（寒假）沪教版数学九年级重难点讲练测重难点04几何综合题（2份，原卷版+解析版）

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几何题是中考数学中必考题目之一，主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。
【满分技巧】
一、常考题型
几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.
以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：
1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；
2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；
3、几何计算问题；
4、动态几何问题等.
二、基本图形及辅助线
解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。
1、与相似及圆有关的基本图形
2、正方形中的基本图形
3、基本辅助线
（1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；
（2）与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；
（3）共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆；
垂直平分线，角平分线——翻折；
转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；
（4）特殊图形的辅助线及其迁移——梯形的辅助线等
作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；
面积；锐角三角函数 平移腰——上下底之差；
两底角有特殊关系（延长两腰）；
梯形——三角形 平移对角线——上下底之和；
对角线有特殊位置、数量关系。
注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。
三、解题思路
1、注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形．
2、掌握常规的证题方法和思路．
3、运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等）．
【限时检测】
一．解答题（共16小题）
1．（2022•嘉定区二模）在梯形ABCD中，已知DC∥AB，∠DAB＝90°，DC＝3，DA＝6，AB＝9，点E在射线AB上，过点E作EF∥AD，交射线DC于点F，设AE＝x．
（1）当x＝1时，直线EF与AC交于点G，如图1，求GE的长；
（2）当x＞3时，直线EF与射线CB交于点H．
①当3＜x＜9时，动点M（与点A、D不重合）在边AD上运动，且AM＝BE，联结MH交AC于点N如图2，随着动点M的运动，试问CH：HN的值有没有变化，如果有变化，请说明你的理由；如果没有变化，请你求出CH：HN的值；
②联结AH，如果∠HAE＝∠CAD，求x的值．
2．（2022•杨浦区二模）已知在扇形AOB中，点C、D是上的两点，且．
（1）如图1，当OD⊥OA时，求弦CD的长；
（2）如图2，联结AD，交半径OC于点E，当OD∥AC时，求的值；
（3）当四边形BOCD是梯形时，试判断线段AC能否成为⊙O内接正多边形的边？如果能，请求出这个正多边形的边数；如果不能，请说明理由．
3．（2022•普陀区二模）如图，已知矩形ABCD中，AD＝5，以AD上的一点E为圆心，EA为半径的圆，经过点C，并交边BC于点F（点F不与点C重合）．
（1）当AE＝4时，求矩形对角线AC的长；
（2）设边AB＝x，CF＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）设点G是的中点，且∠GEF＝45°，求边AB的长．
4．（2022•松江区二模）已知△ABC中，AB＝AC，AD、BE是△ABC的两条高，直线BE与直线AD交于点Q．
（1）如图，当∠BAC为锐角时，
①求证：DB2＝DQ•DA；
②如果＝3，求∠C的正切值；
（2）如果BQ＝3，EQ＝2，求△ABC的面积．
5．（2022•徐汇区二模）如图，AB为半圆O的直径，点C在线段AB的延长线上，BC＝OB，点D是在半圆O上的点（不与A，B两点重合），CE⊥CD且CE＝CD，联结DE．
（1）如图1，线段CD与半圆O交于点F，如果DF＝BF，求证：；
（2）如图2，线段CD与半圆O交于点F，如果点D平分，求tan∠DFA；
（3）联结OE交CD于点G，当△DOG和△EGC相似时，求∠AOD．
6．（2022•黄浦区二模）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝6，BC：AD＝1：3，O是AC的中点，过点O作OE⊥OB，交BC的延长线于点E．
（1）当BC＝EC时，求证：AB＝OE；
（2）设BC＝a，用含a的代数式表示线段BE的长，并写出a的取值范围；
（3）联结OD、DE，当△DOE是以DE为直角边的直角三角形时，求BC的长．
7．（2022•浦东新区二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC＝6，AD⊥AC，点E为对角线AC的中点，射线DE交边BC于点F．
（1）求证：DC＝2AB；
（2）如果DF⊥BC，求∠ACD的余弦值；
（3）当△CEF是等腰三角形时，求线段EF的长．
8．（2022•奉贤区二模）如图，已知△ABC，点E在边AC上，且∠BAC＝∠CBE，过点A作BC的平行线，与射线BE交于点D，联结CD．
（1）求证：AB2＝BE•BD；
（2）如果AB＝4，cs∠ABC＝．
①当BE＝BC，求CE的长；
②当AB＝DC时，求∠BAC的正弦值．
9．（2022•闵行区二模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝26，BC＝42，csB＝，AD＝DC．点M在射线CB上，以点C为圆心，CM为半径的⊙C交射线CD于点N，联结MN，交射线CA于点G．
（1）求线段AD的长；
（2）设线段CM＝x，＝y，当点N在线段CD上时，试求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结DM，当∠NMC＝2∠DMN时，求线段CM的长．
10．（2022•金山区二模）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC＝，O是边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径的圆O与边AC的另一个交点是点D，与边AB的另一个交点是点E，过点O作AB的平行线与圆O相交于点P，与BC相交于点Q，DP的延长线交AB于点F，联结FQ．
（1）求证：DP＝EP；
（2）设OA＝x，△FPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，求AO的长．
11．（2022•崇明区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，AB＝10．点E是线段AB上一动点，点G在BC的延长线上，且CG＝AE，联结EG，以线段EG为对角线作正方形EDGF，边ED交AC边于点M，线段EG交AC边于点N，边EF交BC边于点P．
（1）求证：NG＝2EN；
（2）设AE＝x，△AEN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；
（3）联结NP，当△EPN是直角三角形时，求AE的值．
12．（2022•宝山区二模）如图，已知AB为圆O的直径，C是弧AB上一点，联结BC，过点O作OD⊥BC，垂足为点E，联结AD交BC于点F．
（1）求证：＝；
（2）如果AF•AD＝AO2，求∠ABC的正弦值；
（3）联结OF，如果△AOF为直角三角形，求的值．
13．（2022•静安区二模）如图①，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，AD＝6，BC＝7，点P是边AD上的动点，联结BP，作∠BPF＝∠ADC，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F．
（1）求∠ADC的度数；
（2）如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长；
（3）设AP＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
14．（2022•虹口区二模）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝9，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在线段AB、DC上，且AE＝DF，联结EF，以AE、EF为邻边作平行四边形AEFG．
（1）求BD的长；
（2）当平行四边形AEFG是矩形时，求AE的长；
（3）过点D作平行于AB的直线，分别交EF、AG、AC于点P、Q、M．当DP＝MQ时，求AE的长．
15．（2022•长宁区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是边BC上一点，∠APC＝45°，PD⊥AB，垂足为点D，AB＝4，BP＝4．
（1）求线段PD的长；
（2）如果∠C的平分线CQ交线段PD的延长线于点Q，求∠CQP的正切值；
（3）过点D作Rt△ABC的直角边的平行线，交直线AP于点E，作射线CE，交直线PD于点F，求的值．
16．（2022•黄浦区校级二模）如果三角形中一个内角α的两条夹边中有一条边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”，角α叫做“奇异角”，这条边叫做“角α的奇异边”．
（1）如图1，已知在△ABC中，∠C＝90°，，求证：△ABC是“奇异三角形”；
（2）已知△DEF是“奇异三角形”，DE＝2，∠D＝60°，当DE是“∠D的奇异边”时，请在图2上作出△DEF并求出DF的长；（不必写作法，保留作图痕迹）
（3）如图3，已知在边长为a的正方形ABCD中，点P、Q同时从点A出发，以相同的速度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动，记点P所经过的路程为S，当△APQ为“奇异三角形”时，求的值．