm，
∴由垂径定理OC＝3cm，CM＝2cm，
∴由勾股定理得OM＝＝＝cm，
故答案为．
【点评】本题综合考查了垂径定理和勾股定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
2．（2022•浦东新区校级模拟）在半径为13cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为24cm，另一条弦长为10cm，则这两条弦之间的距离为 17或7 cm．
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【解答】解：有两种情况：①如图，当AB和CD在O的两旁时，
过O作MN⊥AB于M，交CD于N，连接OB，OD，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
由垂径定理得：BM＝AB＝12，DN＝CD＝5，
∵OB＝OD＝10，
由勾股定理得：OM＝＝5，
同理ON＝12，
∴MN＝5+12＝17，
②当AB和CD在O的同旁时，MN＝12﹣5＝7．
故答案为：17或7．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
3．（2022•杨浦区三模）已知AB是⊙O的弦，如果⊙O的半径长为5，AB长为4，那么圆心O到弦AB的距离是 ．
【分析】根据题意画出图形，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可得出AD的长，在Rt△OAD中，利用勾股定理及可求出OD的长．
【解答】解：如图所示：
过点O作OD⊥AB于点D，
∵AB＝4，
∴AD＝AB＝×4＝2，
在Rt△OBD中，
∵OA＝5，AD＝2，
∴OD＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
4．（2022春•徐汇区期中）已知正三角形ABC的弦心距为a，那么△ABC的周长是 6a .（用含a的式子表示）．
【分析】根据题意画出图形，再利用30°角的正切得到BD，由垂径定理得到BC，进而可得周长．
【解答】解：如图，
由题意得，OD＝a，∠OBD＝30°，
∴tan30°＝，
∴BD＝＝a，
由垂径定理得，BC＝2BD＝2a，
∴△ABC的周长是6a，
故答案为：6a．
【点评】本题考查的是正三角形的性质、边心距、半径、周长和面积的计算；熟练掌握正三角形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
5．（2021春•徐汇区校级月考）在⊙O中，弦AB的长为8，它所对应的弦心距为4，那么半径OA＝ ．
【分析】作出图形，先求出弦的一半的长，再利用勾股定理即可求出．
【解答】解：作OC⊥AB，垂足为C，
∴OC＝4，AC＝AB＝4，
根据勾股定理可得：OA＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理求AC的长是解题的关键．
6．（2022春•长宁区校级期中）如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD＝4，AB＝16，那么OC＝ 10 ．
【分析】根据垂径定理可得AD＝AB＝8，∠ADO＝90°，设CO＝x，则AO＝x，DO＝x﹣4，再利用勾股定理列出方程，解出x的值即可．
【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD＝AB＝8，∠ADO＝90°，
设CO＝x，则AO＝x，DO＝x﹣4，
x2＝82+（x﹣4）2，
解得：x＝10，
∴CO＝10，
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
7．（2022•浦东新区校级模拟）如图，△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC＝（ ）
A．110°B．115°C．120°D．125°
【分析】过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF、OB、OC，根据垂径定理和已知求出DM＝KQ＝FN，根据勾股定理求出OM＝ON＝OQ，可得点O是△ABC的内心即可解决问题．
【解答】解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF、OB、OC，设AB，AC，BC与⊙O的另一个交点分别为E，H，G．
由垂径定理得：DM＝DE，KQ＝KH，FN＝FG，
∵DE＝FG＝HK，
∴DM＝KQ＝FN，
∵OD＝OK＝OF，
∴由勾股定理得：OM＝ON＝OQ，
即O到三角形ABC三边的距离相等，
∴O是△ABC的内心，
∴∠OBC+∠OCB＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠BOC＝115°，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的内心的判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为 2 ．
【分析】先证明△AFO和△BCE是等边三角形，设DE＝x，根据CD＝5列方程，求出x得到AD＝，从而得解．
【解答】解：如图，记DC与⊙O交于点F，连接AF、OF、OB，过点C作CT⊥AB于点T，连接OE，OT．
∵D为半径OA的中点，CD⊥OA，
∴FD垂直平分AO，
∴FA＝FO，
又∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠OAF＝∠AOF＝∠AFO＝60°，
∵CE＝CB，CT⊥EB，
∴ET＝TB，
∵BE＝2AE，
∴AE＝ET＝BT，
∵AD＝OD，
∴DE∥OT，
∴∠AOT＝∠ADE＝90°，
∴OE＝AE＝ET，
∵OA＝OB，
∴∠OAE＝∠OBT，
∵AO＝BO，AE＝BT，
∴△AOE≌△BOT（SAS），
∴OE＝OT，
∴OE＝OT＝ET，
∴∠ETO＝60°，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AED＝∠CEB＝60°，
∴△CEB是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，
设DE＝x，
∴AE＝2x，BE＝CE＝4x，
∴CD＝5x＝5，
∴x＝1，
∴AD＝，
∴AO＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了垂径定理和等边三角形的性质，解题的关键是证明△CBE是等边三角形．
9．（2022•徐汇区校级模拟）如图，点P是y轴正半轴上一点，以P为圆心的圆与x轴、y轴分别交于点A、B、C、D．已知点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣1），则点D的坐标为 （0，9） ．
【分析】首先连接AP，然后设⊙P的半径为x，由勾股定理可求得半径的长，继而求得点D的坐标．
【解答】解：连接AP，
∵点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣1），
∴OA＝3，OC＝1，
设⊙P的半径为x，
则OP＝PC﹣OC＝x﹣1，
在Rt△AOP中，OA2+OP2＝AP2，
即32+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝5，
∴PD＝5，OP＝x﹣1＝4，
∴OD＝OP+PD＝9，
∴点D的坐标为：（0，9）．
故答案为：（0，9）．
【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
10．（2022•松江区校级模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝ ．
【分析】根据AB是⊙O的直径，OF⊥CD，和垂径定理可得CF＝DF，再根据30度角所对直角边等于斜边一半，和勾股定理即可求出EF的长，进而可得CD的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，OF⊥CD，
根据垂径定理可知：
CF＝DF，
∵∠CEA＝30°，
∴∠OEF＝30°，
∴OE＝2，EF＝，
∴DF＝DE﹣EF＝5﹣，
∴CD＝2DF＝10﹣2．
故答案为：10﹣2．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．
11．（2022春•浦东新区校级期中）如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为 120 度．
【分析】首先根据垂径定理得到OA＝AB，结合等边三角形的性质即可求出∠AOC的度数．
【解答】解：∵弦AC与半径OB互相平分，
∴OA＝AB，
∵OA＝OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
故答案为120．
【点评】本题主要考查了垂径定理的知识，解题的关键是证明△OAB是等边三角形，此题难度不大．
12．（2022春•浦东新区校级期中）如图，圆O经过平行四边形ABCD的三个顶点A、B、D，且圆心O在平行四边形ABCD的外部，tan∠DAB＝，D为弧AB的中点，⊙O的半径为5，求平行四边形的面积．
【分析】连接OD，交AB于点E，连接OA，由D为弧AB的中点，利用垂径定理的逆定理得到OD垂直于AB，E为AB的中点，在直角三角形ADE中，由tan∠DAB的值，得到AE＝2DE，设DE＝x，则有AE＝2x，由半径为5，得到OA＝OD＝5，由OD﹣DE表示出OE，在直角三角形AEO中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AB与DE的长，利用平行四边形的面积公式即可求出面积．
【解答】解：连接OD，交AB于点E，连接OA，如图所示，
∵D为的中点，
∴OD⊥AB，
∴E为AB的中点，即AE＝BE，
在Rt△ADE中，tan∠DAB＝＝，
设DE＝x，OA＝OD＝5，
则AE＝2x，OE＝OD﹣DE＝5﹣x，
在Rt△AOE中，
根据勾股定理得：OA2＝AE2+OE2，即25＝4x2+（5﹣x）2，
解得：x＝0（舍去）或x＝2，
∴AE＝4，DE＝2，
∴AB＝2AE＝8，
则S平行四边形ABCD＝AB•DE＝8×2＝16．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，以及平行四边形的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
13．（2020•普陀区二模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．
（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；
（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；
（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．
【分析】（1）证OF为梯形ABCD的中位线，得出r＝OF＝（AD+BC）＝3即可；
（2）连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，则CM＝BC﹣BM＝4，由勾股定理得出DC＝2，由四边形ABCD的面积＝△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，进而得出答案；
（3）证OG是梯形ABCD的中位线，得出OG∥AD，OG＝3，DG＝CD＝，由勾股定理得OD＝，分三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵OF∥BC，OA＝OB，
∴OF为梯形ABCD的中位线，
∴OF＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，
即⊙O的半径长为3；
（2）连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，如图1所示：
则BM＝AD＝1，
∴CM＝BC﹣BM＝4，
∴DC＝＝＝2，
∵四边形ABCD的面积＝△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，
∴（1+5）×2r＝×2×y+×r×1+×r×5，
整理得：y＝；
（3）△ODG能成为等腰三角形，理由如下：
∵点G为DC的中点，OA＝OB，
∴OG是梯形ABCD的中位线，
∴OG∥AD，OG＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，
DG＝CD＝，
由勾股定理得：OD＝＝，
分三种情况：
①DG＝DO时，则＝，无解；
②OD＝OG时，如图2所示：
＝3，
解得：r＝2；
③GD＝GO时，作OH⊥CD于H，如图3所示：
∠GOD＝∠GDO，
∵OG∥AD，
∴∠ADO＝∠GOD，
∴∠ADO＝∠GDO，
在△ADO和△HDO中，，
∴△ADO≌△HDO（AAS），
∴OA＝OH，
则此时圆O和CD相切，不合题意；
综上所述，△ODG能成为等腰三角形，r＝2．
【点评】本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键．
14．（2021•浦东新区模拟）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD及圆O的半径长．
【分析】过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，根据垂径定理解答即可．
【解答】解：过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，
∵∠CEA＝30°，∴∠OEM＝∠CEA＝30°，
在Rt△OEM中，∵OE＝4，
∴，，
∵，
∴，
∵OM过圆心，OM⊥CD，
∴CD＝2DM，
∴，
∵，
∴在Rt△DOM中，，
∴弦CD的长为，⊙O的半径长为．
【点评】此题考查了垂径定理和直角三角形．有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法．
15．（2022春•杨浦区校级月考）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝2，ED＝6，求⊙O的半径长．
【分析】过点O分别作AB、CD的垂线OM、ON，则四边形OMEN是正方形，利用垂径定理即可求得OM，AM的长度，然后在直角△AOM中利用勾股定理即可求得OA的长度．
【解答】解：过点O分别作AB、CD的垂线OM、ON，则四边形OMEN是矩形，连接OA．
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴OM＝ON，
∴矩形OMEN是正方形．
∵CE＝2，ED＝6，
∴CD＝2+6＝8，
∵ON⊥CD
∴CN＝CD＝4，
∴EN＝OM＝2，
同理：AM＝4．
在直角△AMO中，OA＝＝＝2．
∴⊙O的半径长为2．
【点评】本题考查了垂径定理，利用垂径定理可以把求弦长以及半径的计算转化成求直角三角形的边长的计算．
16．（2022•嘉定区校级模拟）如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．
（1）求线段OD的长；
（2）若tan∠C＝，求弦MN的长．
【分析】（1）根据CD∥AB可知，△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出OD的长；
（2）过O作OE⊥CD，连接OM，由垂径定理可知ME＝MN，再根据tan∠C＝可求出OE的长，利用勾股定理即可求出ME的长，进而求出答案．
【解答】解：（1）∵CD∥AB，
∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴＝，
即＝，
又OA＝3，AC＝2，
∴OB＝3，
∴＝，
∴OD＝5；
（2）过O作OE⊥CD，连接OM，则ME＝MN，
∵tan∠C＝，即＝，
∴设OE＝x，则CE＝2x，
在Rt△OEC中，OC2＝OE2+CE2，即52＝x2+（2x）2，解得x＝，
在Rt△OME中，OM2＝OE2+ME2，即32＝（）2+ME2，解得ME＝2．
∴MN＝4，
答：弦MN的长为4．
【点评】本题考查的是垂径定理，涉及到锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
二．垂径定理的应用（共5小题）
17．（2019秋•青浦区校级月考）一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦AB是水底，弦CD表示水面，EF过圆心O且EF⊥AB，EF＝AB＝24米，CD∥AB．
（1）当水深GF为19米时，求此时水面CD的宽；
（2）若水面下降，当水面CD的宽为12米时，求此时水深．
【分析】（1）连接OA、OC，根据垂径定理和勾股定理即可求出各条线段的长；
（2）若水面下降，当水面CD的宽为12米时，CG＝6米，分两种情况讨论，当CD在O点上方时，水深GF＝9+3＝12米，当CD在O点下方时，水深GF＝9﹣3＝6米．
【解答】解：（1）如图，连接OA、OC，
∵EF⊥AB，EF过圆心O，
∴AB＝24，
∴AF＝AB＝12，
设圆O的半径为r，则OF＝24﹣r，
在Rt△AOF中，OF2+AF2＝OA2，
∴122+（24﹣r）2＝r2，
解得r＝15，
∵∵GF＝19，
∴OF＝9，OG＝10，
∵CD∥AB，
∴∠CGO＝∠BFO＝90°，
∴CG＝＝＝5，
∴CD＝2CG＝10，
∴当水深GF为19米时，求此时水面CD的宽为10米．
（2）若水面下降，当水面CD的宽为12米时，CG＝6米，
∴OG＝＝＝3米，
∵OF＝9米，
∴当CD在O点上方时，水深GF＝9+3＝12米，
当CD在O点下方时，水深GF＝9﹣3＝6米，
答：若水面下降，当水面CD的宽为12米时，此时水深为12米或6米．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，解题关键是构造辅助线，灵活运用垂径定理求相关线段长．
18．（2022春•松江区校级期中）铲车轮胎在建筑工地的泥地上留下圆弧形凹坑如图所示，量得凹坑跨度AB为80cm，凹坑最大深度CD为20cm，由此可算得铲车轮胎半径为 50 cm．
【分析】根据垂径定理和勾股定理可知．
【解答】解：将圆弧补全，如左图．
根据垂径定理，BD＝AB＝×80＝40cm
设半径为R，则OD＝（R﹣20）cm，
根据勾股定理得：（R﹣20）2+402＝R2，
解得R＝50cm．铲车轮胎半径为50cm．
【点评】解答此题要先补全图形，根据垂径定理和勾股定理解答．
19．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 400π .（结果保留π）
【分析】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，
∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，
∴AD＝BD＝AB＝（AC+BC）＝×（11+21）＝16，
∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，
在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，
在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，
∴S⊙O＝π×OB2＝400π，
故答案为：400π．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．
20．（2019•浦东新区校级自主招生）有一块正方形田地，中间有一圆池，池与田间间隙有13.75亩，方田四边到圆的最近距离都是20步，求边长，直径，（240步2＝1亩，π＝3）
【分析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．从而建立关系求解即可．
【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．
方田面积减去水池面积为13.75亩，
∴（40+m）2﹣（）2•π＝13.75×240．
解得：m＝20．
即圆池直径20步
那么：方田边长为40步+20步＝60步．
【点评】本题考查了对题意的理解和关系式的建立．读懂题意是关键，属于基础题．
21．（2022•徐汇区模拟）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
【分析】根据已知得出旗杆高度，进而得出GM＝MH，再利用勾股定理求出半径即可．
【解答】解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，
∴8米高旗杆DE的影子为：12m，
∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，
∴GH＝12﹣3﹣1＝8（m），
∴GM＝MH＝4m．
如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．
设小桥所在圆的半径为r，
∵MN＝2m，
∴OM＝（r﹣2）m．
在Rt△OGM中，由勾股定理得：
∴OG2＝OM2+42，
∴r2＝（r﹣2）2+16，
解得：r＝5，
答：小桥所在圆的半径为5m．
【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理的应用，根据已知得出关于r的等式是解题关键．
【过关检测】
1.下列命题中不正确的是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦；B．垂直平分弦的直线必经过圆心；
C．垂直与弦的直径垂直平分这条弦对应的弧；D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．
【答案】A
【解析】
A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；
B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；
C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；
D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．
故选：A．
2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的( )
A．MB．PC．QD．R
【答案】C
【解析】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
故选C．
3.往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴，
∴，
故选：B．
4．（2020·上海市民办文绮中学九年级期中）下列关于圆的说法中，错误是（ ）
A．等圆中，相等的弦所对的弧也相等
B．过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦
C．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．相交两圆的圆心距一定垂直平分两圆的公共弦
【答案】B
【分析】利用圆心角定理以及切线的判定以及相交两圆的性质、垂径定理的推论分别分析，举出反例即可．
【详解】A选项，等圆或同圆中，相等的弦所对的弧相等，故：正确；
B选项，垂径定理中需要注意的是，被平分的弦不能是直径，因为如果在同一个圆中，直径是互相平分且可以不垂直的，所以B错误；
C选项，切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故：正确；
D选项，相交两圆的圆心距一定垂直平分两圆的公共弦，故：正确．
故：选B．
【点睛】此题主要考查了圆心角定理以及切线的判定以及相 交两圆的性质、垂径定理的推论等知识，正确掌握相关判定定理是解题关键．
二、填空题
5.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝______．
【答案】
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，OF⊥CD，
根据垂径定理可知：
CF＝DF，
∵∠CEA＝30°，
∴∠OEF＝30°，
∴OE＝2，EF＝，
∴DF＝DE﹣EF＝5﹣，
∴CD＝2DF＝10﹣2．
故答案为：10﹣2．
6．（2021·上海金山·一模）如图，已知⊙中，，弦，那么⊙的半径长等于______．
【答案】
【分析】过O作OC⊥AB于C，由垂径定理可得AC=AB=6；再由可得∠OAC=30°；则OC=AO,最后在Rt△AOC中应用勾股定理列式求出OA即可．
【详解】解：如图：过O作OC⊥AB于C，
∴AC=AB=6
∵，OA=OB
∴∠OAC=30°
∴OC=AO
在Rt△AOC中，由勾股定理可得：,即,解得OA=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键．
7．（2021·上海青浦·二模）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为_____．
【答案】
【分析】根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角形可求出∠OME＝60°，进而利用直角三角形的边角关系求解即可．
【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F，连接OA，
则AE＝BE＝AB＝，CF＝DF＝CD＝，
在Rt△AOE中，
∵OA＝2，AE＝，
∴OE＝＝1，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF＝1，
又∵OM＝OM，
∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），
∴∠OME＝∠OMF＝∠AMC＝60°，
∴OM＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的全等，特殊角的函数值，垂径定理是解题的关键，特殊角的函数值是解题的基础．
8．（2018·上海·九年级期末）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（-2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是_____________.
【答案】(-1,1)
试题解析：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，
即圆心的坐标是（-1，1），
9．（2017·上海浦东新·九年级期末）若⊙的一条弦长为24，弦心距为5，则⊙的直径长为__________．
【答案】26
【分析】根据题意画出相应的图形,如图所示,由OC垂直于AB ,利用垂径定理得到 C为AB的中点,由 AB的长求出 AC的长,在直角三角形AOC 中,由 AC与OC 的长,利用勾股定理求出 OA的长,即可确定出圆O 的直径长.
【详解】解:根据题意画出相应的图形,如图所示,
∵OC⊥AB
∴AC=BC= AB=12
在 Rt△AOC中,AC=12 OC=5, ,
根据勾股定理得: AO= ,
则圆 O的直径长为26 .
故答案为:26
【点睛】此题考查勾股定理，垂径定理及其推论，解题关键在于画出图形
10．（2020·上海市民办文绮中学九年级期中）如图，已知在⊙O中，弦垂直于直径，垂足为点，如果，，那么______．
【答案】
【分析】连接OD，设圆的半径是x，再根据锐角三角函数表示出DE的长，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到圆的半径长，再求出DE的长，最后根据垂径定理得到CD的长．
【详解】解：如图，连接OD，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
在中，，即，解得，，
∴，，
根据垂径定理得．
故答案是：．
【点睛】本题考查垂径定理和锐角三角函数，解题的关键是结合垂径定理，锐角三角函数和勾股定理列式求出线段长．
11．（2021·上海宝山·九年级期中）如图，是圆的直径，与交于点．如果，那么的长为_____．
【答案】
【分析】根据，可得∠AOD＝60°，OD⊥AC，AE＝CE＝AC＝，再根据含30度角的直角三角形即可求出结果．
【详解】解：∵，
∴∠AOD＝60°，OD⊥AC，AE＝CE＝AC＝，
∴∠A＝30°，
∴OE＝AE•tan30°＝×＝，
∴OA＝OD＝2OE＝，
∴DE＝OD−OE＝−＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是掌握圆的相关性质．
三、解答题
12．（2020·上海民办华二浦东实验学校九年级期中）如图，是的弦的中点，，垂足为，求证：．
【分析】连结OP，因P为弦AB的中点，利用垂径定理得OP⊥AB结合证△PAC∽△OAP，利用相似三角形的性质得即可．
【详解】连结OP，因P为弦AB的中点，
则OP⊥AB，
又，
∠PCA=∠OPA=90º，
∠PAC=∠OAP，
△PAC∽△OAP，
，
，
P为弦AB的中点，
AP=PB，
，
．
【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形的判定与性质，掌握垂径定理与相似三角形的判定与性质，会利用解决问题是解题关键．
13．（2021·上海徐汇·二模）如图，在梯形ABCD中，CDAB，AB＝10，以AB为直径的⊙O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．
（1）求CD的长；
（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．
【答案】（1）5；（2）
【分析】（1）通过点C、D三等分弧AB，可得∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，所以，△COD为等边三角形，CD可求；
（2）由点E是劣弧DC的中点，根据垂径定理的推论可得OF⊥CD，CF＝CD；解直角三角形△ODF，得出OF长度，通过OE﹣OF＝EF得出答案．
【详解】解：（1）连接OC,OD,
∵AB为直径，点C、D三等分弧AB,
∴.
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°．
∵OC＝OD,
∴△OCD为等边三角形．
∴CD＝OD＝AB＝5．
（2）连接OE,交DC于点F,
∵点E是劣弧DC的中点，
∴OF⊥CD,DF=FC=CD.
∵OC＝OD，
∴∠DOF＝∠DOC＝30°．
在Rt△ODF中，cs∠FOD＝．
∴OF＝OD•cs∠FOD＝5×＝．
∵OE＝OD＝5,
∴EF＝OE﹣OF＝5﹣．
【点睛】本题考查圆的相关定理，熟练掌握在同圆中，等弧所对的弦相等，圆心角相等，以及垂径定理的应用，在题目中看到弧或者弦的中点，要连接圆心的中点，得出垂直.
14．（2021·上海松江·二模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，ct∠BAC＝2，BC＝4，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P是劣弧的中点，求tan∠PAB的值．
【答案】（1）⊙O的半径为5；（2）
【分析】（1）如图1连接OB，设⊙O的半径为r，解直角三角形求出AC的长，利用勾股定理列方程可得结论；
（2）如图2，作辅助线，构建直角三角形，先根据垂径定理可得OE和PE的长，最后根据三角函数定义可得结论．
【详解】解：（1）如图1，连接OB，
在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，BC＝4，
∵ct∠BAC＝2，BC＝4，
∴ ，
∴＝2，
∴AC＝8，
设⊙O的半径为r，则OB＝r，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OB2＝OC2+BC2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
解得：r＝5，
∴⊙O的半径为5；
（2）如图2，连接OP，OP交AB于E，
Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝3，
Rt△ACB中，AB＝ ，
∵点P是劣弧AB的中点，
∴OP⊥AB，
∴AE＝BE＝2，
∴OE＝ ，
∴EP＝OP﹣OE＝5﹣ ，
Rt△AEP中，tan∠PAB＝ ．
【点睛】本题考查解直角三角形，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知,属于中考常考题型．
15．（2021·上海金山·二模）如图，是一个地下排水管的横截面图，已知⊙O的半径OA等于50cm，水的深度等于25cm（水的深度指的中点到弦AB的距离）．
求：（1）水面的宽度AB．
（2）横截面浸没在水中的的长（结果保留π）．
【答案】（1）50cm；（2）cm
【分析】（1）过O作OH⊥AB于H，并延长交⊙O于D，根据圆的性质，计算得OH，再根据勾股定理计算，即可得到答案；
（2）连接OB，结合题意，根据含角的直角三角形性质，得∠OAH＝30°，从而计算得∠AOB；再根据弧长公式计算，即可完成求解．
【详解】（1）过O作OH⊥AB于H，并延长交⊙O于D，
∴∠OHA＝90°，AH＝AB，，
∵水的深度等于25cm，即HD＝25cm
又∵OA＝OD＝50cm
∴OH＝OD-HD＝25cm
∴AH＝cm
∴AB＝50cm；
（2）连接OB，
∵OA＝50cm，OH＝25cm，
∴OH＝OA
∵∠OHA＝90°
∴∠OAH＝30°
∴∠AOH＝60°
∵OA＝OB，OH⊥AB
∴∠BOH＝∠AOH＝60°
∴∠AOB＝120°
∴的长是：cm．
【点睛】本题考查了圆、勾股定理、含角的直角三角形、弧长的知识；解题的关键是熟练掌握圆、垂径定理、勾股定理、弧长计算的性质，从而完成求解．
16．（2021·上海杨浦·三模）如图，已知在⊙O中，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线与⊙O相交于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与⊙O相交于点F，AB＝CD＝8，tanC＝1
（1）求⊙O的半径长；
（2）求的值．
【答案】（1）5；（2）
【分析】（1）连接OA，设半径为r，利用垂径定理结合勾股定理即可求出r；
（2）延长CD交⊙O于点Q，连接QF，利用圆周角定理以及已知条件求出CE和CF的长即可计算的值．
【详解】解：（1）连接OA，如图所示：

设⊙O半径为r，则由题意可知：OA＝OC＝r，OD＝CD﹣OC＝8﹣r，
又∵OD⊥AB，垂足为点D，
∴AD＝，
在Rt△AOD中，，
即，
解得：r＝5，
∴⊙O的半径长为5；
（2）延长CD交⊙O于点Q，连接QF，则∠CFQ＝90°，
由（1）可知CQ＝10，

∵tanC＝1，
∴∠C＝45°，
在Rt△CAF中：，
而CQ＝CF，CQ＝10，
∴CF＝5，
在Rt△CDE中，∠C＝∠E＝45°，
CE＝，
∴EF＝CE﹣CF＝8－5＝3，
∴．
【点睛】本题考查了圆的垂径定理,勾股定理,特殊角的三角函数值,熟练掌握垂径定理,灵活运用勾股定理,特殊角的三角函数值是解题的关键．
17．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知：如图，圆O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，AB＝10，CD＝BC，tanD＝．求：
（1）线段BC的长；
（2）圆O的半径．
【答案】（1）BC＝12；（2）圆O的半径为．
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，交⊙O于F，根据等腰三角形的性质证得BE＝CE＝CD，在Rt△AED中，由三角函数的定义求得＝，设AE＝4x，BE＝3x，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出x＝2，进而求出BC；
（2）由（1）可得AF是⊙O的直径，连接BF，在Rt△BAF中，根据三角函数的定义求出AF，即可求得圆O的半径．
【详解】（1）过A作AE⊥BC于E，交⊙O于F，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
∴AE过圆心O，
∵CD＝BC，
∴BE＝CE＝CD，
在Rt△AED中，
∵tanD＝＝＝，
∴＝，
设AE＝4x，BE＝3x，
在Rt△BE中，
∴AB＝＝5x，
∵AB＝10，
∴x＝2，BE＝6,
∴BC＝2BE＝2×6＝12；
（2）连接BF，由（1）得，AF是⊙O的直径，
∴∠ABF＝90°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝4x，BE＝3x，AB＝5x，
∴cs∠BAE＝＝，
在Rt△BAF中，
∵cs∠BAE＝，
∴AF＝＝＝，
∴圆O的半径为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，熟练运用三角函数和圆的有关性质是解决问题的关键．
18．（2021·上海奉贤·三模）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径＝ ；
（3）求∠ACO的正弦值．
【答案】（1）答案见解析；（2）①，，②；（3）．
【分析】（1）根据点的坐标表示，C的坐标即可得到，首先作出弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就是D，即可确定点D的坐标；
（2）①根据（1）中的平面直角坐标系直接填空；
②在直角中，利用勾股定理即可求解；
（3）连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M，利用的面积等积转换求得AM的长度，然后在中利用正弦函数的定义求得的正弦值．
【详解】解：（1）作弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就是D，
在直角坐标系中，点D的在该坐标系中的位置如图所示：
（2）解：①根据图示知，C（6，2），D（2，0），
故答案为：（6，2），（2，0）；
②解：在直角△AOD中，根据勾股定理知⊙D的半径AD＝，
故答案为：；
（3）解：连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M．
则OA•CH＝OC•AM，即×4×6＝וAM，
解得，AM＝；
在Rt△AMC中，sin∠ACO＝．
【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及的知识点有：坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，三角函数；利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．
19．（2018·上海长宁·九年级期末）如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，，联结AC、OB，若CD=40，AC=20．
（1）求弦AB的长；
（2）求sin∠ABO的值．
【答案】（1）40；（2）
试题分析：（1）根据，CD过圆心O，可得到CD⊥AB，AB=2AD=2BD，在Rt△ACD中利用勾股定理求得AD长即可得；
（2）利用勾股定理求得半径长，然后再根据正弦三角形函数的定义即可求得.
试题解析：（1）∵CD过圆心O， ，
∴CD⊥AB，AB=2AD=2BD，
∵CD=40， ，
又∵∠ADC=，
∴，
∴AB=2AD=40；
（2）设圆O的半径为r，则OD=40-r，
∵BD=AD=20， ∠ODB= ， ∴，
∴，
∴r=25，OD=15，
∴.
20．（2018·上海·九年级期末）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
【答案】（1）AB=4；（2）⊙O的半径是．
试题分析：（1）由，得，，结合可证.从而AF=CE，故可求得AB的长；
（2）由垂径定理得BE=CE，故BE=AB，从而∠A=30°，在直角三角形AFO中即可求出AO的值.
试题解析：（1）∵，
∴
在中
∴
∴
∵,
∴
∵是的直径，
∴
∴.
（2） ∵是的半径，,
∴,
∵,
∴.
∵，
∴.
又∵
∴
∴
即的半径是.
21．（2019·上海·九年级期末）已知：如图，AO是的半径，AC为的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC=8，EF=2．
（1）求AO的长；
（2）过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求sin∠ACD的值．
【答案】（1）5；（2）
【分析】（1）由垂径定理得出AE=4，设圆的半径为r，知OE=OF-EF=r-2，根据OA2=AE2+OE2求解可得；
（2）由∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90°知∠AOE=∠ACD，从而根据sin∠ACD=sin∠AOE=可得答案．
【详解】（1）∵O是圆心，且点F为的中点，
∴OF⊥AC，
∵AC=8，
∴AE=4，
设圆的半径为r，即OA=OF=r，
则OE=OF-EF=r-2，
由OA2=AE2+OE2得r2=42+（r-2）2，
解得：r=5，即AO=5；
（2）如图：
∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90°，
∴∠AOE=∠ACD，
则sin∠ACD=sin∠AOE==．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理、垂径定理及其推论和勾股定理等知识点．
22．（2020·上海闵行·九年级期末）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90º，AD= 2，BC= 4，.以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点.
(1)求证：DE=CF.
(2)求直径AB的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)AB=.
【分析】（1）首先根据AD∥BC，∠ADC=90º，OH⊥DC，得出AD∥OH∥BC，进而根据OA=OB得出DH=HC，然后根据垂径定理得出EH = HF，进而得出DE=CF；
（2）首先根据∠AGB =∠BCN = 90°，得出AG∥DC，然后根据AD∥BC，得出AD=CG.，进而得出BG，再根据三角函数得出AG，最后根据勾股定理得出AB.
【详解】
(1)过点O作OH⊥DC，垂足为H.
∵AD∥BC，∠ADC=90º，OH⊥DC，
∴∠BCN=∠OHC=∠ADC =90º.
∴AD∥OH∥BC.
又∵OA=OB.
∴DH=HC.
∵OH⊥DC，OH过圆心，
∴EH = HF.
∴DH-EH =HC-HF.
即：DE=CF.
(2)过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB = 90°，
∵∠AGB =∠BCN = 90°，
∴AG∥DC.
∵AD∥BC，
∴AD=CG.
∵AD= 2，BC= 4，
∴BG= BC-CG =2.
在Rt△AGB中，∵，
∴.
在Rt△AGB中，
∴AB=.
【点睛】此题主要考查垂径定理、勾股定理以及三角函数的综合应用，熟练掌握，即可解题.
23．（2020·上海市民办文绮中学九年级期中）如图，已知在中，，，，于，是上一点，，以为半径的⊙O分别交、于、．求：
（1）⊙O的半径；
（2）的长
【答案】（1）5；（2）
【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”的性质求出BD的长，再用勾股定理求出半径BO的长
（2）过点O作于点H，根据垂径定理得到，证明，并利用对应边成比例求出AH的长，就可以算出BE的长．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
在中，，
∴的半径是5；
（2）如图，过点O作于点H，
∵OH过圆心O，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆的综合题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，垂径定理，锐角三角函数，相似三角形的性质和判定等几何的性质定理．